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    2.5<space|2spc>\<#504F\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#504F\>\<#5FAE\>\<#5206\>
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    3.3<space|2spc>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>\<#5728\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#4E0E\>\<#7269\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5E94\>\<#7528\>
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    3.4<space|2spc>\<#53CD\>\<#5E38\>\<#79EF\>\<#5206\>
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    3.5<space|2spc>\<#542B\>\<#53C2\>\<#79EF\>\<#5206\>
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    3.6<space|2spc>\<#91CD\>\<#79EF\>\<#5206\>
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    <no-break><pageref|auto-142>

    3.7<space|2spc>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#79EF\>\<#5206\>
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    <no-break><pageref|auto-143>

    3.8<space|2spc>\<#66F2\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#5206\>
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    3.9<space|2spc>\<#52D2\>\<#8D1D\>\<#683C\>\<#79EF\>\<#5206\>
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  </table-of-contents>

  <chapter|\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#7EA7\>\<#6570\>>

  <section|\<#5B9E\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#590D\>\<#6570\>><label|sec:real-number-theory>

  \<#5206\>\<#6790\>\<#5B66\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#7840\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#5728\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#7684\>\<#516C\>\<#7406\>\<#5316\>\<#4F53\>\<#7CFB\>\<#4E4B\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#4E4B\>\<#524D\>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#6765\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#7684\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#3002\>

  <subsection|\<#5B9E\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5341\>\<#8FDB\>\<#5236\>\<#8868\>\<#793A\>\<#4E0E\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#5173\>\<#7CFB\>><label|sec:decimal-system>

  \<#5728\>\<#4EBA\>\<#7C7B\>\<#5386\>\<#53F2\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#8BA1\>\<#6570\>\<#800C\>\<#5F15\>\<#8FDB\>\<#4E86\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6700\>\<#521D\>\<#4EE5\>\<#7B97\>\<#7B79\>\<#7684\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4EE3\>\<#8868\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5B57\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#8FD9\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8F83\>\<#5927\>\<#7684\>\<#6570\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#56F0\>\<#96BE\>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#8868\>\<#793A\>\<#6570\>100\<#5C31\>\<#9700\>\<#8981\>100\<#6839\>\<#7B97\>\<#7B79\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#53D1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#5341\>\<#8FDB\>\<#5236\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#6240\>\<#9700\>\<#7684\>\<#7B97\>\<#7B79\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#5C31\>\<#5927\>\<#5927\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#FF0C\>\<#4E4B\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#662F\>\<#5341\>\<#8FDB\>\<#5236\>\<#5F88\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#4EBA\>\<#6B63\>\<#597D\>\<#6709\>\<#5341\>\<#6839\>\<#624B\>\<#6307\>\<#5934\>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#4E8E\>\<#6BD4\>\<#5212\>\<#6570\>\<#5B57\>\<#3002\>\<#540E\>\<#6765\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#591A\>\<#4EBA\>\<#5E73\>\<#5206\>\<#98DF\>\<#7269\>\<#7B49\>\<#751F\>\<#6D3B\>\<#8D44\>\<#6599\>\<#7684\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#53C8\>\<#5F15\>\<#8FDB\>\<#4E86\>\<#6574\>\<#6570\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#5373\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5F80\>\<#540E\>\<#6BD5\>\<#8FBE\>\<#54E5\>\<#62C9\>\<#65AF\>\<#5B66\>\<#6D3E\>\<#6839\>\<#636E\>\<#52FE\>\<#80A1\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#53D1\>\<#73B0\>\<#4E86\>\<#8FB9\>\<#957F\>\<#4E3A\>1\<#7684\>\<#6B63\>\<#65B9\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#5BF9\>\<#89D2\>\<#7EBF\>\<#7684\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5F15\>\<#53D1\>\<#4E86\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5371\>\<#673A\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6B21\>\<#5371\>\<#673A\>\<#968F\>\<#7740\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#800C\>\<#5F97\>\<#4EE5\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#3002\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#4E00\>\<#8D77\>\<#FF0C\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E86\>\<#5168\>\<#4F53\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#3002\>\<#4F46\>\<#5728\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#50CF\>
  <math|x<rsup|2>+1=0>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#4EE3\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#89E3\>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#4ECE\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#4E0A\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#800C\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#4E86\>\<#865A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#FF0C\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#865A\>\<#6570\>\<#4E00\>\<#8D77\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E86\>\<#590D\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4EE3\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#5728\>\<#590D\>\<#6570\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#5185\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#5F7B\>\<#5E95\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#3002\>

  \<#672C\>\<#8282\>\<#53EA\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#3002\>\<#5728\>\<#5341\>\<#8FDB\>\<#5236\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|x>\<#5177\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#8868\>\<#793A\>:

  <\equation>
    <label|eq:decimal-format-of-real>x=a<rsub|n>*a<rsub|n-1>*\<cdots\>*a<rsub|1>*a<rsub|0>.*a<rsub|-1>*a<rsub|-2>*\<cdots\>
  </equation>

  \<#5176\>\<#4E2D\> <math|a<rsub|i>\<in\><around|{|0,1,2,3,4,5,6,7,8,9|}>>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#6700\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#7684\>\<#6570\>\<#4F4D\>
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    <math|x<rsub|0>>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#6570\>\<#4F4D\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5927\>\<#4E8E\>
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    <math|10<rsup|-n>>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#8BBE\> <math|K>\<#548C\>
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    <math|K<rsub|n>>\<#548C\> <math|L<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>
    <math|K<rsub|n>\<gtr\>L<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#6839\>\<#636E\>
    <math|K>\<#7684\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#FF0C\> <math|A>\<#4E2D\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E0D\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|K<rsub|n>>\<#7684\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#5927\>\<#4E8E\>
    <math|L<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>
    <math|K>\<#662F\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4E3A\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#5B9E\>\<#6570\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>><label|sec:real-exponential-power>

  \<#5728\>\<#4E2D\>\<#5B66\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#91CC\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#63A5\>\<#89E6\>\<#8FC7\>\<#6307\>\<#6570\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#6307\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#8FD8\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#4E86\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>
  <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#65F6\>\<#5E76\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#8D56\>\<#4E8E\>\<#5BF9\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#7684\>\<#8FDB\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#3002\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#5C0F\>\<#8282\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5229\>\<#7528\>\<#786E\>\<#754C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#6765\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5F62\>\<#6210\>\<#5B8C\>\<#6574\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#3002\>

  \<#5148\>\<#56DE\>\<#987E\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
  <math|a>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#4E8E\>1\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#9996\>\<#5148\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#662F\>\<#88AB\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E3A\>\<#8FDE\>\<#4E58\>\<#79EF\>:

  <\equation*>
    a<rsup|n>=a\<cdot\>a*\<cdots\>*a*<around|(|n\<in\><with|math-font|Bbb|N+>|)>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#91CC\>\<#662F\> <math|n>\<#4E2A\>
  <math|a>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#540E\>\<#628A\>\<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#6574\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#89C4\>\<#5B9A\>
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  <\equation*>
    a<rsup|-n>=<frac|1|a<rsup|n>>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6307\>\<#6570\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#88AB\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#6307\>\<#6570\>\<#662F\>\<#5168\>\<#4F53\>\<#6574\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#7EE7\>\<#7EED\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
  <math|r=<frac|m|n>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
  <math|m>\<#3001\> <math|n>\<#4E92\>\<#7D20\>\<#4E14\>
  <math|n\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B9A\>\<#4E49\>

  <\equation*>
    a<rsup|<frac|m|n>>=<sqrt|a<rsup|m>|n>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#4E2D\>\<#5B66\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#4E2D\>\<#5BF9\>\<#6307\>\<#6570\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#3002\>

  \<#4E0D\>\<#96BE\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#79CD\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#5B9A\>\<#7406\>

  <\theorem>
    \<#8BBE\> <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>
    <math|\<bbb-Q\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|a<rsup|r>>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#6027\>\<#8D28\>

    <\enumerate>
      <item> <math|a<rsup|r>\<gtr\>0>

      <item> <math|a<rsup|r<rsub|1>+r<rsub|2>>=a<rsup|r<rsub|1>>\<cdot\>a<rsup|r<rsub|2>>,a<rsup|r<rsub|1>-r<rsub|2>>=<frac|a<rsup|r<rsub|1>>|a<rsup|r<rsub|2>>>>

      <item>\<#82E5\> <math|a\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>
      <math|a<rsup|r>>\<#968F\> <math|r>\<#4E25\>\<#683C\>\<#9012\>\<#589E\>\<#FF0C\>\<#82E5\>
      <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#662F\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#9012\>\<#51CF\>.

      <item>\<#FF08\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF09\>\<#56FA\>\<#5B9A\>
      <math|r<rsub|0>\<in\>\<bbb-Q\>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>
      <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#53EA\>\<#8981\>
      <math|<around|\||r-r<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>
      <math|<around|\||a<rsup|r>-a<rsup|r<rsub|0>>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>.
    </enumerate>
  </theorem>

  \<#524D\>\<#4E09\>\<#6761\>\<#90FD\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#8BE6\>\<#7EC6\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#7B2C\>\<#56DB\>\<#6761\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#53EA\>\<#8BC1\>\<#660E\>
  <math|a\<gtr\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>
  <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#5B8C\>\<#5168\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#3002\>\<#8BC1\>\<#660E\>
  <math|r<rsub|0>=0>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>
  <math|\<bbb-Q\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
  <math|0>\<#5904\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#6B64\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5148\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

  <\lemma>
    \<#8BBE\> <math|a\<gtr\>1>\<#4E14\> <math|n>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      0\<less\><sqrt|a|n>-1\<less\><frac|a-1|n>
    </equation*>
  </lemma>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>>\<#7531\>\<#516C\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      s<rsup|n>-t<rsup|n>=<around|(|s-t|)>*<around|(|s<rsup|n-1>+s<rsup|n-2>*t+\<cdots\>+s*t<rsup|n-2>+t<rsup|n-1>|)>
    </equation*>

    \<#4EE4\> <math|s=<sqrt|a|n>,t=1>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      a-1=<around|(|<sqrt|a|n>-1|)>*<around|(|s<rsup|n-1>+s<rsup|n-2>+\<cdots\>+s+1|)>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\> <math|s\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a-1\<gtr\><around|(|<sqrt|a|n>-1|)>\<cdot\>n
    </equation*>

    \<#7531\>\<#6B64\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#8BC1\>.
  </proof>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E8C\>>\<#8BBE\>
    <math|b=<sqrt|a|n>-1\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      a=<around|(|1+b|)><rsup|n>\<gtr\>1+n*b
    </equation*>

    \<#5373\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      b\<less\><frac|a-1|n>
    </equation*>
  </proof>

  \<#501F\>\<#52A9\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>
  <math|\<bbb-Q\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>0\<#5904\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
  <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
  <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
  <math|<around|\||r|\|>\<less\>\<delta\>>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
  <math|r>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\> <math|<around|\||a<rsup|r>-1|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#3002\>

  \<#4E3A\>\<#4E86\>\<#5BFB\>\<#627E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>
  <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E3A\>
  <math|<frac|1|n>>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#9996\>\<#5148\>\<#7531\>\<#521A\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#7684\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#4F7F\>
  <math|<around|\||a<rsup|<frac|1|n>>-1|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#4F7F\>
  <math|<frac|a-1|n>\<less\>\<varepsilon\>>\<#5C31\>\<#884C\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#53EA\>\<#9700\>
  <math|n\<gtr\><frac|a-1|\<varepsilon\>>>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53D6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
  <math|n<rsub|0>=<around*|[|<frac|a-1|\<varepsilon\>>|]>+1>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#4EE4\>
  <math|\<delta\>=<frac|1|n<rsub|0>>>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#6839\>\<#636E\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#6761\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
  <math|r>\<#6EE1\>\<#8DB3\> <math|0\<less\>r\<less\><frac|1|n<rsub|0>>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>
  <math|0\<less\>a<rsup|r>-1\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#8FD8\>\<#9700\>\<#8981\>\<#5BFB\>\<#627E\>\<#5DE6\>\<#534A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>
  <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#540C\>\<#6837\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E3A\>
  <math|-<frac|1|n>>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#4F7F\>
  <math|<around|\||a<rsup|-<frac|1|n>>-1|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    <around|\||a<rsup|-<frac|1|n>>-1|\|>=<frac|<around|\||a<rsup|<frac|1|n>>-1|\|>|a<rsup|<frac|1|n>>>\<less\><around|\||a<rsup|<frac|1|n>>-1|\|>\<less\><frac|a-1|n>
  </equation*>

  \<#6240\>\<#4EE5\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#53D6\>
  <math|\<delta\>=<frac|1|n<rsub|0>>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
  <math|-\<delta\>\<less\>r\<less\>0>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
  <math|r>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|-\<varepsilon\>\<less\>a<rsup|r>-1\<less\>0>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>
  <math|\<bbb-Q\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
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  \<#518D\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
  <math|r<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
  <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#5BFB\>\<#627E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
  <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
  <math|<around|\||r-r<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
  <math|r>\<#90FD\>\<#6709\> <math|<around|\||a<rsup|r>-a<rsup|r<rsub|0>>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>.\<#56E0\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    <around|\||a<rsup|r>-a<rsup|r<rsub|0>>|\|>=a<rsup|r<rsub|0>>*<around|\||a<rsup|r-r<rsub|0>>-1|\|>
  </equation*>

  \<#6839\>\<#636E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>0\<#5904\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
  <math|\<varepsilon\><rsub|1>=<frac|\<varepsilon\>|a<rsup|r<rsub|0>>>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
  <math|d*e*l*t*a\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
  <math|<around|\||r-r<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
  <math|r>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\> <math|<around|\||a<rsup|r-r<rsub|0>>-1|\|>\<less\>\<varepsilon\><rsub|1>>\<#FF0C\>\<#5373\>
  <math|<around|\||a<rsup|r>-a<rsup|r<rsub|0>>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#8BC1\>\<#3002\>

  \<#5728\>\<#6B64\>\<#4E4B\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#6709\>\<#7528\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#4F8B\>\<#5982\>:\ 

  <\corollary>
    \<#82E5\> <math|a\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5F53\>
    <math|r\<gtr\>0>\<#65F6\>\<#6709\> <math|a<rsup|r>\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|r\<less\>0>\<#65F6\> <math|0\<less\>a<rsup|r>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#82E5\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5F53\>
    <math|r\<gtr\>0>\<#65F6\>\<#6709\> <math|0\<less\>a<rsup|r>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|r\<less\>0>\<#65F6\> <math|a<rsup|r>\<gtr\>1>.
  </corollary>

  \<#73B0\>\<#5728\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|a\<gtr\>1>( <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>)\<#FF0C\>
  <math|x>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#800C\>
  <math|r>\<#548C\> <math|s>\<#662F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
  <math|r\<less\>x\<less\>s>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

  <\equation*>
    a<rsup|r>\<less\>a<rsup|s>
  </equation*>

  \<#5206\>\<#522B\>\<#4F5C\>\<#96C6\>\<#5408\>

  <\equation*>
    A=<around|{|a<rsup|r>\|r\<less\>x,r\<in\>\<bbb-Q\>|}>,B=<around|{|a<rsup|s>\|s\<gtr\>x,s\<in\>\<bbb-Q\>|}>
  </equation*>

  \<#5219\> <math|\<forall\>t<rsub|a>\<in\>A,\<forall\>t<rsub|b>\<in\>B>\<#FF0C\>\<#6709\>
  <math|t<rsub|a>\<less\>t<rsub|b>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>
  <math|A>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>
  <math|B>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>
  <math|A>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\> <math|L>\<#FF0C\>
  <math|B>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>
  <math|U>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5FC5\>\<#6709\>
  <math|L\<leqslant\>U>\<#FF0C\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#5FC5\>\<#987B\>
  <math|L=U>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#7136\>\<#7684\>\<#8BDD\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
  <math|L\<less\>U>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#786E\>\<#754C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#522B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
  <math|r<rsub|1>>\<#548C\> <math|s<rsub|1>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
  <math|r<rsub|1>\<less\>x\<less\>s<rsub|1>>\<#FF0C\>\<#4E14\>
  <math|<frac|L|U>*L\<less\>a<rsup|r<rsub|1>>\<less\>L\<less\>U\<less\>a<rsup|s<rsub|1>>\<less\><frac|U|L>*U>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>

  <\equation*>
    L\<less\><sqrt|a<rsup|r<rsub|1>>*a<rsup|s<rsub|1>>>\<less\>U
  </equation*>

  \<#5373\>

  <\equation*>
    L\<less\>a<rsup|<frac|r<rsub|1>+s<rsub|1>|2>>\<less\>U
  </equation*>

  \<#4F46\>\<#663E\>\<#7136\> <math|<frac|r<rsub|1>+s<rsub|1>|2>>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
  <math|x>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#5E94\>\<#5728\>\<#96C6\>\<#5408\>
  <math|A>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#4E0D\>\<#5E94\>\<#5F53\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
  <math|L>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#5927\>\<#4E8E\>
  <math|x>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#5E94\>\<#5F53\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
  <math|U>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5B83\>\<#4E5F\>\<#66F4\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#7B49\>\<#4E8E\>
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  <math|K>\<#662F\>\<#5426\>\<#5728\>\<#96C6\>\<#5408\> <math|A>\<#3001\>
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  <math|K\<in\>A>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
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  <math|r<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#6240\>\<#6709\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
  <math|r\<less\>x>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
  <math|r>\<#90FD\>\<#6709\> <math|a<rsup|r>\<leqslant\>a<rsup|r<rsub|0>>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5728\>
  <math|r<rsub|0>>\<#4E0E\> <math|x>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD8\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7740\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#591A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#90FD\>\<#6BD4\>
  <math|a<rsup|r<rsub|0>>>\<#8981\>\<#5927\>\<#3002\>\<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>
  <math|K>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#5C5E\>\<#4E8E\>
  <math|B>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>
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  <math|a<rsup|x>=K>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#3002\>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>
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    <math|A=<around|{|a<rsup|r>\|r\<less\>x,r\<in\>\<bbb-Q\>|}>>\<#4E0E\>
    <math|B=<around|{|a<rsup|s>\|s\<gtr\>x,s\<in\>\<bbb-Q\>|}>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#4E8C\>\<#8005\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5171\>\<#540C\>\<#7684\>\<#786E\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\>
    <math|a>\<#7684\> <math|x>\<#6B21\>\<#5E42\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4E3A\>
    <math|a<rsup|x>>.
  </definition>

  \<#6709\>\<#4E86\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#FF0C\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#62D3\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#5168\>\<#4F53\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#4E0A\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#5B83\>\<#8FD8\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#7740\>\<#5728\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#6240\>\<#5177\>\<#6709\>\<#7684\>\<#826F\>\<#597D\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#5373\>:

  <\theorem>
    \<#8BBE\> <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>
    <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|a<rsup|x>>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#6027\>\<#8D28\>

    <\enumerate>
      <item> <math|a<rsup|x>\<gtr\>0>

      <item> <math|a<rsup|x<rsub|1>+x<rsub|2>>=a<rsup|x<rsub|1>>\<cdot\>a<rsup|x<rsub|2>>,a<rsup|x<rsub|1>-x<rsub|2>>=<frac|a<rsup|x<rsub|1>>|a<rsup|x<rsub|2>>>>

      <item>\<#82E5\> <math|a\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>
      <math|a<rsup|x>>\<#968F\> <math|x>\<#4E25\>\<#683C\>\<#9012\>\<#589E\>\<#FF0C\>\<#82E5\>
      <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#662F\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#9012\>\<#51CF\>.

      <item>\<#FF08\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF09\>\<#56FA\>\<#5B9A\>
      <math|x<rsub|0>\<in\>\<bbb-R\>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>
      <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#53EA\>\<#8981\>
      <math|<around|\||x-x<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>
      <math|<around|\||a<rsup|x>-a<rsup|x<rsub|0>>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>.
    </enumerate>
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>
  <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#7740\>\<#5728\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#3001\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#548C\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#7684\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#96BE\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#5904\>\<#7565\>\<#53BB\>\<#3002\>

  <subsection|\<#4F2F\>\<#52AA\>\<#5229\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>><label|sec:bernoulli-inequality>

  <\theorem>
    <dueto|\<#4F2F\>\<#52AA\>\<#5229\>(Bernoulli)\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>><label|theorem:bernoulli-inequality>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x\<geqslant\>-1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

    <\equation>
      <label|eq:bernoulli-inequality><around|(|1+x|)><rsup|n>\<geqslant\>1+n*x
    </equation>

    \<#7B49\>\<#53F7\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>
    <math|x=0>\<#6216\>\<#8005\> <math|x=-1,n=1>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5728\> <math|x\<geqslant\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#6309\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#5230\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5173\>\<#952E\>\<#662F\>\<#5982\>\<#4F55\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|x\<less\>0>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#3002\>

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    <\equation*>
      a<rsup|n>-b<rsup|n>=<around|(|a-b|)>*<around|(|a<rsup|n-1>+a<rsup|n-2>*b+\<cdots\>+a*b<rsup|n-2>+b<rsup|n-1>|)>
    </equation*>

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    <math|b=1>\<#4FBF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <around|(|1+x|)><rsup|n>-1=x*<around*|[|<around|(|1+x|)><rsup|n-1>+<around|(|1+x|)><rsup|n-2>+\<cdots\>+<around|(|1+x|)>+1|]>
    </equation*>

    \<#5982\>\<#679C\> <math|x\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#4E2D\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#5185\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5927\>\<#4E8E\>
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    <math|-1\<less\>x\<less\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4E2D\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#5185\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
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  </proof>

  <subsection|\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>><label|sec:import-complex-number>

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  <\theorem>
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    <math|a+b*i*<around|(|a,b\<in\>R|)>>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53EA\>\<#5229\>\<#7528\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#5BF9\>\<#8C61\>\<#4E3A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#865A\>\<#6570\>\<#5355\>\<#4F4D\>
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    <\equation*>
      a<rsub|n>*i<rsup|n>+a<rsub|n-1>*i<rsup|n-1>+\<cdots\>+a<rsub|2>*i<rsup|2>+a<rsub|1>*i+a<rsub|0>
    </equation*>

    \<#6839\>\<#636E\>\<#865A\>\<#6570\>\<#5355\>\<#4F4D\>
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    <math|i<rsup|n>>\<#4F9D\>\<#6B21\>\<#5FAA\>\<#73AF\>\<#53D6\>\<#503C\>
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  </proof>

  \<#7531\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#590D\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#5177\>\<#6709\>\<#5F62\>\<#5F0F\>
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  <math|I*m<around|(|z|)>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#590D\>\<#6570\>
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  <math|<around|(|a,b|)>>\<#4E00\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#4E0E\>\<#5750\>\<#6807\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#4E00\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5750\>\<#6807\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#90FD\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7740\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4FBF\>\<#88AB\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#590D\>\<#5E73\>\<#9762\>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#865A\>\<#6570\>\<#5355\>\<#4F4D\>
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  <math|<around|(|0,1|)>>.

  \<#89C4\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#5F53\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#5F53\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#90E8\>\<#548C\>\<#865A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#522B\>\<#76F8\>\<#7B49\>.\<#6B64\>\<#5916\>\<#FF0C\>\<#590D\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#3002\>

  \<#79F0\> <math|<sqrt|a<rsup|2>+b<rsup|2>>> \<#4E3A\>\<#590D\>\<#6570\>
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  <math|<around|\||z|\|>>\<#FF0C\>\<#5373\>
  <math|<around|\||z|\|>=<sqrt|a<rsup|2>+b<rsup|2>>>.

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  <math|z=a+b*i> \<#7684\> <em|\<#5171\>\<#8F6D\>\<#590D\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
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  <math|z>\<#7684\>\<#5171\>\<#8F6D\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5171\>\<#8F6D\>\<#590D\>\<#6570\>\<#662F\>
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  <math|a-b*i>\<#4E92\>\<#4E3A\>\<#5171\>\<#8F6D\>,\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>
  <math|<wide|<wide|z|\<bar\>>|\<bar\>>=z>.

  <subsection|\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FD0\>\<#7B97\>><label|sec:operation-of-complex-number>

  \<#8BBE\> <math|z<rsub|1>=a<rsub|1>+b<rsub|1>*i>,
  <math|z<rsub|2>=a<rsub|2>+b<rsub|2>*i>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#8FD0\>\<#7B97\>

  <\equation*>
    z<rsub|1>+z<rsub|2>=<around|(|a<rsub|1>+b<rsub|1>*i|)>+<around|(|a<rsub|2>+b<rsub|2>*i|)>=<around|(|a<rsub|1>+a<rsub|2>|)>+<around|(|b<rsub|1>+b<rsub|2>|)>*i
  </equation*>

  \<#5373\>\<#5B9E\>\<#90E8\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#4E3A\>\<#548C\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#90E8\>\<#FF0C\>\<#865A\>\<#90E8\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#4E3A\>\<#548C\>\<#6570\>\<#7684\>\<#865A\>\<#90E8\>.

  \<#540C\>\<#6837\>\<#6709\>\<#51CF\>\<#6CD5\>\<#8FD0\>\<#7B97\>

  <\equation*>
    z<rsub|1>-z<rsub|2>=<around|(|a<rsub|1>+b<rsub|1>*i|)>-<around|(|a<rsub|2>+b<rsub|2>*i|)>=<around|(|a<rsub|1>-a<rsub|2>|)>+<around|(|b<rsub|1>-b<rsub|2>|)>*i
  </equation*>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#590D\>\<#6570\> <math|z=a+b*i>\<#4E0E\>\<#5176\>\<#5171\>\<#8F6D\>\<#590D\>\<#6570\>
  <math|<wide|z|\<bar\>>=a-b*i>\<#FF0C\>\<#6613\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    z+<wide|z|\<bar\>>=2*a=2*R*e<around|(|z|)>,z-<wide|z|\<bar\>>=2*b=2*i*I*m<around|(|z|)>
  </equation*>

  \<#518D\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#51CF\>\<#6CD5\>\<#4E3A\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#9006\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6309\>\<#7167\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#5B9A\>\<#5F8B\>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <around|(|a<rsub|1>+b<rsub|1>*i|)>\<pm\><around|(|a<rsub|2>+b<rsub|2>*i|)>=<around|(|a<rsub|1>\<pm\>a<rsub|2>|)>+<around|(|b<rsub|1>\<pm\>b<rsub|2>|)>*i
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#663E\>\<#7136\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#51CF\>\<#6CD5\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7740\>\<#6570\>\<#5BF9\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#51CF\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7740\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#51CF\>\<#6CD5\>\<#3002\>

  \<#4E0D\>\<#96BE\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#5171\>\<#8F6D\>\<#590D\>\<#6570\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <wide|z<rsub|1>+z<rsub|2>|\<bar\>>=<wide|z<rsub|1>|\<bar\>>+<wide|z<rsub|2>|\<bar\>>
  </equation*>

  \<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6A21\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

  <\equation*>
    <around|\||z<rsub|1>+z<rsub|2>|\|>\<leqslant\><around|\||z<rsub|1>|\|>+<around|\||z<rsub|2>|\|>
  </equation*>

  \<#5173\>\<#4E8E\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around|(|a<rsub|1>+b<rsub|1>*i|)>*<around|(|a<rsub|2>+b<rsub|2>*i|)>>|<cell|=>|<cell|a<rsub|1>*a<rsub|2>+<around|(|a<rsub|1>*b<rsub|2>+a<rsub|2>*b<rsub|1>|)>*i+b<rsub|1>*b<rsub|2>*i<rsup|2>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around|(|a<rsub|1>*a<rsub|2>-b<rsub|1>*b<rsub|2>|)>+<around|(|a<rsub|1>*b<rsub|2>+a<rsub|2>*b<rsub|1>|)>*i>>>>
  </eqnarray*>

  \<#5C06\>\<#590D\>\<#6570\> <math|z=a+b*i>\<#4E0E\>\<#5176\>\<#5171\>\<#8F6D\>\<#590D\>\<#6570\>
  <math|<wide|z|\<bar\>>=a-b*i>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\equation*>
    z*<wide|z|\<bar\>>=<around|(|a+b*i|)>*<around|(|a-b*i|)>=a<rsup|2>-<around|(|b*i|)><rsup|2>=a<rsup|2>+b<rsup|2>=<around|\||z|\|><rsup|2>
  </equation*>

  \<#5373\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6A21\>\<#7684\>\<#5E73\>\<#65B9\>\<#FF0C\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#4E0E\>\<#5176\>\<#5171\>\<#8F6D\>\<#4E4B\>\<#4E58\>\<#79EF\>(\<#8FD9\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#4F1A\>\<#662F\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>).

  \<#540C\>\<#6837\>\<#89C4\>\<#5B9A\>\<#9664\>\<#6CD5\>\<#4E3A\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#9006\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|a<rsub|1>+b<rsub|1>*i|a<rsub|2>+b<rsub|2>*i>>|<cell|=>|<cell|<frac|<around|(|a<rsub|1>+b<rsub|1>*i|)>*<around|(|a<rsub|2>-b<rsub|2>*i|)>|<around|(|a<rsub|2>+b<rsub|2>*i|)>*<around|(|a<rsub|2>-b<rsub|2>*i|)>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|<around|(|a<rsub|1>*a<rsub|2>+b<rsub|1>*b<rsub|2>|)>+<around|(|b<rsub|1>*a<rsub|2>-a<rsub|1>*b<rsub|2>|)>*i|a<rsub|2><rsup|2>+b<rsub|2><rsup|2>>>>>>
  </eqnarray*>

  \<#540C\>\<#6837\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>

  <\equation*>
    <wide|z<rsub|1>*z<rsub|2>|\<bar\>>=<wide|z<rsub|1>|\<bar\>>\<cdot\><wide|z<rsub|2>|\<bar\>>,<wide|<around*|(|<frac|z<rsub|1>|z<rsub|2>>|)>|\<bar\>>=<frac|<wide|z<rsub|1>|\<bar\>>|<wide|z<rsub|2>|\<bar\>>>
  </equation*>

  \<#501F\>\<#7528\>\<#9664\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#590D\>\<#6570\>
  <math|z>\<#7684\>\<#5171\>\<#8F6D\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    <wide|z|\<bar\>>=<frac|<around|\||z|\|>|z>
  </equation*>

  \<#590D\>\<#6570\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#9664\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#4E0D\>\<#4FBF\>\<#4E8E\>\<#8BB0\>\<#5FC6\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#53CD\>\<#800C\>\<#66F4\>\<#52A0\>\<#5BB9\>\<#6613\>.
  \<#7A0D\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#590D\>\<#6570\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#9664\>\<#6CD5\>\<#5C06\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#5F53\>\<#7684\>\<#76F4\>\<#89C2\>\<#548C\>\<#7B80\>\<#6D01\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#7740\>\<#660E\>\<#663E\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#610F\>\<#4E49\>.

  <\example>
    <dueto|\<#4ECE\>\<#6570\>\<#5BF9\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#590D\>\<#6570\>>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4ECE\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#89D2\>\<#5EA6\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#590D\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7740\>\<#6570\>\<#8F74\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#5C5E\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#7EF4\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8BA4\>\<#4E3A\>\<#7ECF\>\<#8FC7\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#540E\>\<#7684\>\<#590D\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#4E8C\>\<#7EF4\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4E0E\>\<#5750\>\<#6807\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#70B9\>
    <math|<around|(|a,b|)>>\<#4E00\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#590D\>\<#6570\>
    <math|z>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5BF9\>
    <math|<around|(|a,b|)>>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|b=0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#590D\>\<#6570\>
    <math|<around|(|a,0|)>>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5982\>\<#4E0B\>:
    \<#82E5\> <math|z<rsub|1>=<around|(|a<rsub|1>,b<rsub|1>|)>>\<#FF0C\>
    <math|z<rsub|2>=<around|(|a<rsub|2>,b<rsub|2>|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      z<rsub|1>+z<rsub|2>=<around|(|a<rsub|1>+a<rsub|2>,b<rsub|1>+b<rsub|2>|)>
    </equation*>

    \<#518D\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#662F\>

    <\equation*>
      z<rsub|1>*z<rsub|2>=<around|(|a<rsub|1>*a<rsub|2>-b<rsub|1>*b<rsub|2>,a<rsub|1>*b<rsub|2>+a<rsub|2>*b<rsub|1>|)>
    </equation*>

    \<#5728\>\<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#90FD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EA4\>\<#6362\>\<#5F8B\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#5206\>\<#914D\>\<#5F8B\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#5916\>\<#FF0C\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>

    <\equation*>
      <around|(|a,b|)><around|(|1,0|)>=<around|(|a,b|)>
    </equation*>

    \<#5373\>\<#590D\>\<#6570\> <math|<around|(|1,0|)>>(\<#5373\>\<#5B9E\>\<#6570\>1)\<#5728\>\<#590D\>\<#6570\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#5185\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#662F\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#3002\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>

    <\equation*>
      <around|(|a,b|)>=<around|(|a,0|)><around|(|1,0|)>+<around|(|b,0|)><around|(|0,1|)>
    </equation*>

    \<#5373\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#5355\>\<#4F4D\>
    <math|<around|(|1,0|)>>\<#4E0E\> <math|<around|(|0,1|)>>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#6765\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#8BB0\>\<#7EB5\>\<#8F74\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#590D\>\<#6570\>
    <math|<around|(|0,1|)>>\<#4E3A\> <math|i>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7B80\>\<#5199\>\<#4E3A\>
    <math|<around|(|a,b|)>=a+b*i>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4ECE\>\<#6570\>\<#5BF9\>\<#51FA\>\<#53D1\>\<#FF0C\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E5F\>\<#5F15\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#5F0F\>><label|sec:triangle-form-of-complex-number>

  \<#5229\>\<#7528\>\<#53D8\>\<#6362\> <math|x=r*cos \<theta\>>\<#FF0C\>
  <math|y=r*sin \<theta\>>\<#FF0C\>\<#590D\>\<#6570\>
  <math|z=a+b*i>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6539\>\<#5199\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    z=r*<around|(|cos \<theta\>+i*sin \<theta\>|)>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>
  <math|r=<sqrt|x<rsup|2>+y<rsup|2>>>\<#4E3A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6A21\>\<#FF0C\>\<#5373\>
  <math|r=<around|\||z|\|>>\<#FF0C\>\<#89D2\>
  <math|\<theta\>>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#8FD9\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\><em|\<#8F90\>\<#89D2\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
  <math|A*r*g<around|(|z|)>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5468\>\<#671F\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
  <math|0\<leqslant\>\<theta\>\<less\>2*\<pi\>>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E2A\>\<#8F90\>\<#89D2\>\<#79F0\>\<#4E3A\>
  <math|z>\<#7684\><em|\<#8F90\>\<#89D2\>\<#4E3B\>\<#503C\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
  <math|a*r*g<around|(|z|)>>.

  \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#5F53\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#5F53\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#6A21\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#8F90\>\<#89D2\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#3002\>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#770B\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#79CD\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E0B\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#9664\>\<#6CD5\>\<#8FD0\>\<#7B97\>:

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|r<rsub|1>*<around|(|cos
    \<theta\><rsub|1>+i*sin \<theta\><rsub|1>|)>\<cdot\>r<rsub|2>*<around|(|cos
    \<theta\><rsub|2>+i*sin \<theta\><rsub|2>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|r<rsub|1>*r<rsub|2>*<around|[|<around|(|cos
    \<theta\><rsub|1>*cos \<theta\><rsub|2>-sin \<theta\><rsub|1>*sin
    \<theta\><rsub|2>|)>+<around|(|cos \<theta\><rsub|1>*sin
    \<theta\><rsub|2>+cos \<theta\><rsub|2>*sin
    \<theta\><rsub|1>|)>*i|]>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|r<rsub|1>*r<rsub|2>*<around|(|cos
    <around|(|\<theta\><rsub|1>+\<theta\><rsub|2>|)>+i*sin
    <around|(|\<theta\><rsub|1>+\<theta\><rsub|2>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  \<#800C\>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|<frac|r<rsub|1>*<around|(|cos
    \<theta\><rsub|1>+i*sin \<theta\><rsub|1>|)>|r<rsub|2>*<around|(|cos
    \<theta\><rsub|2>+i*sin \<theta\><rsub|2>|)>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|r<rsub|1>*<around|(|cos
    \<theta\><rsub|1>+i*sin \<theta\><rsub|1>|)>\<cdot\>r<rsub|2>*<around|(|cos
    \<theta\><rsub|2>-i*sin \<theta\><rsub|2>|)>|r<rsub|2>*<around|(|cos
    \<theta\><rsub|2>+i*sin \<theta\><rsub|2>|)>\<cdot\>r<rsub|2>*<around|(|cos
    \<theta\><rsub|2>-i*sin \<theta\><rsub|2>|)>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|r<rsub|1>*r<rsub|2>*<around|[|<around|(|cos
    \<theta\><rsub|1>*cos \<theta\><rsub|2>+sin \<theta\><rsub|1>*sin
    \<theta\><rsub|2>|)>+i*<around|(|sin \<theta\><rsub|1>*cos
    \<theta\><rsub|2>-cos \<theta\><rsub|1>*sin
    \<theta\><rsub|2>|)>|]>]|r<rsub|2><rsup|2>*<around|(|cos<rsup|2>
    \<theta\><rsub|2>+sin<rsup|2> \<theta\><rsub|2>|)>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|r<rsub|1>|r<rsub|2>>*<around|[|cos
    <around|(|\<theta\><rsub|1>-\<theta\><rsub|2>|)>+i*sin
    <around|(|\<theta\><rsub|1>-\<theta\><rsub|2>|)>|]>>>>>
  </eqnarray*>

  \<#53EF\>\<#89C1\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#9664\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5C06\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6A21\>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#9664\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#6216\>\<#5546\>\<#7684\>\<#6A21\>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8F90\>\<#89D2\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#51CF\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#6216\>\<#5546\>\<#7684\>\<#8F90\>\<#89D2\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#6CD5\>(\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#8FD8\>\<#662F\>\<#5916\>\<#79EF\>)\<#4E0D\>\<#518D\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#FF0C\>\<#590D\>\<#6570\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#5728\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E0B\>\<#53D8\>\<#5F97\>\<#76F8\>\<#5F53\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#8FD9\>\<#663E\>\<#7136\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#3002\>

  <\example>
    <dueto|\<#5229\>\<#7528\>\<#5171\>\<#8F6D\>\<#590D\>\<#6570\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#53D6\>\<#590D\>\<#6570\>
    <math|z<rsub|1>=r<rsub|1>*<around|(|cos \<theta\><rsub|1>+i*sin
    \<theta\><rsub|1>|)>>\<#FF0C\> <math|z<rsub|2>=r<rsub|2>*<around|(|cos
    \<theta\><rsub|2>+i*sin \<theta\><rsub|2>|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      z<rsub|1><wide|z<rsub|2>|\<bar\>>=r<rsub|1>*r<rsub|2>*<around|(|cos
      <around|(|\<theta\><rsub|1>-\<theta\><rsub|2>|)>+i*sin
      <around|(|\<theta\><rsub|1>-\<theta\><rsub|2>|)>|)>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#FF0C\> <math|z<rsub|1><wide|z<rsub|2>|\<bar\>>>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|z<rsub|1>>\<#4E0E\> <math|z<rsub|2>>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>
    <math|<wide|z<rsub|1>|\<bar\>>z<rsub|2>>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7B49\>\<#4E8E\>

    <\equation*>
      <frac|1|2>*<around|(|z<rsub|1><wide|z<rsub|2>|\<bar\>>+<wide|z<rsub|1>|\<bar\>>z<rsub|2>|)>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#6052\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      <around|(|z<rsub|1>-z<rsub|2>|)>*<around|(|<wide|z<rsub|1>|\<bar\>>-<wide|z<rsub|2>|\<bar\>>|)>=z<rsub|1><wide|z<rsub|1>|\<bar\>>+z<rsub|2><wide|z<rsub|2>|\<bar\>>-<around|(|z<rsub|1><wide|z<rsub|2>|\<bar\>>+<wide|z<rsub|1>|\<bar\>>z<rsub|2>|)>
    </equation*>

    \<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#5C31\>\<#662F\> <math|<around|\||z<rsub|1>-z<rsub|2>|\|><rsup|2>>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#524D\>\<#4E24\>\<#9879\>\<#5206\>\<#522B\>\<#662F\>
    <math|<around|\||z<rsub|1>|\|><rsup|2>>\<#548C\>
    <math|<around|\||z<rsub|2>|\|><rsup|2>>\<#FF0C\>\<#6700\>\<#540E\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#9879\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|z<rsub|1>>\<#4E0E\> <math|z<rsub|2>>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7684\>2\<#500D\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#5B9A\>\<#7406\>

    <\equation*>
      <around|\||z<rsub|1>-z<rsub|2>|\|><rsup|2>=<around|\||z<rsub|1>|\|><rsup|2>+<around|\||z<rsub|2>|\|><rsup|2>-2<around|\||z<rsub|1>|\|><around|\||z<rsub|2>|\|>*cos
      <around|(|\<theta\><rsub|1>-\<theta\><rsub|2>|)>
    </equation*>
  </example>

  <subsection|\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#65B9\>\<#4E0E\>\<#68E3\>\<#83AB\>\<#5F17\>\<#516C\>\<#5F0F\>><label|sec:demoivre-formual>

  \<#66F4\>\<#7279\>\<#522B\>\<#7684\>\<#662F\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#5E42\>\<#FF0C\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#77E5\>\<#9053\>

  <\equation>
    <label|eq:de-moivre-formula><around|[|r*<around|(|cos \<theta\>+i*sin
    \<theta\>|)>|]><rsup|n>=r<rsup|n>*<around|(|cos n*\<theta\>+i*sin
    n*\<theta\>|)>
  </equation>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#590D\>\<#6570\>\<#4E58\>\<#5E42\>\<#7684\><em|\<#68E3\>\<#83AB\>\<#5F17\>\<#516C\>\<#5F0F\>>.

  <\example>
    <dueto|\<#6B63\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#7684\>
    <math|n>\<#500D\>\<#89D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#4E0E\>\<#5207\>\<#6BD4\>\<#96EA\>\<#592B\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>>\<#5229\>\<#7528\>\<#68E3\>\<#83AB\>\<#5F17\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#7684\>
    <math|n>\<#500D\>\<#89D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#68E3\>\<#83AB\>\<#5F17\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#4EE4\>
    <math|r=1>\<#FF0C\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      cos n*\<theta\>+i*sin n*\<theta\>=<around|(|cos \<theta\>+i*sin
      \<theta\>|)><rsup|n>
    </equation*>

    \<#5C06\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#5229\>\<#7528\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#FF0C\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      cos n*\<theta\>+i*sin n*\<theta\>=<big|sum><rsub|k=0><rsup|n>C<rsub|n><rsup|k>*i<rsup|k>*cos<rsup|n-k>
      \<theta\>*sin<rsup|k> \<theta\>
    </equation*>

    \<#5F53\> <math|k>\<#4E3A\>\<#5076\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#901A\>\<#9879\>\<#53D8\>\<#4E3A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|k>\<#4E3A\>\<#5947\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#4E3A\>\<#865A\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#636E\>\<#6B64\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5C06\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#548C\>\<#865A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#5F00\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|cos n*\<theta\>+i*sin
      n*\<theta\>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|0\<leqslant\>2*r\<leqslant\>n><rsup|n><around|(|-1|)><rsup|r>*C<rsub|n><rsup|2*r>*cos<rsup|n-2*r>
      \<theta\>*sin<rsup|2*r> \<theta\>+i*<big|sum><rsub|0\<leqslant\>2*r+1\<leqslant\>n><around|(|-1|)><rsup|r>*C<rsub|n><rsup|2*r+1>*cos<rsup|n-2*r-1>
      \<theta\>*sin<rsup|2*r+1> \<theta\>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5F97\>\<#5230\>

    <\eqnarray>
      <tformat|<table|<row|<cell|cos n*\<theta\>>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|0\<leqslant\>2*r\<leqslant\>n><rsup|n><around|(|-1|)><rsup|r>*C<rsub|n><rsup|2*r>*cos<rsup|n-2*r>
      \<theta\>*sin<rsup|2*r> \<theta\><eq-number><label|eq:cos-sin-of-n-theta>>>|<row|<cell|sin
      n*\<theta\>>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|0\<leqslant\>2*r+1\<leqslant\>n><around|(|-1|)><rsup|r>*C<rsub|n><rsup|2*r+1>*cos<rsup|n-2*r-1>
      \<theta\>*sin<rsup|2*r+1> \<theta\><eq-number>>>>>
    </eqnarray>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#548C\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#7684\>
    <math|n>\<#500D\>\<#89D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>.

    \<#6839\>\<#636E\>\<#8FD9\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|cos n*\<theta\>>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5076\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5316\>\<#4E3A\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>
    <math|cos n*\<theta\>>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#4E3A\>
    <math|cos \<theta\>>\<#7684\> <math|n>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\><em|\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#5207\>\<#6BD4\>\<#96EA\>\<#592B\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      T<rsub|n><around|(|x|)>=<big|sum><rsub|0\<leqslant\>2*r\<leqslant\>n><around|(|-1|)><rsup|r>*C<rsub|n><rsup|2*r>*x<rsup|n-2*r>*<around|(|1-x<rsup|2>|)><rsup|r>
    </equation*>

    \<#5728\> <math|sin n*\<theta\>>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>
    <math|sin \<theta\>>\<#7684\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5947\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|<frac|sin <around|(|n+1|)>*\<theta\>|sin
    \<theta\>>>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#4E3A\>
    <math|cos \<theta\>>\<#7684\> <math|n>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\><em|\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#7C7B\>\<#5207\>\<#6BD4\>\<#96EA\>\<#592B\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      U<rsub|n><around|(|x|)>=<big|sum><rsub|0\<leqslant\>2*r+1\<leqslant\>n+1><around|(|-1|)><rsup|r>*C<rsub|n+1><rsup|2*r+1>*x<rsup|n-2*r>*<around|(|1-x<rsup|2>|)><rsup|r>
    </equation*>

    \<#5173\>\<#4E8E\>\<#5207\>\<#6BD4\>\<#96EA\>\<#592B\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#66F4\>\<#591A\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#53C2\>\<#89C1\><cite|elementary-math-notes>.
  </example>

  <\example>
    \<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|A<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|1+r*cos
      \<theta\>+r<rsup|2>*cos 2*\<theta\>+\<cdots\>+r<rsup|n>*cos
      n*\<theta\>>>|<row|<cell|B<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|r*sin
      \<theta\>+r<rsup|2>*sin 2*\<theta\>+\<cdots\>+r<rsup|n>*sin
      n*\<theta\>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#4EE4\> <math|z=r*<around|(|cos \<theta\>+i*sin
    \<theta\>|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|A<rsub|n>+i*B<rsub|n>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|1+r*<around|(|cos
      \<theta\>+i*sin \<theta\>|)>+r<rsup|2>*<around|(|cos 2*\<theta\>+i*sin
      2*\<theta\>|)>+\<cdots\>+r<rsup|n>*<around|(|cos n*\<theta\>+i*sin
      n*\<theta\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|1+z+z<rsup|2>+\<cdots\>+z<rsup|n>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1-z<rsup|n+1>|1-z>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1-r<rsup|n+1>*<around|(|cos
      <around|(|n+1|)>*\<theta\>+i*sin <around|(|n+1|)>*\<theta\>|)>|1-r*<around|(|cos
      \<theta\>+i*sin \<theta\>|)>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1-r<rsup|n+1>*<around|(|cos
      <around|(|n+1|)>*\<theta\>+i*sin <around|(|n+1|)>*\<theta\>|)>|1-r*<around|(|cos
      \<theta\>+i*sin \<theta\>|)>>\<cdot\><frac|1-r*cos \<theta\>+i*r*sin
      \<theta\>|1-r*cos \<theta\>+i*r*sin
      \<theta\>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1-r*cos
      \<theta\>+r<rsup|n+2>*cos n*\<theta\>-r<rsup|n+1>*cos
      <around|(|n+1|)>*\<theta\>|1-2*r*cos
      \<theta\>+r<rsup|2>>+>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|i*<frac|r*sin
      \<theta\>+r<rsup|n+2>*sin n*\<theta\>-r<rsup|n+1>*sin
      <around|(|n+1|)>*\<theta\>|1-2*r*cos \<theta\>+r<rsup|2>>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5B9E\>\<#90E8\>\<#548C\>\<#865A\>\<#90E8\>\<#53EF\>\<#5F97\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|A<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|<frac|1-r*cos
      \<theta\>+r<rsup|n+2>*cos n*\<theta\>-r<rsup|n+1>*cos
      <around|(|n+1|)>*\<theta\>|1-2*r*cos
      \<theta\>+r<rsup|2>>>>|<row|<cell|B<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|<frac|r*sin
      \<theta\>+r<rsup|n+2>*sin n*\<theta\>-r<rsup|n+1>*sin
      <around|(|n+1|)>*\<theta\>|1-2*r*cos \<theta\>+r<rsup|2>>>>>>
    </eqnarray*>
  </example>

  <subsection|\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5F00\>\<#65B9\>\<#4E0E\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#6839\>><label|sec:n-th-root-of-one>

  \<#6709\>\<#4E86\>\<#68E3\>\<#83AB\>\<#5F17\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5F00\>\<#65B9\>\<#3002\>

  \<#8BB0\> <math|z=r*<around|(|cos \<theta\>+i*sin
  \<theta\>|)>>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#6C42\>\<#5B83\>\<#7684\>
  <math|n>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#6839\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
  <math|z<rprime|'>=r<rprime|'>*<around|(|c*o*s*\<theta\><rprime|'>+i*sin
  \<theta\><rprime|'>|)>>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
  <math|n>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#6839\>\<#FF0C\>\<#6309\>\<#68E3\>\<#83AB\>\<#5F17\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5E94\>\<#6709\>

  <\equation*>
    z<rprime|'><rsup|n>=r<rprime|'><rsup|n>*<around|(|cos
    n*\<theta\><rprime|'>+i*sin n*\<theta\><rprime|'>|)>
  </equation*>

  \<#56E0\>\<#4E3A\> <math|z<rprime|'><rsup|n>=z>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6709\>
  <math|r<rprime|'><rsup|n>=r>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#53CA\>
  <math|n*\<theta\><rprime|'>=\<theta\>+2*m*\<pi\>*<around|(|m\<in\>Z|)>>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    r<rprime|'>=<sqrt|r|n>,\<theta\><rprime|'>=<frac|\<theta\>+2*m*\<pi\>|n>*<around|(|m=0,1,\<ldots\>,n-1|)>
  </equation*>

  \<#6216\>\<#8005\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    <sqrt|z|n>=<sqrt|r|n>*<around*|(|cos <frac|\<theta\>+2*m*\<pi\>|n>+i*sin
    <frac|\<theta\>+2*m*\<pi\>|n>|)>,<around|(|m=0,1,\<ldots\>,n-1|)>
  </equation*>

  \<#6839\>\<#636E\>\<#5468\>\<#671F\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#77E5\>
  <math|z>\<#7684\> <math|n>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#6839\>\<#6B63\>\<#597D\>\<#6709\>
  <math|n>\<#4E2A\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#5747\>\<#5300\>\<#5206\>\<#5E03\>\<#5728\>\<#590D\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#4EE5\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#4E3A\>\<#5706\>\<#5FC3\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>
  <math|<sqrt|<around|\||z|\|>|n>>\<#4E3A\>\<#534A\>\<#5F84\>\<#7684\>\<#5706\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5728\>\<#590D\>\<#6570\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F00\>
  <math|n>\<#6B21\>\<#65B9\>.

  \<#7279\>\<#522B\>\<#7684\>\<#662F\>\<#5F53\>
  <math|z=1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>1\<#8FDB\>\<#884C\>\<#5F00\>
  <math|n>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\> <math|1=cos 0+i*sin
  0>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5F97\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6839\>

  <\equation*>
    \<varepsilon\><rsub|i>=cos <frac|2*i*\<pi\>|n>+i*sin
    <frac|2*i*\<pi\>|n>,i=0,1,\<ldots\>,n-1
  </equation*>

  \<#663E\>\<#7136\> <math|\<varepsilon\><rsub|0>=1>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#5747\>\<#5300\>\<#5206\>\<#5E03\>\<#5728\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5706\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#8F90\>\<#89D2\>\<#4F9D\>\<#6B21\>\<#4E3A\>
  <math|0>, <math|<frac|2*\<pi\>|n>>, <math|2\<cdot\><frac|2*\<pi\>|n>>,
  <math|\<ldots\>>\<#FF0C\> <math|<around|(|n-1|)>\<cdot\><frac|2*\<pi\>|n>>.

  \<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#6839\> <math|\<varepsilon\><rsub|i>*<around|(|i=0,1,\<ldots\>,n-1|)>>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|
  <math|n>\<#6B21\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#6839\>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#8BB0\>
  <math|\<varepsilon\>=\<varepsilon\><rsub|1>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#53D1\>\<#73B0\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>
  <math|n> \<#4E2A\>\<#6839\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#5C31\>\<#662F\>

  <\equation*>
    1,\<varepsilon\>,\<varepsilon\><rsup|2>,\<ldots\>,\<varepsilon\><rsup|n-1>
  </equation*>

  \<#800C\> <math|\<varepsilon\><rsub|k>=\<varepsilon\><rsup|k>*<around|(|k=0,1,\<ldots\>,n-1|)>>.

  \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#4E0B\>\<#6709\>\<#54EA\>\<#4E9B\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\proposition>
    123
  </proposition>

  <\proposition>
    \ \<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|n> \<#6B21\>\<#5355\>\<#4F4D\>
    <math|\<varepsilon\><rsub|i>*<around|(|i=0,1,\<ldots\>,n-1|)>>
    \<#6216\>\<#8005\>\<#5199\>\<#6210\> <math|1,\<varepsilon\>,\<varepsilon\><rsup|2>,\<ldots\>,\<varepsilon\><rsup|n-1>>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\enumerate>
      <item> <math|\<varepsilon\><rsup|n>=1=\<varepsilon\><rsub|i><rsup|n>>

      <item> <math|\<varepsilon\><rsub|k>=\<varepsilon\><rsup|k>*<around|(|k=0,1,\<ldots\>,n-1|)>>

      <item> <math|\<varepsilon\><rsub|k+l>=\<varepsilon\><rsub|k>*\<varepsilon\><rsub|l>*<around|(|k,l\<in\>\<bbb-N\>|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#89C4\>\<#5B9A\>
      <math|\<varepsilon\><rsub|n+k>=\<varepsilon\><rsub|k>>\<#4EE5\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#8D8A\>\<#754C\>.

      <item> <math|<wide|\<varepsilon\><rsub|k>|\<bar\>>=\<varepsilon\><rsub|n-k>>

      <item> <math|1+\<varepsilon\>+\<varepsilon\><rsup|2>+\<cdots\>+\<varepsilon\><rsup|n-1>=0>

      <item>\<#6709\>\<#590D\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#56E0\>\<#5F0F\>\<#5206\>\<#89E3\>
      <math|z<rsup|n>-1=<around|(|z-1|)>*<around|(|z-\<varepsilon\>|)>*<around|(|z-\<varepsilon\><rsup|2>|)>*\<cdots\>*<around|(|z-\<varepsilon\><rsup|n-1>|)>>

      <item>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#6839\>\<#7684\>\<#5E42\>\<#65B9\>\<#548C\>(\<#4E0B\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>
      <math|m\<in\>\<bbb-N\>>)

      <\equation*>
        <big|sum><rsub|k=0><rsup|n-1>\<varepsilon\><rsub|k><rsup|m>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|0,>|<cell|<around|(|n,m|)>=1,>>|<row|<cell|n,>|<cell|n\<mid\>m>>>>>
      </equation*>
    </enumerate>
  </proposition>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#524D\>\<#4E09\>\<#6761\>\<#662F\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#770B\>\<#51FA\>\<#7684\>.

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7B2C\>\<#56DB\>\<#6761\>\<#FF0C\>\<#7531\>

    <\equation*>
      <wide|\<varepsilon\><rsub|k>|\<bar\>>=<frac|1|\<varepsilon\><rsub|k>>=<frac|\<varepsilon\><rsub|k><rsup|n>|\<varepsilon\><rsup|k>>=\<varepsilon\><rsup|n-k>=\<varepsilon\><rsub|n-k>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7B2C\>\<#4E94\>\<#6761\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|\<varepsilon\><rsup|n>=1> \<#6709\>

    <\equation*>
      0=1-\<varepsilon\><rsup|n>=<around|(|1-\<varepsilon\>|)>*<around|(|1+\<varepsilon\>+\<varepsilon\><rsup|2>+\<cdots\>+\<varepsilon\><rsup|n-1>|)>
    </equation*>

    \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56E0\>\<#5F0F\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#56E0\>\<#5F0F\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#4E3A\>\<#96F6\>(\<#4F9D\>\<#636E\>\<#662F\>\<#590D\>\<#6570\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#6CD5\>)\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|1+\<varepsilon\>+\<varepsilon\><rsup|2>+\<cdots\>+\<varepsilon\><rsup|n-1>=0>.

    \<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#7B2C\>\<#4E94\>\<#6761\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7531\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#5F97\>\<#6765\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<big|sum><rsub|k=0><rsup|n-1>cos
      k<frac|2*\<pi\>|n>>|<cell|=>|<cell|0>>|<row|<cell|<big|sum><rsub|k=0><rsup|n-1>sin
      k<frac|2*\<pi\>|n>>|<cell|=>|<cell|0>>>>
    </eqnarray*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\>\<#53EA\>\<#8BC1\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#5904\>\<#7406\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4FBF\>\<#4E8E\>\<#4E66\>\<#5199\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C1D\>\<#8BD5\>\<#6C42\>\<#548C\>
    <math|cos \<theta\>+cos 2*\<theta\>+\<cdots\>+cos
    n*\<theta\>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#5B83\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#4E58\>\<#4EE5\>\<#56E0\>\<#5F0F\>
    <math|2*sin <frac|\<theta\>|2>>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#79EF\>\<#5316\>\<#548C\>\<#5DEE\>\<#516C\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      2*cos \<alpha\>*sin \<beta\>=sin <around|(|\<alpha\>+\<beta\>|)>-sin
      <around|(|\<alpha\>-\<beta\>|)>
    </equation*>

    \<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <\eqsplit>
        <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|2*<around|(|cos \<theta\>+cos
        2*\<theta\>+\<cdots\>+cos n*\<theta\>|)>*sin
        <frac|\<theta\>|2>>>|<row|<cell|=>|<cell|<around*|(|sin
        <frac|3|2>*\<theta\>-sin <frac|\<theta\>|2>|)>+<around*|(|sin
        <frac|5|2>*\<theta\>-sin <frac|3|2>*\<theta\>|)>+\<cdots\>+<around*|(|sin
        <around*|(|n+<frac|1|2>|)>*\<theta\>-sin
        <around*|(|n-<frac|1|2>|)>*\<theta\>|)>>>|<row|<cell|=>|<cell|sin
        <around*|(|n+<frac|1|2>|)>*\<theta\>-sin <frac|\<theta\>|2>>>>>
      </eqsplit>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      cos \<theta\>+cos 2*\<theta\>+\<cdots\>+cos n*\<theta\>=<frac|sin
      <around*|(|n+<frac|1|2>|)>*\<theta\>|2*sin
      <frac|\<theta\>|2>>-<frac|1|2>
    </equation*>

    \<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5C06\> <math|n>
    \<#66FF\>\<#6362\>\<#4E3A\> <math|n-1>\<#FF0C\>\<#5C06\> <math|\<theta\>>
    \<#4EE5\> <math|<frac|2*\<pi\>|n>> \<#53D6\>\<#4EE3\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|k=1><rsup|n-1>cos k<frac|2*\<pi\>|n>=-1
    </equation*>

    \<#6CE8\>\<#610F\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#662F\>\<#4ECE\>1\<#5F00\>\<#59CB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#6362\>\<#6210\>\<#4ECE\>0\<#5F00\>\<#59CB\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|k=0><rsup|n-1>cos k<frac|2*\<pi\>|n>=0
    </equation*>
  </proof>

  <section|\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>><label|sec:limit-of-number-sequence>

  <subsection|\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>><label|sec:concept-of-limit-for-number-sequence>

  \<#5728\>\<#4E2D\>\<#5B66\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#719F\>\<#77E5\>\<#53CD\>\<#6BD4\>\<#4F8B\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>=1/x>\<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#5728\>\<#5411\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#8FDC\>\<#5904\>\<#5EF6\>\<#4F38\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4F1A\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5411\>\<#6A2A\>\<#8F74\>\<#9760\>\<#8FD1\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
  <math|x>\<#53D6\>\<#6B63\>\<#503C\>\<#5E76\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#7684\>\<#589E\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#8C61\>\<#9650\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#652F\>\<#4F1A\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5411\>
  <math|x>\<#8F74\>\<#6B63\>\<#534A\>\<#8F74\>\<#9760\>\<#8FD1\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#65E0\>\<#8BBA\>
  <math|x>\<#53D6\>\<#591A\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>
  <math|1/x\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#59CB\>\<#7EC8\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#4E0E\>
  <math|x>\<#8F74\>\<#76F8\>\<#4EA4\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#7ED9\>\<#4E86\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4E00\>\<#79CD\>\P\<#65E0\>\<#9650\>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#76F8\>\<#7B49\>\Q\<#7684\>\<#76F4\>\<#89C2\>\<#611F\>\<#53D7\>\<#3002\>

  \<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#8BB8\>\<#591A\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#51C6\>\<#5907\>\<#6765\>\<#8BE6\>\<#7EC6\>\<#7684\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#4E0B\>\<#8FD9\>\<#79CD\>\P\<#65E0\>\<#9650\>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#53C8\>\<#4E0D\>\<#76F8\>\<#7B49\>\Q\<#7684\>\<#73B0\>\<#8C61\>\<#3002\>

  \<#4E0A\>\<#9762\>\<#53CD\>\<#6BD4\>\<#4F8B\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#662F\>\<#9488\>\<#5BF9\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5148\>\<#4ECE\>\<#8F83\>\<#4E3A\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#6570\>\<#5217\>
  <math|x<rsub|n>=1/n>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5728\>
  <math|n>\<#53D6\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#5E76\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#589E\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#503C\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#7684\>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5374\>\<#603B\>\<#662F\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#4ECE\>\<#8FD9\>\<#79CD\>\<#73B0\>\<#8C61\>\<#4E2D\>\<#63D0\>\<#53D6\>
  <em|\<#6781\>\<#9650\>> \<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#3002\>

  \<#9996\>\<#5148\>\<#8981\>\<#6307\>\<#51FA\>\<#7684\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\P\<#65E0\>\<#9650\>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#4F46\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\Q\<#4E2D\>\<#7684\>\P\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\Q\<#5176\>\<#5B9E\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7D27\>\<#8981\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4F8B\>\<#5982\>\<#5728\>\<#6570\>\<#5217\>
  <math|1/n>\<#4E2D\>\<#628A\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#4E3A\>\<#5076\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9879\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#6362\>\<#6210\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>"\<#65E0\>\<#9650\>"\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#5E76\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#88AB\>\<#7834\>\<#574F\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#5B83\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#7ED9\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4EE5\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5370\>\<#8C61\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#589E\>\<#5927\>\<#7684\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#6B21\>\<#7684\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#4ECE\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#4E2D\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#77E5\>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#7684\>\<#3002\>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5148\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#521D\>\<#6B65\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>:
  \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\> <math|x<rsub|n>>\<#5728\>\<#968F\>\<#7740\>
  <math|n>\<#7684\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#589E\>\<#5927\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#7684\>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E38\>\<#6570\>
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  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>:

  <\definition>
    <dueto|\<#90BB\>\<#57DF\>>\<#4EE5\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#4E3A\>\<#4E2D\>\<#5FC3\>\<#534A\>\<#5F84\>\<#4E3A\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#7684\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|x-\<varepsilon\>,x+\<varepsilon\>|)>>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#7684\> <math|\<varepsilon\>-><em|\<#90BB\>\<#57DF\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|U<around|(|x,\<varepsilon\>|)>>\<#FF0C\>\<#82E5\>\<#4ECE\>\<#4E2D\>\<#53BB\>\<#6389\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|<around|(|x-\<varepsilon\>,x|)>\<cup\><around|(|x,x+\<varepsilon\>|)>>\<#79F0\>\<#4E3A\>
    <math|x>\<#7684\> <math|\<varepsilon\>-><em|\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|<wide|U|\<abovering\>><around|(|x,\<varepsilon\>|)>>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#65F6\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#5173\>\<#5FC3\>\<#534A\>\<#5F84\>\<#662F\>\<#591A\>\<#5C11\>\<#FF0C\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#548C\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#FF0C\>\<#7B80\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|U<around|(|x|)>>\<#548C\> <math|<wide|U|\<abovering\>><around|(|x|)>>.
  </definition>

  \<#501F\>\<#52A9\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#523B\>\<#753B\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF1A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
  <math|A>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
  <math|A>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>
  <math|U<around|(|A|)>>\<#FF0C\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#8D85\>\<#8FC7\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#503C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5C06\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#843D\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#53EA\>\<#6709\>\<#6709\>\<#9650\>\<#9879\>\<#843D\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5916\>\<#90E8\>\<#3002\>

  <subsection|\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#4F8B\>><label|sec:some-examples-about-limit-of-number-sequence>

  <\example>
    <label|example:limit-of-1-devide-by-n-power-p>\<#524D\>\<#9762\>\<#5728\>\<#63D0\>\<#70BC\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#65F6\>\<#7528\>\<#4E86\>
    <math|<frac|1|n>>\<#5728\> <math|n>\<#65E0\>\<#9650\>\<#589E\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#5229\>\<#7528\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>:

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|1|n>=0
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#4F7F\>
    <math|<frac|1|n>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>
    <math|n\<gtr\><frac|1|\<varepsilon\>>>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#53D6\>
    <math|N=1+<around*|[|<frac|1|\<varepsilon\>>|]>>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#7684\>
    <math|N>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#6BD4\>
    <math|<frac|1|\<varepsilon\>>>\<#5927\>\<#5C31\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#4E0D\>\<#4E13\>\<#95E8\>\<#4F5C\>\<#53D6\>\<#6574\>\<#5904\>\<#7406\>\<#4E86\>\<#3002\>

    \<#4EFF\>\<#6B64\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|p>\<#662F\>\<#6B63\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|1|n<rsup|p>>=0
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-q-power-n>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|q>\<#6EE1\>\<#8DB3\> <math|<around|\||q|\|>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> q<rsup|n>=0
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#4F7F\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
    <math|<around|\||q<rsup|n>-0|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>
    <math|n\<gtr\><frac|ln \<varepsilon\>|ln
    <around|\||q|\|>>>\<#5C31\>\<#884C\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5F97\>\<#4E86\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-1-devide-by-a-power-n>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|1|a<rsup|n>>=0
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#662F\><reference|example:limit-of-q-power-n>\<#7684\>\<#7279\>\<#4F8B\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6362\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B83\>.

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#591A\>\<#4E48\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#627E\>\<#5230\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#6240\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#7684\>
    <math|N>\<#FF0C\>\<#8003\>\<#8651\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      <frac|1|a<rsup|n>>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\> <math|a<rsup|n>\<gtr\>1/\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|a=1+\<lambda\>>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|\<lambda\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#6309\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#6709\><footnote|\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#5E76\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#4ECE\>
    <math|a<rsup|n>\<gtr\>1/\<varepsilon\>>\<#4E2D\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#6765\>\<#5F97\>\<#51FA\>
    <math|n\<gtr\>log<rsub|a><around|(|1/\<varepsilon\>|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5C3D\>\<#7BA1\>\<#4E2D\>\<#5B66\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5B66\>\<#8FC7\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#90A3\>\<#65F6\>\<#8FD8\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6307\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#662F\>\<#4E0D\>\<#5B8C\>\<#6574\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#65E0\>\<#6CD5\>\<#786E\>\<#8BA4\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5E95\>\<#6570\>
    <math|a>\<#FF0C\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|1/\<varepsilon\>>\<#7684\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#662F\>\<#5426\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#5728\><reference|sec:irrational-power>\<#4E2D\>\<#4E13\>\<#95E8\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#6307\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#548C\>\<#503C\>\<#57DF\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#3002\>>

    <\equation*>
      a<rsup|n>=<around|(|1+\<lambda\>|)><rsup|n>=1+n*\<lambda\>+<frac|n*<around|(|n-1|)>|2!>*\<lambda\><rsup|2>+\<cdots\>+\<lambda\><rsup|n>\<gtr\>1+n*\<lambda\>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#8981\> <math|1+n*\<lambda\>\<gtr\>1/\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
    <math|a<rsup|n>\<gtr\>1/\<varepsilon\>>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>
    <math|n\<gtr\><around|(|1/\<varepsilon\>-1|)>/<around|(|a-1|)>>\<#5C31\>\<#884C\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#9009\>\<#62E9\>
    <math|N\<gtr\><around|(|1/\<varepsilon\>-1|)>/<around|(|a-1|)>>\<#5C31\>\<#884C\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#5F97\>\<#4E86\>\<#6B64\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-n-devide-by-a-power-n>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5927\>\<#4E8E\>1\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|n|a<rsup|n>>=0
    </equation*>

    \<#4E8B\>\<#5B9E\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#4ECD\>\<#540C\><reference|example:limit-of-1-devide-by-a-power-n>\<#4E00\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>
    <math|a=1+\<lambda\>*<around|(|\<lambda\>\<gtr\>0|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      a<rsup|n>=<around|(|1+\<lambda\>|)><rsup|n>=<big|sum><rsub|i=0><rsup|n>C<rsub|n><rsup|i>*\<lambda\><rsup|i>\<gtr\>C<rsub|n><rsup|2>*\<lambda\><rsup|2>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|n|a<rsup|n>>\<less\><frac|n|C<rsub|n><rsup|2>*\<lambda\><rsup|2>>=<frac|2|<around|(|n-1|)>*\<lambda\><rsup|2>>
    </equation*>

    \<#5728\> <math|n\<gtr\>2>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#53C8\>\<#6709\>
    <math|n-1\<gtr\><frac|n|2>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#66F4\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|n|a<rsup|n>>\<less\><frac|4|n*\<lambda\><rsup|2>>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\> <math|n\<gtr\>max
    <around|{|2,<frac|4|\<lambda\><rsup|2>*\<varepsilon\>>|}>>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#6709\>
    <math|<frac|n|a<rsup|n>>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#5F97\>\<#6240\>\<#8981\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-lnn-devide-by-n>\<#5728\><reference|example:limit-of-n-devide-by-a-power-n>\<#7684\>\<#57FA\>\<#7840\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|ln n|n>=0
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\> <math|<frac|ln
    n|n>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#4F7F\>
    <math|n\<less\><around|(|e<rsup|\<varepsilon\>>|)><rsup|n>>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#6839\>\<#636E\><reference|example:limit-of-n-devide-by-a-power-n>\<#4E2D\>\<#6240\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#8D77\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5728\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6545\>\<#6B64\>\<#5C31\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#4E86\>\<#6B64\>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-a-power-n-devide-by-n-fraction>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|a<rsup|n>|n!>=0
    </equation*>

    \<#5C06\>\<#539F\>\<#5F0F\>\<#5199\>\<#6210\>

    <\equation*>
      a\<cdot\><frac|a|2>*\<cdots\>*<frac|a|n>
    </equation*>

    \<#4EFB\>\<#53D6\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\> <math|M>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|M\<gtr\>a>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#56E0\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#4E0E\>
    <math|M>\<#7684\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#5206\>\<#6210\>\<#4E24\>\<#90E8\>\<#5206\>(\<#9650\>\<#5B9A\>
    <math|n\<gtr\>M>)

    <\equation*>
      <around*|(|a\<cdot\><frac|a|2>*\<cdots\>*<frac|a|M>|)>*<around*|(|<frac|a|M+1>\<cdot\><frac|a|M+2>*\<cdots\>*<frac|a|n>|)>
    </equation*>

    \<#5C06\>\<#540E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#56E0\>\<#5F0F\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#653E\>\<#5927\>\<#4E3A\>
    <math|<frac|a|M>>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <around*|(|a\<cdot\><frac|a|2>*\<cdots\>*<frac|a|M>|)><around*|(|<frac|a|M>|)><rsup|n-M>
    </equation*>

    \<#5B83\>\<#5177\>\<#6709\>\<#5F62\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      c*q<rsup|n>
    </equation*>

    \<#5176\>\<#4E2D\> <math|q=<frac|a|M>>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|<around|\||q|\|>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|c>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6B64\>\<#5F0F\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#539F\>\<#5F0F\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#4EE5\>\<#96F6\>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-n-sqrt-a-when-a-greater-than-1>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <sqrt|a|n>=1>

    <\proof>
      <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>>\<#5229\>\<#7528\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#516C\>\<#5F0F\>
      <math|x<rsup|n>-1=<around|(|x-1|)>*<around|(|x<rsup|n-1>+x<rsup|n-2>+\<cdots\>+1|)>>\<#53EF\>\<#5F97\>

      <\equation*>
        <sqrt|a|n>-1=<frac|a-1|<around|(|<sqrt|a|n>|)><rsup|n-1>+<around|(|<sqrt|a|n>|)><rsup|n-2>+\<cdots\>+1>\<less\><frac|1|n>*<around|(|a-1|)>
      </equation*>

      \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
      <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#53D6\>
      <math|N\<gtr\><frac|a-1|\<varepsilon\>>>\<#4FBF\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
      <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\>\<#6709\> <math|0\<less\><sqrt|a|n>-1\<less\>\<varepsilon\>>,\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5F97\>\<#8BC1\>\<#3002\>
    </proof>

    <\proof>
      <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E8C\>>\<#8BBE\>
      <math|z<rsub|n>=<sqrt|a|n>-1>\<#FF0C\>\<#5219\>

      <\equation*>
        a=<around|(|1+z<rsub|n>|)><rsup|n>=1+n*z<rsub|n>+<frac|n*<around|(|n-1|)>|2!>*z<rsub|n><rsup|2>+\<cdots\>+z<rsub|n><rsup|n>\<gtr\>1+n*z<rsub|n>
      </equation*>

      \<#6240\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>

      <\equation*>
        0\<less\>z<rsub|n>\<less\><frac|1|n>*<around|(|a-1|)>
      </equation*>

      \<#4E0B\>\<#540C\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>.
    </proof>
  </example>

  <\example>
    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <sqrt|n|n>=1
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#5728\> <math|n\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#6709\>
    <math|<sqrt|n|n>\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <sqrt|n|n>\<less\>1+\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#8FD9\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>

    <\equation*>
      n\<less\><around|(|1+\<varepsilon\>|)><rsup|n>
    </equation*>

    \<#5C31\>\<#884C\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\><reference|example:limit-of-n-devide-by-a-power-n>\<#4E2D\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#529E\>\<#5230\>\<#7684\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#73B0\>\<#5728\>\<#8BC1\>\<#660E\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|1|<sqrt|n!|n>>=0
    </equation*>

    \<#4EFB\>\<#610F\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#5728\> <math|n\<gtr\>M>\<#65F6\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

    <\equation*>
      n!\<gtr\>M!M<rsup|n-M>
    </equation*>

    \<#5373\>

    <\equation*>
      <frac|1|<sqrt|n!|n>>\<less\><frac|1|M<sqrt|<frac|M!|M<rsup|M>>|n>>
    </equation*>

    \<#800C\> <math|<frac|M!|M<rsup|M>>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\><reference|example:limit-of-n-sqrt-a-when-a-greater-than-1>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <sqrt|<frac|M!|M<rsup|M>>|n>\<gtr\><frac|1|2>
    </equation*>

    \<#4ECE\>\<#800C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|1|<sqrt|n!|n>>\<less\><frac|2|M>
    </equation*>

    \<#5373\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#5F53\> <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BA9\>
    <math|<frac|2|M>\<less\>\<varepsilon\>>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <label|example:mean-value-of-converge-number-sequence>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>>\<#4EE5\> <math|A>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8003\>\<#5BDF\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#524D\>
    <math|n>\<#9879\>\<#7684\>\<#7B97\>\<#672F\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#5E8F\>\<#5217\>

    <\equation*>
      M<rsub|n>=<frac|x<rsub|1>+x<rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>|n>
    </equation*>

    \<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#3002\>

    \<#5148\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#76F4\>\<#89C2\>\<#7684\>\<#60F3\>\<#8C61\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4EE5\>
    <math|A>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#9879\>\<#968F\>\<#7740\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#589E\>\<#5927\>\<#5C06\>\<#4E0E\>
    <math|A>\<#65E0\>\<#9650\>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#FF0C\>\<#9664\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#9879\>\<#5916\>\<#FF0C\>\<#8D8A\>\<#5F80\>\<#540E\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7247\>\<#6BB5\>\<#7684\>\<#7B97\>\<#672F\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#4E5F\>\<#5E94\>\<#8BE5\>\<#4E0E\>
    <math|A>\<#65E0\>\<#9650\>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#662F\>\<#8D8A\>\<#7740\>
    <math|n>\<#7684\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#589E\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6700\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#4E0E\>
    <math|A>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#7684\>\<#9879\>\<#5BF9\>\<#7B97\>\<#672F\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#7684\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#4E5F\>\<#5C06\>\<#8D8A\>\<#6765\>\<#8D8A\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#731C\>\<#60F3\>
    <math|M<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\> <math|A>.

    \<#4E8B\>\<#5B9E\>\<#4E0A\>\<#4E5F\>\<#7684\>\<#786E\>\<#5982\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|N>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\> <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||a<rsub|n>-A|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|A-\<varepsilon\>\<less\>a<rsub|n>\<less\>A+\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|(|n-N|)>*<around|(|A-\<varepsilon\>|)>\<less\>a<rsub|N+1>+a<rsub|N+2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<less\><around|(|n-N|)>*<around|(|A+\<varepsilon\>|)>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|N>a<rsub|i>+<around|(|n-N|)>*<around|(|A-\<varepsilon\>|)>\<less\>a<rsub|1>+a<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<less\><big|sum><rsub|i=1><rsup|N>a<rsub|i>+<around|(|n-N|)>*<around|(|A+\<varepsilon\>|)>
    </equation*>

    \<#4ECE\>\<#800C\>

    <\equation*>
      A-\<varepsilon\>+<frac|1|n>*<around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|N>a<rsub|i>-N*<around|(|A-\<varepsilon\>|)>|)>\<less\>M<rsub|n>\<less\>A+\<varepsilon\>+<frac|1|n>*<around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|N>a<rsub|i>-N*<around|(|A+\<varepsilon\>|)>|)>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#4E3A\> <math|lim <rsub|n\<to\>\<infty\>><frac|1|n>=0>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#524D\>\<#8FF0\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4EE4\>

    <\equation*>
      \<varepsilon\><rsub|1>=<frac|\<varepsilon\>|<around*|\||<big|sum><rsub|i=1><rsup|N>a<rsub|i>-N*<around|(|A-\<varepsilon\>|)>|\|>>
    </equation*>

    \<#548C\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>

    <\equation*>
      \<varepsilon\><rsub|2>=<frac|\<varepsilon\>|<around*|\||<big|sum><rsub|i=1><rsup|N>a<rsub|i>-N*<around|(|A+\<varepsilon\>|)>|\|>>
    </equation*>

    \<#518D\>\<#4EE4\> <math|\<varepsilon\><rsub|0>=max
    <around|{|\<varepsilon\><rsub|1>,\<varepsilon\><rsub|2>|}>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|N<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|n\<gtr\>N<rsub|0>>\<#65F6\>\<#FF0C\>
    <math|<frac|1|n>\<less\>\<varepsilon\><rsub|0>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5728\>
    <math|n\<gtr\>N<rsub|1>=max <around|{|N,N<rsub|0>|}>>\<#65F6\>\<#6709\>

    <\equation*>
      A-2*\<varepsilon\>\<less\>M<rsub|n>\<less\>A+2*\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4FBF\>\<#8BF4\>\<#660E\> <math|lim
    <rsub|n\<to\>\<infty\>>M<rsub|n>=A>\<#FF0C\>\<#9700\>\<#8981\>\<#63D0\>\<#9192\>\<#7684\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#7684\>
    <math|2*\<varepsilon\>>\<#4F3C\>\<#4E4E\>\<#4E0E\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#5C06\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#66FF\>\<#6362\>\<#4E3A\>
    <math|<frac|1|2>*\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E0E\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5B8C\>\<#5168\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#4ECE\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#89D2\>\<#5EA6\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#8BF4\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>
    <math|2*\<varepsilon\>>\<#7167\>\<#6837\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#53D6\>\<#904D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#5E76\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#672C\>\<#8D28\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#70B9\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#5C06\>\<#4E0D\>\<#518D\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <dueto|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#548C\>>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4F5C\>\<#51FA\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#524D\>
    <math|n>\<#9879\>\<#7684\>\<#548C\>

    <\equation*>
      S<rsub|n>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>a<rsub|i>=a<rsub|1>+a<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>
    </equation*>

    \<#4F9D\>\<#8D56\>\<#4E8E\> <math|n>\<#7684\>\<#53D6\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#548C\>\<#5C06\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|S<rsub|1>,S<rsub|2>,\<ldots\>>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>=a<rsub|1>+a<rsub|2>+\<cdots\>
    </equation*>

    \<#4E3A\><em|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|S<rsub|n>>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#7B2C\>
    <math|n>\<#4E2A\><em|\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|S<rsub|n>>\<#6709\>(\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>)\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      lim <rsub|n\<to\>\<infty\>>S<rsub|n>=S
    </equation*>

    \<#5219\>\<#79F0\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>
    <em|\<#6536\>\<#655B\>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|S>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\><em|\<#548C\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>=S
    </equation*>

    \<#5982\>\<#679C\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|S<rsub|n>>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#662F\><em|\<#53D1\>\<#6563\>>\<#7684\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#4E0E\>\<#8FD0\>\<#7B97\>><label|sec:properties-and-operation-of-limit>

  <\theorem>
    <dueto|\<#6781\>\<#9650\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#6027\>>\<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6781\>\<#9650\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53CD\>\<#8BC1\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#82E5\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>
    <math|a*1>\<#548C\> <math|a*2>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>
    <math|a<rsub|1>\<less\>a<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#90FD\>\<#80FD\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7740\>
    <math|<around|\||x<rsub|n>-a<rsub|1>|\|>\<less\>\<varepsilon\>> \<#548C\>
    <math|<around|\||x<rsub|n>-a<rsub|2>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#53D6\>
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  </proof>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\> <math|x<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|a>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|x>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#90FD\>\<#80FD\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#6052\>\<#5927\>\<#4E8E\>
    <math|x>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5927\>\<#4E8E\>
    <math|a>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|y>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E5F\>\<#80FD\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#6052\>\<#5927\>\<#4E8E\>
    <math|y>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#53D6\>
    <math|\<varepsilon\>\<less\>a-x>\<#5373\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#524D\>\<#534A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#518D\>\<#53D6\>
    <math|\<varepsilon\>\<less\>y-a>\<#5373\>\<#5F97\>\<#540E\>\<#534A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </proof>

  <\corollary>
    \<#4FDD\>\<#53F7\>\<#6027\>
  <|corollary>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5FC5\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#6052\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#6B63\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#82E5\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#8D1F\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5FC5\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#6052\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#8D1F\>\<#53F7\>\<#3002\>
  </corollary>

  <\theorem>
    <dueto|\<#6536\>\<#655B\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6709\>\<#754C\>\<#6027\>>\<#6536\>\<#655B\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5FC5\>\<#6709\>\<#754C\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#8FD9\>\<#5176\>\<#5B9E\>\<#4ECE\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#968F\>\<#4FBF\>\<#53D6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#77E5\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#843D\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|a-\<varepsilon\>,a+\<varepsilon\>|)>>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|a>\<#662F\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#6269\>\<#5927\>\<#6B64\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#628A\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#9879\>(\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>)\<#5305\>\<#542B\>\<#8FDB\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4FBF\>\<#6709\>\<#754C\>\<#3002\>
  </proof>

  <\theorem>
    <dueto|\<#4FDD\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#6027\>>\<#8BBE\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|b<rsub|n>>\<#5206\>\<#522B\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|A>\<#4E0E\> <math|B>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n>\<less\>b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|A\<leqslant\>B>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53CD\>\<#8BC1\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#82E5\>
    <math|A\<gtr\>B>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53D6\>
    <math|\<varepsilon\>=<frac|1|2>*<around|(|A-B|)>>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#5FC5\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n>\<gtr\>A-\<varepsilon\>=<frac|1|2>*<around|(|A+B|)>>\<#4EE5\>\<#53CA\>
    <math|b<rsub|n>\<less\>B+\<varepsilon\>=<frac|1|2>*<around|(|A+B|)>>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n>\<gtr\>b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|A\<leqslant\>B>.
  </proof>

  \<#8981\>\<#6CE8\>\<#610F\>\<#7684\>\<#662F\>\<#7531\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#5F97\>\<#51FA\>
  <math|A\<less\>B>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#4F8B\>\<#5982\>
  <math|a<rsub|n>=<frac|1|n<rsup|2>>>\<#4E0E\> <math|b<rsub|n>=<frac|1|n>>.

  <\theorem>
    <dueto|\<#5939\>\<#903C\>\<#51C6\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#8FEB\>\<#655B\>\<#6027\>>\<#82E5\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>>\<#3001\> <math|b<rsub|n>>\<#3001\>
    <math|c<rsub|n>>\<#5728\> <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n>\<leqslant\>b<rsub|n>\<leqslant\>c<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>
    <math|a<rsub|n>>\<#4E0E\> <math|c<rsub|n>>\<#90FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#540C\>\<#4E00\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|b<rsub|n>>\<#4EA6\>\<#5FC5\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#6B64\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6709\>

    <\equation*>
      M-\<varepsilon\>\<less\>a<rsub|n>\<less\>b<rsub|n>\<less\>c<rsub|n>\<less\>M+\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#6B64\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#5B9A\>\<#7406\>.
  </proof>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\> <math|x<rsub|n>>\<#548C\>
    <math|y<rsub|n>>\<#5206\>\<#522B\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n>+y<rsub|n>>\<#3001\> <math|x<rsub|n>-y<rsub|n>>\<#3001\>
    <math|x<rsub|n>*y<rsub|n>>\<#3001\> <math|x<rsub|n>/y<rsub|n>>\<#90FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5206\>\<#522B\>\<#662F\>
    <math|x+y>\<#3001\> <math|x-y>\<#3001\> <math|x*y>\<#3001\>
    <math|x/y>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5546\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#8981\>\<#6C42\>
    <math|y\<neq\>0>\<#3002\>
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#3002\>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#548C\>\<#5DEE\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#662F\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#79EF\>\<#548C\>\<#5546\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#3002\>

    \<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#7531\>

    <\equation*>
      <around|\||x<rsub|n>*y<rsub|n>-x*y|\|>=<around|\||<around|(|x<rsub|n>*y<rsub|n>-x*y<rsub|n>|)>+<around|(|x*y<rsub|n>-x*y|)>|\|>\<leqslant\><around|\||y<rsub|n>|\|>\|x<rsub|n>-x\|+<around|\||x|\|>*<around|\||y<rsub|n>-y|\|>
    </equation*>

    \<#4EFB\>\<#53D6\> <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|N\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||x<rsub|n>-x|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#548C\>
    <math|<around|\||y<rsub|n>-y|\|>\<less\>\<varepsilon\>><footnote|\<#672C\>\<#6765\>\<#5BF9\>\<#540C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>
    <math|N>\<#662F\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#53D6\>\<#6BD4\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>
    <math|N>\<#90FD\>\<#5927\>\<#7684\> <math|N>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#5C31\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6709\>\<#90A3\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#3002\>>\<#FF0C\>\<#53E6\>\<#5916\>\<#518D\>\<#7531\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6709\>\<#754C\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|M\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|<around|\||y<rsub|n>|\|>\<less\>M>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C31\>\<#6709\>
    <math|<around|\||x<rsub|n>*y<rsub|n>-x*y|\|>\<less\><around|(|M+<around|\||x|\|>|)>*\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|x<rsub|n>*y<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\> <math|x*y>.

    \<#518D\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5546\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|y<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#96F6\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|y>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|1/y<rsub|n>>\<#5FC5\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|1/y>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <around*|\||<frac|1|y<rsub|n>>-<frac|1|y>|\|>=<around*|\||<frac|y<rsub|n>-y|y*y<rsub|n>>|\|>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#5206\>\<#5B50\>\<#80FD\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0B\>\<#6807\>
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    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#518D\>\<#53D6\>\<#53E6\>\<#5916\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|<around|\||y|\|>/2>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#80FD\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||y<rsub|n>|\|>\<gtr\><around|\||y|\|>/2>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5C31\>\<#80FD\>\<#6052\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|2*\<varepsilon\>/y<rsup|2>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|1/y<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
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    <math|x<rsub|n>/y<rsub|n>>\<#89C6\>\<#4E3A\>
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  </proof>

  <\example>
    \<#7ED9\>\<#5B9A\>\<#6570\>\<#5217\> <math|x<rsub|n>>\<#7684\>\<#524D\>\<#4E24\>\<#9879\>
    <math|x<rsub|1>>\<#4E0E\> <math|x<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#7684\>\<#9879\>\<#7531\>\<#516C\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      x<rsub|n+1>=<frac|1|2>*<around|(|x<rsub|n>+x<rsub|n-1>|)>
    </equation*>

    \<#786E\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#3002\>

    \<#9012\>\<#63A8\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6539\>\<#5199\>\<#6210\>

    <\equation*>
      x<rsub|n+1>-x<rsub|n>=-<frac|1|2>*<around|(|x<rsub|n>-x<rsub|n-1>|)>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#9012\>\<#63A8\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#6709\>

    <\equation*>
      x<rsub|n+1>-x<rsub|n>=<around*|(|-<frac|1|2>|)><rsup|n-1>*<around|(|x<rsub|2>-x<rsub|1>|)>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|x<rsub|1>+<big|sum><rsub|k=2><rsup|n><around|(|x<rsub|k>-x<rsub|k-1>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|x<rsub|1>+<around|(|x<rsub|2>-x<rsub|1>|)>*<big|sum><rsub|k=2><rsup|n><around*|(|-<frac|1|2>|)><rsup|k-2>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|x<rsub|1>+<around|(|x<rsub|2>-x<rsub|1>|)>\<cdot\><frac|2|3>*<around*|(|1-<around*|(|-<frac|1|2>|)><rsup|n-1>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> x<rsub|n>=x<rsub|1>+<frac|2|3>*<around|(|x<rsub|2>-x<rsub|1>|)>=<frac|x<rsub|1>+2*x<rsub|2>|3>
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    <dueto|\<#51E0\>\<#4F55\>\<#7EA7\>\<#6570\>>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|q>\<#6EE1\>\<#8DB3\> <math|<around|\||q|\|>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#7EA7\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>>q<rsup|n>=1+q+q<rsup|2>+\<cdots\>
    </equation*>

    \<#4E3A\><em|\<#51E0\>\<#4F55\>\<#7EA7\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>

    <\equation*>
      S<rsub|n>=<big|sum><rsub|i=0><rsup|n>q<rsup|i>=<frac|1-q<rsup|n+1>|1-q>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#4E3A\> <math|<around|\||q|\|>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> S<rsub|n>=<frac|1|1-q>
    </equation*>

    \<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#548C\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>>q<rsup|n>=<frac|1|1-q>
    </equation*>
  </example>

  <\corollary>
    <label|inference:limit-of-power-of-number-sequence>\<#82E5\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|m>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\> <math|a<rsub|n><rsup|m>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|A<rsup|m>>.
  </corollary>

  <\example>
    <label|example:limit-of-n-sqrt-a>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <sqrt|a|n>=1>.

    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\> <reference|example:limit-of-n-sqrt-a-when-a-greater-than-1>\<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#5047\>\<#8BBE\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <sqrt|a|n>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      <frac|1|<sqrt|<frac|1|a>|n>>=1
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-n-power-m-devide-by-a-power-n>\<#5728\><reference|example:limit-of-n-devide-by-a-power-n>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|n|a<rsup|n>>=0
    </equation*>

    \<#5176\>\<#4E2D\> <math|a\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|m>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|n<rsup|m>|a<rsup|n>>=0
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|<sqrt|a|m>\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\><reference|example:limit-of-n-devide-by-a-power-n>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|n|<around|(|<sqrt|a|m>|)><rsup|n>>=0
    </equation*>

    \<#518D\>\<#7531\> <reference|inference:limit-of-power-of-number-sequence>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#51FA\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|n<rsup|m>|a<rsup|n>>=0
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#5728\> <math|n>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#4E0E\>\<#6307\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#6BD4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5C06\>\<#53D8\>\<#5F97\>\<#5FAE\>\<#4E0D\>\<#8DB3\>\<#9053\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#6307\>\<#6570\>\<#662F\>\<#6BD4\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#66F4\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E0E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>><label|sec:infinite-small-and-great>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#5B83\>\<#5728\>
    <math|n>\<#65E0\>\<#9650\>\<#589E\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\><em|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\> <math|a<rsub|n>>\<#6EE1\>\<#8DB3\>:
    \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5927\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#603B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|N>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||a<rsub|n>|\|>\<geqslant\>M>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5728\>
    <math|n>\<#65E0\>\<#9650\>\<#589E\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\><em|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|a<rsub|n>>\<#5728\> <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#8FD8\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#7740\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#4E4B\>\<#4E3A\><em|\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>>\<#6216\>\<#8005\><em|\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#79F0\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#6216\>\<#8005\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|lim <rsub|n\<to\>\<infty\>>a<rsub|n>=+\<infty\>>\<#6216\>\<#8005\>
    <math|lim <rsub|n\<to\>\<infty\>>a<rsub|n>=-\<infty\>>.
  </definition>

  \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#5F53\> <math|a<rsub|n>>\<#662F\>\<#975E\>\<#96F6\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#65F6\>\<#FF0C\>
  <math|<frac|1|a<rsub|n>>>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#4E4B\>\<#4E5F\>\<#5BF9\>\<#3002\>

  \<#4F8B\>\<#5982\> <math|<frac|1|n>>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#FF0C\>\<#800C\>
  <math|n<rsup|2>>\<#5219\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#3002\>

  \<#4E3A\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#4FBF\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#6982\>\<#5FF5\>.

  <\definition>
    \<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#662F\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|a,+\<infty\>|)>>\<#FF0C\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#662F\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|-\<infty\>,a|)>>.
  </definition>

  <\example>
    \<#4ECA\>\<#6765\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|n>\<#7684\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      a<rsub|m>*n<rsup|m>+a<rsub|m-1>*n<rsup|m-1>+\<cdots\>*a<rsub|1>*n+a<rsub|0>
    </equation*>

    \<#5728\> <math|n\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#3002\>

    \<#5C06\>\<#6700\>\<#9AD8\>\<#6B21\>\<#5E42\>\<#63D0\>\<#51FA\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5199\>\<#6210\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#72B6\>

    <\equation*>
      n<rsup|m>*<around*|(|a<rsub|m>+<frac|a<rsub|m-1>|n>+<frac|a<rsub|m-2>|n<rsup|2>>+\<cdots\>+<frac|a<rsub|0>|n<rsup|m>>|)>
    </equation*>

    \<#5728\> <math|n\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#5C06\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>
    <math|a<rsub|m>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5916\>\<#9762\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#56E0\>\<#5B50\>
    <math|n<rsup|m>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6700\>\<#9AD8\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#6B63\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5C06\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#8FD9\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#8D1F\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#5C06\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#518D\>\<#6765\>\<#8003\>\<#5BDF\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|n>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#5F0F\>\<#5B50\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|n>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>:

    <\equation*>
      <frac|a<rsub|m>*n<rsup|m>+a<rsub|m-1>*n<rsup|m-1>+\<cdots\>*a<rsub|1>*n+a<rsub|0>|b<rsub|l>*n<rsup|l>+b<rsub|l-1>*n<rsup|l-1>+\<cdots\>*b<rsub|1>*n+b<rsub|0>>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|a<rsub|m>\<neq\>0>\<#FF0C\>
    <math|b<rsub|l>\<neq\>0>.

    \<#5982\>\<#679C\> <math|m=l>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5206\>\<#5B50\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#9664\>\<#4EE5\>\<#6700\>\<#9AD8\>\<#6B21\>\<#5E42\>\<#53D8\>\<#5F62\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <frac|a<rsub|m>+<frac|a<rsub|m-1>|n>+\<cdots\>+<frac|a<rsub|0>|n<rsup|m>>|b<rsub|m>+<frac|b<rsub|m-1>|n>+\<cdots\>+<frac|b<rsub|0>|n<rsup|m>>>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|<frac|a<rsub|m>|b<rsub|m>>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#6700\>\<#9AD8\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#3002\>

    \<#5982\>\<#679C\> <math|m\<less\>l>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5206\>\<#5B50\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#9664\>\<#4EE5\>
    <math|n<rsup|l>>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#539F\>\<#5F0F\>\<#6210\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <frac|<frac|a<rsub|m>|n<rsup|l-m>>+\<cdots\>+<frac|a<rsub|0>|n<rsup|l>>|b<rsub|m>+<frac|b<rsub|m-1>|n>+\<cdots\>+<frac|b<rsub|0>|n<rsup|l>>>
    </equation*>

    \<#5206\>\<#5B50\>\<#8D8B\>\<#4E8E\> <math|0>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|b<rsub|m>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#3002\>

    \<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5F53\> <math|m\<gtr\>l>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#5B50\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#9664\>\<#4EE5\>
    <math|n<rsup|l>>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>
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  </example>

  <\definition>
    \<#8BBE\>\<#6570\>\<#5217\> <math|a<rsub|n>>\<#4E0E\>
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    \<#82E5\> <math|lim <rsub|n\<to\>\<infty\>><frac|a<rsub|n>|b<rsub|n>>=0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>
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    <math|a<rsub|n>=o<around|(|b<rsub|n>|)>>.<next-line>(2).
    \<#82E5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|U>\<#548C\>
    <math|V>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
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    <math|U\<leqslant\><around*|\||<frac|a<rsub|n>|b<rsub|n>>|\|>\<leqslant\>V>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>
    <math|a<rsub|n>>\<#4E0E\> <math|b<rsub|n>>\<#662F\><em|\<#540C\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>>\<#FF0C\>\<#7279\>\<#522B\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|lim <rsub|n\<to\>\<infty\>><frac|a<rsub|n>|b<rsub|n>>=1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#5B83\>\<#4FE9\>\<#662F\><em|\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|a<rsub|n>\<sim\>b<rsub|n>>.
  </definition>

  \<#4F8B\>\<#5982\>\<#FF0C\> <math|<frac|1|n<rsup|2>>>\<#662F\>
  <math|<frac|1|n>>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#800C\>
  <math|<frac|1|n>>\<#4E0E\> <math|<frac|1+sin
  n|n>>\<#5219\>\<#662F\>\<#540C\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#4F53\>\<#73B0\>\<#4E86\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#7684\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#6709\>\<#9636\>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#4F4E\>\<#4E4B\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5B83\>\<#4FE9\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E0D\>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>

  \<#5173\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#5982\>\<#6B64\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\> <math|a<rsub|n>>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|b<rsub|n>>\<#6709\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>*b<rsub|n>>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#7531\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\> <math|b<rsub|n>>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|<around|\||b<rsub|n>|\|>\<leqslant\>M>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|<around|\||a<rsub|n>*b<rsub|n>|\|>\<leqslant\>M<around|\||a<rsub|n>|\|>>\<#603B\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>
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    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>
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    <math|<around|\||a<rsub|n>|\|>\<less\>\<varepsilon\>/M>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|<around|\||a<rsub|n>*b<rsub|n>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#7531\>\<#6B64\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>
  <math|<frac|sin n|n>>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>.

  <\theorem>
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  </theorem>

  \<#5229\>\<#7528\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#7565\>\<#53BB\>\<#3002\>

  \<#5173\>\<#4E8E\>\<#540C\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\theorem>
    \<#82E5\> <math|a<rsub|n>>\<#4E0E\> <math|b<rsub|n>>\<#662F\>\<#540C\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>
    <math|c<rsub|n>>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>*c<rsub|n>>\<#4E0E\> <math|b<rsub|n>*c<rsub|n>>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#8981\>\<#4E48\>\<#90FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#8981\>\<#4E48\>\<#90FD\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#53C8\>\<#662F\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8FD8\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>.
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#662F\>\<#975E\>\<#5E38\>\<#6709\>\<#7528\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#8868\>\<#660E\>\<#5728\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5C06\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#66FF\>\<#6362\>\<#4E3A\>\<#4E0E\>\<#5B83\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#3002\>

  \<#4E0E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#3002\>

  <\definition>
    \<#8BBE\>\<#6570\>\<#5217\> <math|x<rsub|n>>\<#548C\>
    <math|y<rsub|n>>\<#5728\> <math|n\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|lim <rsub|n\<to\>\<infty\>><around*|\||<frac|x<rsub|n>|y<rsub|n>>|\|>=+\<infty\>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>
    <math|x<rsub|n>>\<#662F\> <math|y<rsub|n>>\<#7684\><em|\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>>.
  </definition>

  <math|x<rsub|n>>\<#662F\> <math|y<rsub|n>>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#610F\>\<#5473\>\<#7740\>\<#5F53\>
  <math|n\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>\<#FF0C\>
  <math|y<rsub|n>>\<#7684\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#4E0E\>
  <math|x<rsub|n>>\<#76F8\>\<#6BD4\>\<#5B8C\>\<#5168\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5FFD\>\<#7565\>\<#4E0D\>\<#8BA1\>\<#FF0C\>\<#5C3D\>\<#7BA1\>
  <math|y<rsub|n>>\<#81EA\>\<#8EAB\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#3002\>

  <\example>
    <label|example:infinite-large-compare>\<#6839\>\<#636E\><reference|example:limit-of-lnn-devide-by-n>\<#3001\><reference|example:limit-of-a-power-n-devide-by-n-fraction>\<#3001\><reference|example:limit-of-n-power-m-devide-by-a-power-n>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#3001\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#3001\>\<#6307\>\<#6570\>\<#3001\>\<#9636\>\<#4E58\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#540E\>\<#9762\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#7528\>
    <math|x<rsub|n>\<prec\>y<rsub|n>>\<#6765\>\<#8868\>\<#793A\>
    <math|y<rsub|n>>\<#662F\> <math|x<rsub|n>>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>

    <\equation*>
      ln n\<prec\>n\<prec\>n<rsup|2>\<prec\>\<cdots\>\<prec\>n<rsup|m>\<prec\>a<rsup|n>\<prec\>n!
    </equation*>

    \<#5F0F\>\<#4E2D\> <math|m\<gtr\>2>\<#662F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#FF0C\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|Stolz \<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:stolz-theorem>

  <\theorem>
    <dueto|Stolz \<#5B9A\>\<#7406\>>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>>\<#548C\> <math|b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>
    <math|b<rsub|n>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>(\<#81F3\>\<#5C11\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#5F00\>\<#59CB\>)\<#4E25\>\<#683C\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#6216\>\<#8005\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#51CF\>\<#5C0F\>\<#5230\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|lim <rsub|n\<to\>\<infty\>><frac|a<rsub|n+1>-a<rsub|n>|b<rsub|n+1>-b<rsub|n>>=M>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>
    <math|lim <frac|a<rsub|n>|b<rsub|n>>=M>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#7684\>
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  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|b<rsub|n>>\<#4E25\>\<#683C\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#4EE5\>\<#53CA\>
    <math|l>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#9650\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#7531\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#589E\>\<#91CF\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|l>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>(
    <math|n\<geqslant\>N>)\<#6052\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|(|l-\<varepsilon\>|)>*<around|(|b<rsub|n+1>-b<rsub|n>|)>\<less\>a<rsub|n+1>-a<rsub|n>\<less\><around|(|l+\<varepsilon\>|)>*<around|(|b<rsub|n+1>-b<rsub|n>|)>
    </equation*>

    \<#7D2F\>\<#52A0\>\<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <around|(|l-\<varepsilon\>|)>*<around|(|b<rsub|n>-b<rsub|N>|)>\<less\>a<rsub|n>-a<rsub|N>\<less\><around|(|l+\<varepsilon\>|)>*<around|(|b<rsub|n>-b<rsub|N>|)>
    </equation*>

    \<#4E09\>\<#8FB9\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#52A0\>\<#4E0A\>
    <math|a<rsub|N>>\<#518D\>\<#9664\>\<#4EE5\>
    <math|b<rsub|n>>\<#53EF\>\<#5F97\>( <math|b<rsub|n>>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#6052\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#6B63\>\<#53F7\>)

    <\equation*>
      l-\<varepsilon\>+<frac|a<rsub|N>-<around|(|l-\<varepsilon\>|)>*b<rsub|N>|b<rsub|n>>\<less\><frac|a<rsub|n>|b<rsub|n>>\<less\>l+\<varepsilon\>+<frac|a<rsub|N>-<around|(|l+\<varepsilon\>|)>*b<rsub|N>|b<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#4E3A\> <math|b<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#4E24\>\<#8FB9\>\<#4EE5\>
    <math|b<rsub|n>>\<#4E3A\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#9879\>\<#7684\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#503C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      l-2*\<varepsilon\>\<less\><frac|a<rsub|n>|b<rsub|n>>\<less\>l+2*\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|l>.

    \<#8981\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#7684\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>
    <math|N>\<#7684\>\<#53D6\>\<#503C\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#6052\>\<#5B9A\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#4E00\>\<#6B21\>\P\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\Q\<#4E4B\>\<#7C7B\>\<#7684\>\<#5B57\>\<#773C\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#610F\>\<#5473\>\<#7740\>
    <math|N>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#9700\>\<#8981\>\<#53D6\>\<#66F4\>\<#5927\>\<#7684\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#4E0E\>\<#65B0\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#3002\>

    \<#518D\>\<#8BC1\>\<#660E\> <math|l>\<#662F\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#7684\>\<#6709\>\<#9650\>\<#6570\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|b<rsub|n+1>-b<rsub|n>|a<rsub|n+1>-a<rsub|n>>=0
    </equation*>

    \<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BF4\>\<#660E\>
    <math|a<rsub|n>>\<#80FD\>\<#591F\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#3002\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5927\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#5F53\> <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsub|n+1>-a<rsub|n>\<gtr\>M*<around|(|b<rsub|n+1>-b<rsub|n>|)>
    </equation*>

    \<#800C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|b<rsub|n+1>-b<rsub|n>\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n+1>-a<rsub|n>\<gtr\>M>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4FBF\>\<#8BF4\>\<#660E\>
    <math|a<rsub|n>>\<#80FD\>\<#591F\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8981\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#3002\>
  </proof>

  <\corollary>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\> <math|A>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|<around|(|x<rsub|1>+x<rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>|)>/n>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#4E4B\>\<#4EA6\>\<#7136\>\<#3002\>
  </corollary>

  \<#8FD9\>\<#6B63\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\><reference|example:mean-value-of-converge-number-sequence>\<#4E2D\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#91CC\>\<#662F\>\<#7528\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4E8B\>\<#5B9E\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6709\>\<#4E86\>
  Stolz \<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#663E\>\<#800C\>\<#6613\>\<#89C1\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4E86\>\<#3002\>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5728\> Stolz
    \<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#53D6\> <math|a<rsub|n>=x<rsub|1>+x<rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>>\<#FF0C\>
    <math|b<rsub|n>=n>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#6B64\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </proof>

  <\example>
    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|m>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|1<rsup|m>+2<rsup|m>+\<cdots\>+n<rsup|m>|n<rsup|m+1>>=<frac|1|m+1>
    </equation*>

    \<#53EA\>\<#8981\>\<#53D6\> <math|a<rsub|n>=1<rsup|m>+2<rsup|m>+\<cdots\>+n<rsup|m>>\<#4E0E\>
    <math|b<rsub|n>=n<rsup|m+1>>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|a<rsub|n+1>-a<rsub|n>|b<rsub|n+1>-b<rsub|n>>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      <frac|<around|(|1+n|)><rsup|m>|<around|(|1+n|)><rsup|m+1>-n<rsup|m+1>>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      <frac|n<rsup|m>+\<cdots\>|<around|(|m+1|)>*n<rsup|m>+\<cdots\>>=<frac|1|m+1>
    </equation*>

    \<#6839\>\<#636E\>Stolz\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#539F\>\<#5F0F\>\<#4EA6\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>

    \<#5728\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5E42\>\<#548C\>
    <math|S<around|(|n,m|)>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>i<rsup|m>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|n>\<#7684\> <math|m+1>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6700\>\<#9AD8\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|<frac|1|m+1>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>\<#6BEB\>\<#4E0D\>\<#610F\>\<#5916\>\<#7684\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#73B0\>\<#5728\>\<#628A\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#4F8B\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#52A0\>\<#5F3A\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#4F8B\>\<#4E2D\>\<#6C42\>\<#51FA\>\<#4E86\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|1<rsup|m>+2<rsup|m>+\<cdots\>+n<rsup|m>|n<rsup|m+1>>=<frac|1|m+1>
    </equation*>

    \<#90A3\>\<#4E48\>\<#5DE6\>\<#7AEF\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#51CF\>\<#53BB\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#9636\>\<#662F\>\<#5982\>\<#4F55\>\<#7684\>\<#5462\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#62FF\>\<#5B83\>\<#4E0E\>
    <math|<frac|1|n>>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> n*<around*|(|<frac|1<rsup|m>+2<rsup|m>+\<cdots\>+n<rsup|m>|n<rsup|m+1>>-<frac|1|m+1>|)>
    </equation*>

    \<#5C06\>\<#539F\>\<#5F0F\>\<#901A\>\<#5206\>\<#53D8\>\<#5F62\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <frac|<around|(|m+1|)>*<around|(|1<rsup|m>+2<rsup|m>+\<cdots\>+n<rsup|m>|)>-n<rsup|m+1>|<around|(|m+1|)>*n<rsup|m>>
    </equation*>

    \<#5C06\>\<#5206\>\<#5B50\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|y<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>
    <math|y<rsub|n>>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|x<rsub|n+1>-x<rsub|n>|y<rsub|n+1>-y<rsub|n>>>|<cell|=>|<cell|<frac|<around|(|m+1|)>*<around|(|n+1|)><rsup|m>-<around|(|<around|(|n+1|)><rsup|m+1>-n<rsup|m+1>|)>|<around|(|m+1|)>*<around|(|<around|(|n+1|)><rsup|m>-n<rsup|m>|)>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|<around|(|m+1|)>*<big|sum><rsub|i=0><rsup|m>C<rsub|m><rsup|i>*n<rsup|i>-<big|sum><rsub|i=0><rsup|m>C<rsub|m+1><rsup|i>*n<rsup|i>|<around|(|m+1|)>*<big|sum><rsub|i=0><rsup|m>C<rsub|m><rsup|i>*n<rsup|i>>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#53D1\>\<#73B0\>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#5B50\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|n>\<#7684\> <math|m-1>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5E94\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#6700\>\<#9AD8\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      <frac|<around|(|m+1|)>*C<rsub|m><rsup|m-1>-C<rsub|m+1><rsup|m-1>|<around|(|m+1|)>*C<rsub|m><rsup|m-1>>=<frac|1|2>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6839\>\<#636E\>Stolz\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> n*<around*|(|<frac|1<rsup|m>+2<rsup|m>+\<cdots\>+n<rsup|m>|n<rsup|m+1>>-<frac|1|m+1>|)>=<frac|1|2>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#4F8B\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E0E\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4F5C\>\<#5DEE\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#4E0E\>
    <math|<frac|2|n>>\<#662F\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>.
  </example>

  <\example>
    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#8C03\>\<#548C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#6781\>\<#9650\>:

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>|ln
      n>=1
    </equation*>

    \<#53D6\> <math|a<rsub|n>=1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>>\<#FF0C\>
    <math|b<rsub|n>=ln n>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|a<rsub|n+1>-a<rsub|n>|b<rsub|n+1>-b<rsub|n>>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      <frac|1|<around|(|n+1|)>*ln <around*|(|1+<frac|1|n>|)>>=1
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\> <math|b<rsub|n>>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#7531\>Stolz\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#6240\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>

    \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#7684\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#4E8E\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#63ED\>\<#793A\>\<#4E86\>\<#8C03\>\<#548C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#589E\>\<#957F\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#662F\>\<#540C\>\<#4E00\>\<#7EA7\>\<#522B\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8FD8\>\<#5C06\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4FE9\>\<#4E0D\>\<#4F46\>\<#589E\>\<#957F\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#FF0C\>\<#4E8B\>\<#5B9E\>\<#4E0A\>\<#5B83\>\<#4FE9\>\<#4E4B\>\<#5DEE\>\<#4F1A\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#503C\>(\<#6B27\>\<#62C9\>\<#5E38\>\<#6570\>
    <math|c=0.577*\<cdots\>>).
  </example>

  <subsection|\<#5355\>\<#8C03\>\<#6709\>\<#754C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:theorem-of-monotone-bounded>

  <\theorem>
    \<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#589E\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\>\<#3002\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E5F\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53EA\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#589E\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5982\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n>>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\>\<#662F\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|x<rsub|n>\<leqslant\>M>\<#FF0C\>\<#53E6\>\<#5916\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#603B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
    <math|x<rsub|N>>\<#6EE1\>\<#8DB3\> <math|x<rsub|N>\<gtr\>M-\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#7531\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#5373\>\<#77E5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#6052\>\<#6709\> <math|M-\<varepsilon\>\<less\>x<rsub|n>\<leqslant\>M\<less\>M+\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|M>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </proof>

  <\example>
    \<#8003\>\<#8651\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#5177\>\<#6709\>
    <math|n>\<#91CD\>\<#6839\>\<#53F7\>\<#7684\>\<#5F0F\>\<#5B50\>

    <\equation*>
      <sqrt|2+<sqrt|2+\<cdots\>+<sqrt|2>>>
    </equation*>

    \<#4E3A\>\<#6C42\>\<#5176\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#6839\>\<#53F7\>\<#65F6\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#7528\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6765\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5B83\>,
    <math|x<rsub|1>=<sqrt|2>>\<#FF0C\> <math|x<rsub|n+1>=<sqrt|2+x<rsub|n>>>.

    \<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|x<rsub|n>\<less\>2>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#5230\>
    <math|x<rsub|n+1>=<sqrt|2+x<rsub|n>>\<less\><sqrt|2+2>=2>\<#FF0C\>\<#53C8\>
    <math|x<rsub|1>\<less\>2>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#53C8\>

    <\equation*>
      x<rsub|n+1><rsup|2>-x<rsub|n><rsup|2>=2+x<rsub|n>-x<rsub|n><rsup|2>=<around|(|2-x<rsub|n>|)>*<around|(|1+x<rsub|n>|)>\<gtr\>0
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#5176\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>
    <math|x>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5728\>\<#9012\>\<#63A8\>\<#5F0F\>\<#4E24\>\<#8FB9\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5F97\>
    <math|<sqrt|2+x>=x>\<#FF0C\>\<#89E3\>\<#4E4B\>\<#5F97\>
    <math|x=2>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5B83\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>2.

    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|x<rsub|1>>\<#7684\>\<#53D6\>\<#503C\>\<#5927\>\<#4E8E\>2\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8FD9\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5C06\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#5E76\>\<#6052\>\<#5927\>\<#4E8E\>2\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#4F1A\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>2.

    \<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#9012\>\<#63A8\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n+1>=<sqrt|c+x<rsub|n>>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|c\<gtr\>0>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>
    <math|x>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\> <math|x=<sqrt|c+x>>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|x=<frac|1+<sqrt|1+4*c>|2>>\<#FF0C\>\<#53C8\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|x<rsub|n>\<less\>x>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#663E\>\<#7136\>
    <math|x<rsub|n+1>\<less\>x>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|x<rsub|n>\<gtr\>x>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|x<rsub|n+1>\<gtr\>x>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#9996\>\<#9879\>
    <math|x<rsub|1>>\<#5728\> <math|x>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#8FB9\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#5728\>\<#540C\>\<#4E00\>\<#4FA7\>\<#FF0C\>\<#800C\>

    <\equation*>
      x<rsub|n+1><rsup|2>-x<rsub|n><rsup|2>=c+x<rsub|n>-x<rsub|n><rsup|2>=<around*|(|x<rsub|n>-<frac|1+<sqrt|1+4*c>|2>|)>*<around*|(|<frac|1-<sqrt|1+4*c>|2>-x<rsub|n>|)>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#5982\>\<#679C\> <math|x<rsub|1>\<less\>x=<frac|1+<sqrt|1+4*c>|2>>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|x<rsub|n>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|x<rsub|1>\<gtr\>x>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#54EA\>\<#79CD\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#4F1A\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|<frac|1+<sqrt|1+4*c>|2>>.
  </example>

  <\example>
    \<#5E8F\>\<#5217\>

    <\equation*>
      1+<frac|1|2<rsup|2>>+\<cdots\>+<frac|1|n<rsup|2>>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#53C8\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|1+<frac|1|2<rsup|2>>+\<cdots\>+<frac|1|n<rsup|2>>>>|<row|<cell|>|<cell|\<less\>>|<cell|1+<frac|1|1\<times\>2>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|n-1|)>*n>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|1+<around*|(|1-<frac|1|2>|)>+\<cdots\>+<around*|(|<frac|1|n-1>-<frac|1|n>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|2-<frac|1|m>\<less\>2>>>>
    </eqnarray*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|lim <rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|2>>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#4F1A\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#548C\>\<#662F\>
    <math|<frac|\<pi\><rsup|2>|6>>.
  </example>

  <\example>
    \<#5E8F\>\<#5217\>

    <\equation*>
      1+<frac|1|1!>+<frac|1|2!>+\<cdots\>+<frac|1|n!>
    </equation*>

    \<#5B83\>\<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#4E0A\>\<#6709\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#79CD\>\<#653E\>\<#7F29\>\<#65B9\>\<#5F0F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E00\>\<#662F\>\<#5229\>\<#7528\>
    <math|<frac|1|n!>\<less\><frac|1|2<rsup|n-1>>*<around|(|n\<geqslant\>2|)>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E8C\>\<#662F\>\<#5229\>\<#7528\>
    <math|<frac|1|n!>\<less\><frac|1|<around|(|n-1|)>*n>=<frac|1|n-1>-<frac|1|n>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#4E5F\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>:
    \<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>><frac|1|n!>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#5C06\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4F1A\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|<math-up|e>>\<#FF0C\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5E95\>\<#6570\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#5E8F\>\<#5217\>

    <\equation*>
      <around*|(|1-<frac|1|2>|)>*<around*|(|1-<frac|1|4>|)>*\<cdots\>*<around*|(|1-<frac|1|2<rsup|n>>|)>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#8FC7\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5374\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#4ECE\>\<#9012\>\<#63A8\>\<#5F0F\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#800C\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#6765\>\<#4E86\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|\<theta\>\<in\><around*|(|0,<frac|\<pi\>|2>|)>>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>
    <math|x<rsub|0>=\<theta\>>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#7684\>\<#9879\>\<#7531\>
    <math|x<rsub|n+1>=sin x<rsub|n>> \<#786E\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#6765\>\<#8003\>\<#8651\>\<#4E0B\>
    <math|x<rsub|n>> \<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7EBF\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
    <math|sin x\<less\>x>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|x\<in\><around*|(|0,<frac|\<pi\>|2>|)>>
    \<#603B\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>(\<#6B64\>\<#5904\>\<#662F\>\<#4E0D\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#5728\>\<#63A5\>\<#89E6\>\<#4E86\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#91CD\>\<#65B0\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#59D1\>\<#4E14\>\<#5C31\>\<#7528\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#89E3\>\<#91CA\>\<#627F\>\<#8BA4\>\<#5B83\>)\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6709\>
    <math|x<rsub|n+1>=sin x<rsub|n>\<less\>x<rsub|n>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#6570\>\<#5217\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#53C8\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|x<rsub|n>\<gtr\>0> \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6570\>\<#5217\>\<#53C8\>\<#662F\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#5C06\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5C31\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#65B9\>\<#7A0B\>
    <math|x=sin x> \<#7684\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#89E3\> <math|x=0>.
    \<#4EE5\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4F1A\>\<#4ECB\>\<#7ECD\>\<#FF0C\>\<#65B9\>\<#7A0B\>
    <math|x=f<around|(|x|)>> \<#7684\>\<#6839\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>> \<#7684\>\<#4E0D\>\<#52A8\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#8FED\>\<#4EE3\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n+1>=x<rsub|n>> \<#5728\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#4E0B\>\<#90FD\>\<#5C06\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|f<around|(|x|)>> \<#7684\>\<#4E0D\>\<#52A8\>\<#70B9\>.
  </example>

  <\example>
    <dueto|\<#7B49\>\<#5DEE\>-\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#4E2D\>\<#9879\>><label|example:arithmetic-gemotry-mid-term>\<#8003\>\<#8651\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>>\<#548C\> <math|b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#53D6\>
    <math|a<rsub|1>=a\<gtr\>0>\<#FF0C\> <math|b<rsub|1>=b\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#7684\>\<#9879\>\<#7531\>\<#4E0B\>\<#5F0F\>\<#786E\>\<#5B9A\>

    <\equation*>
      a<rsub|n+1>=<sqrt|a<rsub|n>*b<rsub|n>>,b<rsub|n+1>=<frac|a<rsub|n>+b<rsub|n>|2>
    </equation*>

    \<#73B0\>\<#8003\>\<#5BDF\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#3002\>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#5982\>\<#4F55\>\<#53D6\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#4FBF\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n>\<leqslant\>b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>

    <\equation*>
      a<rsub|n+1>=<sqrt|a<rsub|n>*b<rsub|n>>\<geqslant\>a<rsub|n>
    </equation*>

    \<#5373\> <math|a<rsub|n>>\<#4ECE\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>(\<#4E0D\>\<#51CF\>)\<#FF0C\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6709\>

    <\equation*>
      b<rsub|n+1>=<frac|a<rsub|n>+b<rsub|n>|2>\<leqslant\>b<rsub|n>
    </equation*>

    \<#5373\> <math|b<rsub|n>>\<#4ECE\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>(\<#4E0D\>\<#589E\>)\<#FF0C\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#65B9\>\<#9762\>\<#FF0C\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#53D1\>\<#73B0\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6709\>\<#754C\>\<#7684\>:

    <\equation*>
      a<rsub|2>\<leqslant\>a<rsub|3>\<leqslant\>\<cdots\>\<leqslant\>a<rsub|n>\<leqslant\>\<cdots\>\<leqslant\>b<rsub|n>\<leqslant\>\<cdots\>\<leqslant\>b<rsub|3>\<leqslant\>b<rsub|2>
    </equation*>

    \<#5373\> <math|a<rsub|n>>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|b<rsub|n>>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#4FE9\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5728\>
    <math|a<rsub|n>>\<#7684\>\<#9012\>\<#63A8\>\<#5F0F\>\<#4E24\>\<#7AEF\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4FBF\>\<#77E5\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#6709\>\<#7740\>\<#5171\>\<#540C\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#6BEB\>\<#65E0\>\<#7591\>\<#95EE\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>\<#662F\>\<#7531\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#9996\>\<#9879\>
    <math|a>\<#548C\> <math|b>\<#6240\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#79F0\>\<#4E3A\>
    <math|a>\<#548C\> <math|b>\<#7684\><em|\<#7B49\>\<#5DEE\>-\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#4E2D\>\<#9879\>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#8981\>\<#60F3\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6C42\>\<#51FA\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5177\>\<#4F53\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5374\>\<#662F\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#7528\>\<#76EE\>\<#524D\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#77E5\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>\<#5199\>\<#51FA\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#5C06\>\<#4F1A\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5229\>\<#7528\>\<#692D\>\<#5706\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <dueto|\<#8C03\>\<#548C\>-\<#7B97\>\<#672F\>\<#4E2D\>\<#9879\>><label|example:harmonic-arithmetic-mid-term>\<#4E0E\><reference|example:arithmetic-gemotry-mid-term>\<#76F8\>\<#4EFF\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#8FC7\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>\<#5206\>\<#522B\>\<#66FF\>\<#6362\>\<#4E3A\>\<#8C03\>\<#548C\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#4E0E\>\<#7B97\>\<#672F\>\<#5E73\>\<#5747\>:

    <\equation*>
      a<rsub|n+1>=<frac|2|<frac|1|a<rsub|n>>+<frac|1|b<rsub|n>>>,b<rsub|n+1>=<frac|a<rsub|n>+b<rsub|n>|2>
    </equation*>

    \<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#51FA\>

    <\equation*>
      a<rsub|2>\<leqslant\>a<rsub|3>\<leqslant\>\<cdots\>\<leqslant\>a<rsub|n>\<leqslant\>\<cdots\>\<leqslant\>b<rsub|n>\<leqslant\>\<cdots\>\<leqslant\>b<rsub|3>\<leqslant\>b<rsub|2>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4ECD\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6781\>\<#9650\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#6570\>
    <math|a>\<#4E0E\> <math|b>\<#7684\><em|\<#8C03\>\<#548C\>-\<#7B97\>\<#672F\>\<#5E73\>\<#5747\>>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#7B97\>\<#672F\>-\<#51E0\>\<#4F55\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#8C03\>\<#548C\>-\<#7B97\>\<#672F\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6709\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#6052\>\<#6709\>\<#5173\>\<#7CFB\>

    <\equation*>
      a<rsub|n+1>*b<rsub|n+1>=<frac|2*a<rsub|n>*b<rsub|n>|a<rsub|n>+b<rsub|n>>\<cdot\><frac|a<rsub|n>+b<rsub|n>|2>=a<rsub|n>*b<rsub|n>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#6052\>\<#6709\> <math|a<rsub|n>*b<rsub|n>=a<rsub|1>*b<rsub|1>=a*b>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|<sqrt|a*b>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8C03\>\<#548C\>-\<#7B97\>\<#672F\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#6570\>\<#5217\>

    <\equation*>
      <frac|1|n+1>+<frac|1|n+2>+\<cdots\>+<frac|1|2*n>
    </equation*>

    \<#5B83\>\<#5171\>\<#6709\> <math|n>\<#4E2A\>\<#52A0\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#4F9D\>\<#6B21\>\<#51CF\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#6240\>\<#6709\>\<#52A0\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#653E\>\<#5927\>\<#4E3A\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#5B83\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|<frac|n|n+1>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#770B\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#53D8\>\<#4E3A\> <math|n+1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#672B\>\<#5C3E\>\<#4F1A\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#4E24\>\<#9879\>
    <math|<frac|1|2*n+1>>\<#548C\> <math|<frac|1|2*n+2>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#524D\>\<#9762\>\<#4F1A\>\<#5C11\>\<#4E00\>\<#9879\>
    <math|<frac|1|n+1>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5176\>\<#589E\>\<#91CF\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <frac|1|2*n+1>+<frac|1|2*n+2>-<frac|1|n+1>\<gtr\>2\<cdot\><frac|1|2*n+2>-<frac|1|n+1>=0
    </equation*>

    \<#6545\>\<#5B83\>\<#53C8\>\<#662F\>\<#9012\>\<#589E\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>1\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#5C06\>\<#770B\>\<#5230\>(<reference|example:limit-of-sum-of-i/n+1-i-in-(1-n)>)\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|ln 2>.
  </example>

  <\example>
    <label|limit-of-cos-pi-frac-n>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> cos <frac|\<pi\>|n>=1
    </equation*>

    \<#53CA\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> sin <frac|\<pi\>|n>=0
    </equation*>

    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\> <math|n>\<#4E3A\>
    <math|2>\<#7684\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>:

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> cos <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>=1
    </equation*>

    \<#53CA\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> sin <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>=0
    </equation*>

    \<#4F9D\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>, \<#5E8F\>\<#5217\> <math|cos
    <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>> \<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5FC5\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#51FA\>\<#6B64\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8FD8\>\<#9700\>\<#8981\>\<#522B\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#3002\>

    \<#7531\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#534A\>\<#89D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      cos <frac|\<theta\>|2>=<sqrt|<frac|1+cos \<theta\>|2>>
    </equation*>

    \<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <\eqsplit>
        <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|1-cos
        <frac|\<pi\>|2<rsup|n+1>>>>|<row|<cell|=>|<cell|1-<sqrt|<frac|1+cos
        <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>|2>>>>|<row|<cell|=>|<cell|<frac|1-cos
        <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>|2*<around*|(|1+<sqrt|<frac|1+cos
        <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>|2>>|)>>>>|<row|<cell|\<less\>>|<cell|<frac|1|2>*<around*|(|1-cos
        <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>|)>>>>>
      </eqsplit>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>

    <\equation*>
      0\<less\>1-cos <frac|\<pi\>|2<rsup|n+1>>\<less\><frac|1|2<rsup|n-1>>*<around*|(|1-cos
      <frac|\<pi\>|2>|)>=<frac|1|2<rsup|n-1>>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4FBF\>\<#8868\>\<#660E\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> cos <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>=1
    </equation*>

    \<#540C\>\<#65F6\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> cos <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>=lim<rsub|n\<to\><rsub|i*n*f*t*y>>
      <sqrt|1-cos<rsup|2> <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>>=0
    </equation*>

    \<#5728\>\<#540E\>\<#6587\>\<#8BB2\>\<#8FF0\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#51C6\>\<#5219\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#5230\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> cos <frac|\<pi\>|n>=1
    </equation*>

    \<#53CA\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> sin <frac|\<pi\>|n>=0
    </equation*>
  </example>

  <subsection|\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5957\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:theorem-of-closed-interval-sequence>

  <\theorem>
    <dueto|\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5957\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|closed-interval-sequence-theorem>\<#8BBE\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5E8F\>\<#5217\>
    <math|<around|[|a<rsub|n>,b<rsub|n>|]><around|(|n=1,2,\<ldots\>|)>>
    \<#6EE1\>\<#8DB3\>:

    <\enumerate>
      <item> <math|<around|[|a<rsub|1>,b<rsub|1>|]>\<supseteq\><around|[|a<rsub|2>,b<rsub|2>|]>\<supseteq\>\<cdots\><around|[|a<rsub|n>,b<rsub|n>|]>\<supseteq\><around|[|a<rsub|n+1>,b<rsub|n+1>|]>\<supseteq\>\<cdots\>>

      <item> <math|lim <rsub|n\<to\>\<infty\>><around|(|b<rsub|n>-a<rsub|n>|)>=0>
    </enumerate>

    \<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\> <math|x\<in\><around|[|a<rsub|n>,b<rsub|n>|]><around|(|n=1,2,\<ldots\>|)>>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#663E\>\<#7136\>
    <math|a<rsub|n>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#7684\>\<#5E8F\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|b<rsub|m>>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>
    <math|b<rsub|n>>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|a<rsub|m>>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5747\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#522B\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|A>\<#548C\> <math|B>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|a<rsub|n>\<less\>b<rsub|n>>\<#6052\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#77E5\>
    <math|A\<leqslant\>B>\<#FF0C\>\<#53C8\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|A\<less\>B>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n>\<leqslant\>A\<less\>B\<leqslant\>b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>
    <math|b<rsub|n>-a<rsub|n>\<gtr\>B-A>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#76F8\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#80FD\>
    <math|A=B>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5B83\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4F4D\>\<#4E8E\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0E\>\<#4E4B\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#4E5F\>\<#80FD\>\<#540C\>\<#5904\>\<#4E8E\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#663E\>\<#7136\>\<#4E0E\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#76F8\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5171\>\<#540C\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4F4D\>\<#4E8E\>\<#6240\>\<#6709\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6570\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#51C6\>\<#5219\>><label|sec:cauchy-convergence-rule>

  <\theorem>
    <dueto|\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#51C6\>\<#5219\>>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#603B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|N\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|n<rsub|1>\<gtr\>N>\<#548C\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|n<rsub|2>\<gtr\>N>\<#53CA\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||x<rsub|n<rsub|1>>-x<rsub|n<rsub|2>>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>.
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    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
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    <math|<around|\||x<rsub|n>-x|\|>\<less\>\<varepsilon\>/2>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|n<rsub|1>\<gtr\>N>\<#53CA\> <math|n<rsub|2>\<gtr\>N>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#6709\>
    <math|<around|\||x<rsub|n<rsub|1>>-x<rsub|n<rsub|2>>|\|>=<around|\||<around|(|x<rsub|n<rsub|1>>-x|)>-<around|(|x<rsub|n<rsub|2>>-x|)>|\|>\<leqslant\><around|\||x<rsub|n<rsub|1>>-x|\|>+<around|\||x<rsub|n<rsub|2>>-x|\|>\<less\>\<varepsilon\>/2+\<varepsilon\>/2=\<varepsilon\>>\<#3002\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>\<#5F97\>\<#8BC1\>\<#3002\>

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    <math|2*\<varepsilon\><rsub|1>>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
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    <math|2*\<varepsilon\><rsub|2>>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|I<rsub|2>>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|I<rsub|1>\<supseteq\>I<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#4F9D\>\<#6B21\>\<#7C7B\>\<#63A8\>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5E8F\>\<#5217\>
    <math|I<rsub|1>,I<rsub|2>,\<ldots\>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#90FD\>\<#80FD\>\<#5305\>\<#542B\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#7684\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6309\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5957\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#5B9E\>\<#6570\>
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    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|I<rsub|m>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|I<rsub|m>\<subset\><around|(|M-\<varepsilon\>,M+\<varepsilon\>|)>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#843D\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
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  </proof>

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  <math|a<rsub|n>>\<#53D1\>\<#6563\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|r>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#591A\>\<#5927\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
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  <\example>
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    <\equation*>
      S<rsub|n>=1+<frac|1|2<rsup|2>>+\<cdots\>+<frac|1|n<rsup|2>>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#7247\>\<#6BB5\>\<#6709\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|S<rsub|m+p>-S<rsub|m>>|<cell|=>|<cell|<frac|1|<around|(|m+1|)><rsup|2>>+<frac|1|<around|(|m+2|)><rsup|2>>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|m+p|)><rsup|2>>>>|<row|<cell|>|<cell|\<less\>>|<cell|<frac|1|m*<around|(|m+1|)>>+<frac|1|<around|(|m+1|)>*<around|(|m+2|)>>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|m+p-1|)>*<around|(|m+p|)>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|<frac|1|m>-<frac|1|m+1>|)>+<around*|(|<frac|1|m+1>-<frac|1|m+2>|)>+\<cdots\>+<around*|(|<frac|1|m+p-1>-<frac|1|m+p>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1|m>-<frac|1|m+p>\<less\><frac|1|m>>>>>
    </eqnarray*>

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    </equation*>
  </example>

  <\example>
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    <\equation*>
      T<rsub|n>=1+<frac|1|2!>+\<cdots\>+<frac|1|n!>
    </equation*>

    \<#5B83\>\<#7684\>\<#7247\>\<#6BB5\>\<#548C\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|T<rsub|m+p>-T<rsub|m>>|<cell|=>|<cell|<frac|1|<around|(|m+1|)>!>+<frac|1|<around|(|m+2|)>!>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|m+p|)>!>>>|<row|<cell|>|<cell|\<less\>>|<cell|<frac|1|2<rsup|m+1>>+<frac|1|2<rsup|m+2>>+\<cdots\>+<frac|1|2<rsup|m+p>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1|2<rsup|m>>*<around*|(|1-<frac|1|2<rsup|p>>|)>\<less\><frac|1|2<rsup|m>>>>>>
    </eqnarray*>

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    <math|e>:

    <\equation*>
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    </equation*>
  </example>

  <\example>
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    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
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    <math|n>\<#548C\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
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    <math|<around|\||a<rsub|n+1>+a<rsub|n+2>+\<cdots\>+a<rsub|n+p>|\|>\<geqslant\>r>.
  </example>

  <\example>
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    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n>=1+<frac|1|2>+<frac|1|3>+\<cdots\>
    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
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  </example>

  <subsection|\<#805A\>\<#70B9\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:accumulate-point-theorem>

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  </definition>

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  <\theorem>
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  </theorem>

  <\proof>
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  >

  <\proof>
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    <math|P>\<#662F\>\<#6570\>\<#96C6\> <math|A>\<#7684\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\>
    <math|B>\<#7684\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>
    <math|Q>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6570\>\<#96C6\>
    <math|A>\<#7684\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#5206\>\<#522B\>\<#662F\>\<#6570\>\<#96C6\>
    <math|A>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#548C\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5230\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#3002\>

  \<#4EE5\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4F1A\>\<#79F0\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#6307\>\<#7531\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6240\>\<#6709\>\<#9879\>\<#7684\>\<#6570\>\<#503C\>\<#6240\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#7684\>\<#6570\>\<#96C6\>(\<#82E5\>\<#6709\>\<#6570\>\<#503C\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8BE5\>\<#503C\>\<#6309\>\<#91CD\>\<#590D\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#8BA1\>\<#7B97\>)\<#7684\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#4E0D\>\<#518D\>\<#7279\>\<#522B\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#3002\>

  <\theorem>
    \<#6570\> <math|A>\<#662F\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|<around|{|a<rsub|n>|}>>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|A>\<#7684\>\<#5B50\>\<#6570\>\<#5217\>.
  </theorem>

  <\definition>
    \<#6570\>\<#5217\> <math|a<rsub|n>>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#805A\>\<#70B9\>(\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#65E0\>\<#7A77\>)\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\><em|\<#4E0A\>\<#6781\>\<#9650\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|<wide|lim|\<bar\>><rsub|n\<to\>\<infty\>>a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5B83\>\<#7684\><em|\<#4E0B\>\<#6781\>\<#9650\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|<wide*|lim|\<bar\>><rsub|n\<to\>\<infty\>>a<rsub|n>>.
  </definition>

  \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5FC5\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#6781\>\<#9650\>(\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#65E0\>\<#7A77\>)\<#3002\>

  <\theorem>
    \<#6570\>\<#5217\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#6781\>\<#9650\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\> <math|A>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#6781\>\<#9650\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#3002\>

    \<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#4E0A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#6781\>\<#9650\>\<#90FD\>\<#662F\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\> <math|A>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#542B\>\<#6709\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#591A\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5916\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#542B\>\<#6709\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6709\>\<#9650\>\<#591A\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#5426\>\<#5219\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5916\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#522B\>\<#7684\>\<#805A\>\<#70B9\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6570\>\<#5217\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#6B64\>\<#503C\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#6570\> <math|<math-up|e>>><label|sec:a-import-sequence-limit>

  \<#8FD9\>\<#4E00\>\<#5C0F\>\<#8282\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>:

  <\equation*>
    x<rsub|n>=<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>
  </equation*>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>><footnote|\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6765\>\<#81EA\>\<#53C2\>\<#8003\>\<#6587\>\<#732E\><cite|olympic-math>.>
    \<#7531\>\<#591A\>\<#5143\>\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#628A\>
    <math|x<rsub|n>>\<#770B\>\<#6210\> <math|n>\<#4E2A\>
    <math|<around|(|1+1/n|)>>\<#7684\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#6DFB\>\<#52A0\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56E0\>\<#6570\>1\<#6784\>\<#6210\>
    <math|n+1>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>=1\<cdot\><around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\><around*|(|<frac|1+n*<around*|(|1+<frac|1|n>|)>|n+1>|)><rsup|n+1>=<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n+1>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4FBF\>\<#8868\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#9012\>\<#589E\>\<#7684\>\<#3002\>

    \<#4E0B\>\<#8BC1\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#628A\>
    <math|n+1>\<#62C6\>\<#5206\>\<#6210\> <math|<frac|5|6>>\<#548C\>
    <math|n>\<#4E2A\> <math|1+<frac|1|6*n>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      n+1=<frac|5|6>+n*<around*|(|1+<frac|1|6*n>|)>\<gtr\><around|(|n+1|)>*<sqrt|<frac|5|6>\<cdot\><around*|(|1+<frac|1|6*n>|)><rsup|n>|n+1>
    </equation*>

    \<#6574\>\<#7406\>\<#5373\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|6*n>|)><rsup|n>\<less\><frac|6|5>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|6*n>|)><rsup|6*n>\<less\><around*|(|<frac|6|5>|)><rsup|6>\<less\>3
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#7531\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#4FBF\>\<#77E5\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\>3
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#6570\>\<#5217\> <math|x<rsub|n>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#4E14\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#6545\>\<#6B64\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </proof>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E8C\>><footnote|\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6765\>\<#81EA\>\<#4E8E\>\<#53C2\>\<#8003\>\<#6587\>\<#732E\><cite|math-analysis>.>
    \<#628A\> <math|x<rsub|n>>\<#6309\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F97\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|1+<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>C<rsub|n><rsup|i>*<frac|1|n<rsup|i>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|1+<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><frac|1|i!>*<around*|(|1-<frac|1|n>|)>*<around*|(|1-<frac|2|n>|)>*\<cdots\>*<around*|(|1-<frac|i-1|n>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#6613\>\<#89C1\>\<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|x<rsub|n+1>>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#7840\>\<#4E0A\>\<#4F1A\>\<#591A\>\<#51FA\>
    <math|i=n+1>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#9879\>\<#662F\>\<#628A\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#9879\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56E0\>\<#5B50\>
    <math|1-<frac|i|n>>\<#66F4\>\<#6362\>\<#4E3A\>\<#66F4\>\<#5927\>\<#7684\>\<#56E0\>\<#5B50\>
    <math|1-<frac|i|n+1>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|x<rsub|n+1>\<gtr\>x<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#9012\>\<#589E\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>.

    \<#5C06\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#9879\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>
    <math|<around|(|1-i/n|)>>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#653E\>\<#5927\>\<#4E3A\>1\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      x<rsub|n>\<less\>1+<frac|1|1!>+<frac|1|2!>+\<cdots\>+<frac|1|n!>
    </equation*>

    \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#79CD\>\<#653E\>\<#7F29\>\<#65B9\>\<#5F0F\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#9650\>:

    <\equation*>
      <frac|1|k!>\<less\><frac|1|k*<around|(|k-1|)>>=<frac|1|k-1>-<frac|1|k>
    </equation*>

    \<#548C\>

    <\equation*>
      <frac|1|k!>\<less\><frac|1|2<rsup|k-1>>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>

    <\equation*>
      x<rsub|n>\<less\>2+<big|sum><rsub|i=2><rsup|n><around*|(|<frac|1|i-1>-<frac|1|i>|)>=3-<frac|1|n>\<less\>3
    </equation*>

    \<#6216\>\<#8005\>

    <\equation*>
      x<rsub|n>\<less\>2+<big|sum><rsub|i=2><rsup|n><frac|1|2<rsup|i-1>>=3-<frac|1|2<rsup|n-1>>\<less\>3
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#589E\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#6545\>\<#6B64\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>.
  </proof>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E09\>><footnote|\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6765\>\<#81EA\>\<#53C2\>\<#8003\>\<#6587\>\<#732E\><cite|math-analysis>.>
    \<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|a\<gtr\>b\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsup|n+1>-b<rsup|n+1>=<around|(|a-b|)>*<around|(|a<rsup|n>+a<rsup|n-1>*b+\<cdots\>+a*b<rsup|n-1>+b<rsup|n>|)>\<less\><around|(|n+1|)>*a<rsup|n>*<around|(|a-b|)>
    </equation*>

    \<#5373\>

    <\equation>
      <label|eq:example-equation-a-n-b-n>b<rsup|n+1>\<gtr\>a<rsup|n>*<around|(|a-<around|(|n+1|)>*<around|(|a-b|)>|)>=a<rsup|n>*<around|(|<around|(|n+1|)>*b-n*a|)>
    </equation>

    \<#5728\>\<#6B64\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#53D6\> <math|a=1+<frac|1|n>>,
    <math|b=1+<frac|1|n+1>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|<around|(|n+1|)>*b-n*a=1>\<#FF0C\>\<#6545\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n+1>\<less\><around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>
    </equation*>

    \<#5373\>\<#6570\>\<#5217\> <math|x<rsub|n>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5728\>\<#524D\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#53D6\>
    <math|a=1+<frac|1|2*n>>, <math|b=1>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|<around|(|n+1|)>*b-n*a=<frac|1|2>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|1|2>*<around*|(|1+<frac|1|2*n>|)><rsup|n>\<less\>1
    </equation*>

    \<#5373\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|2*n>|)><rsup|2*n>\<less\>4
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#4E3A\> <math|x<rsub|n>>\<#662F\>\<#9012\>\<#589E\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#53C8\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5076\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\>4
    </equation*>

    \<#6545\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6709\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#7528\>\<#5B57\>\<#6BCD\>
  <math|<math-up|e>>\<#6765\>\<#8868\>\<#793A\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#503C\>\<#662F\>

  <\equation*>
    lim<rsub|n\<to\>\<infty\>><around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>=<math-up|e>=2.718281828459045*\<cdots\>
  </equation*>

  <\example>
    \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>
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  </example>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation>
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  <\equation*>
    <math-up|e>\<geqslant\>1+<frac|1|1!>+<frac|1|2!>+\<cdots\>+<frac|1|k!>=y<rsub|k>
  </equation*>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
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  <math|x<rsub|n>\<less\>y<rsub|n>\<leqslant\><math-up|e>>\<#4EE5\>\<#53CA\>
  <math|y<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
  <math|<math-up|e>>\<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#6CD5\>\<#5F97\>\<#51FA\>
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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
    lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> x<rsub|n>\<leqslant\>lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
    y<rsub|n>\<leqslant\>lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> x<rsub|n>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C31\>\<#6709\>

  <\equation*>
    lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> x<rsub|n>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
    y<rsub|n>=<math-up|e>
  </equation*>

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  <\equation*>
    <around*|(|<frac|n<rsup|2>|n<rsup|2>-1>|)><rsup|n>=<around*|(|1+<frac|1|n<rsup|2>-1>|)><rsup|n>\<gtr\>1+<frac|n|n<rsup|2>-1>\<gtr\>1+<frac|1|n>
  </equation*>

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  <\equation*>
    <around*|(|1+<frac|1|n-1>|)><rsup|n>\<gtr\><around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n+1>
  </equation*>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
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  <\equation*>
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  </equation*>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>>\<#6839\>\<#636E\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n+1>
    </equation*>

    \<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#5E76\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|<math-up|e>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>

    <\equation*>
      0\<less\><math-up|e>-<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\><around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n+1>-<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>=<frac|1|n>*<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\><frac|3|n>
    </equation*>

    \<#5373\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.
  </proof>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E8C\>>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6570\>\<#5217\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>+<frac|3|n>
    </equation*>

    \<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#5E76\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|<math-up|e>>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#3002\>

    \<#4E3A\>\<#4E86\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>+<frac|3|n>\<gtr\><around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n+1>+<frac|3|n+1>
    </equation*>

    \<#5373\>\<#8981\>\<#8BC1\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n+1>-<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\><frac|3|n*<around|(|n+1|)>>
    </equation*>

    \<#8BBE\> <math|a\<gtr\>b\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      a<rsup|n>-b<rsup|n>=<around|(|a-b|)>*<around|(|a<rsup|n-1>+a<rsup|n-2>*b+\<cdots\>+a*b<rsup|n-2>+b<rsup|n-1>|)>\<gtr\>n*b<rsup|n-1>*<around|(|a-b|)>
    </equation*>

    \<#53D6\> <math|a=1+<frac|1|n>>\<#FF0C\>
    <math|b=1+<frac|1|n+1>>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>-<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n>\<gtr\><frac|1|n+1>*<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n-1>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n+1>-<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)>*<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n>-<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n>-<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>+<frac|1|n+1>*<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n>>>|<row|<cell|>|<cell|\<less\>>|<cell|-<frac|1|n+1>*<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n-1>+<frac|1|n+1>*<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1|<around|(|n+1|)><rsup|2>>*<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n-1>>>|<row|<cell|>|<cell|\<less\>>|<cell|<frac|3|<around|(|n+1|)><rsup|2>>\<less\><frac|3|n*<around|(|n+1|)>>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5B83\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF08\>\<#6BD4\>\<#5982\>\<#96F6\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF09\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#800C\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>><around*|(|<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>+<frac|3|n>|)>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>><around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>+lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      <frac|3|n>=<math-up|e>+0=<math-up|e>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

    <\equation*>
      0\<less\>e-<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\><frac|3|n>
    </equation*>
  </proof>

  \<#5229\>\<#7528\><reference|eq:series-1-devide-by-n-fractor-is-e>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#4E0D\>\<#591A\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#9879\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#51FA\>
  <math|<math-up|e>>\<#7CBE\>\<#786E\>\<#5EA6\>\<#8F83\>\<#9AD8\>\<#7684\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#9636\>\<#4E58\>\<#7684\>\<#589E\>\<#957F\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#76F8\>\<#5F53\>\<#5FEB\>\<#FF0C\>\<#6BD4\>\<#6307\>\<#6570\>\<#8FD8\>\<#5FEB\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#548C\>\<#7684\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#5F53\>\<#5FEB\>\<#3002\>\<#4E3A\>\<#6B64\>\<#8003\>\<#8651\>\<#7528\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#7B2C\>
  <math|n>\<#4E2A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#53BB\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>
  <math|<math-up|e>>\<#65F6\>\<#7684\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|y<rsub|n+m>-y<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|<frac|1|<around|(|n+1|)>!>+<frac|1|<around|(|n+2|)>!>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|n+m|)>!>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1|n!>*<around*|(|<frac|1|n+1>+<frac|1|<around|(|n+1|)>*<around|(|n+2|)>>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|n+1|)>*<around|(|n+2|)>*\<cdots\>*<around|(|n+m|)>>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<less\>>|<cell|<frac|1|n!>*<around*|(|<frac|1|n+1>+<frac|1|<around|(|n+1|)><rsup|2>>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|n+1|)><rsup|m>>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1|n!>\<cdot\><frac|1|n>*<around*|(|1-<frac|1|<around|(|n+1|)><rsup|m>>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  \<#56FA\>\<#5B9A\> <math|n>\<#FF0C\>\<#4EE4\>
  <math|m\<to\>\<infty\>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#5230\>(\<#4E0B\>\<#5F0F\>\<#672C\>\<#6765\>\<#5E94\>\<#8BE5\>\<#662F\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#9762\>\<#53D6\>\<#66F4\>\<#5F3A\>\<#7684\>\<#653E\>\<#7F29\>\<#FF0C\>\<#6BD4\>\<#5982\>\<#662F\>\<#63D0\>
  <math|<frac|1|<around|(|n+1|)>!>>\<#800C\>\<#4E0D\>\<#662F\>
  <math|<frac|1|n!>>\<#FF0C\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>\<#7B49\>\<#4E8E\>
  <math|<frac|1|n*n!>>\<#7684\>\<#91CF\>)

  <\equation*>
    <math-up|e>-y<rsub|n>\<less\><frac|1|n*n!>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
  <math|n>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|\<theta\><rsub|n>\<in\><around|(|0,1|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

  <\equation>
    <label|eq:e-n-fractor><math-up|e>=1+<frac|1|1!>+<frac|1|2!>+\<cdots\>+<frac|1|n!>+<frac|\<theta\><rsub|n>|n*n!>
  </equation>

  \<#5229\>\<#7528\><reference|eq:e-n-fractor>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>
  <math|<math-up|e>>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <frac|m|n>=1+<frac|1|1!>+<frac|1|2!>+\<cdots\>+<frac|1|n!>+<frac|\<theta\><rsub|n>|n*n!>
  </equation*>

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#662F\>\<#5148\>\<#7528\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
  <math|<frac|p|q>>\<#8868\>\<#793A\> <math|<math-up|e>>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5C06\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5230\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>
  <math|n=q>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#540E\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#7AEF\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E58\>\<#4EE5\>
  <math|n>!\<#FF0C\>\<#5DE6\>\<#7AEF\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6574\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#5374\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6574\>\<#6570\>\<#52A0\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#771F\>\<#5206\>\<#6570\>
  <math|<frac|\<theta\><rsub|n>|n>>\<#FF0C\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
  <math|<math-up|e>>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#6B64\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BF4\>\<#660E\><reference|eq:e-n-fractor>\<#4E2D\>\<#7684\>
  <math|\<theta\><rsub|n>>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#53D6\>1.

  \<#73B0\>\<#5728\>\<#5229\>\<#7528\><reference|eq:e-n-fractor>\<#4F30\>\<#7B97\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#53D6\>
  <math|n=20>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <frac|1|20\<times\>20!>=<frac|1|48658040163532800000>=2.0551*\<ldots\>\<times\>10<rsup|-20>\<less\>3\<times\>10<rsup|-20>
  </equation*>

  \<#518D\>\<#8003\>\<#8651\>\<#524D\>\<#9762\>\<#524D\>\<#9762\>20\<#9879\>\<#7684\>\<#820D\>\<#5165\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#4FDD\>\<#7559\>20\<#4F4D\>\<#5C0F\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#7684\>\<#820D\>\<#5165\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>
  <math|\<less\>20\<times\>10<rsup|-20>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#7528\>\<#524D\>20\<#9879\>\<#7684\>\<#548C\>\<#53BB\>\<#903C\>\<#8FD1\>
  <math|<math-up|e>>\<#7684\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
  <math|23\<times\>10<rsup|-20>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#5177\>\<#6709\>17\<#4F4D\>\<#7CBE\>\<#786E\>\<#5C0F\>\<#6570\>\<#3002\>

  <subsection|\<#6B27\>\<#62C9\>\<#5E38\>\<#6570\>
  <math|C>><label|sec:euler-constant>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>

  <\equation*>
    <around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\><math-up|e>\<less\><around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n+1>
  </equation*>

  \<#5BF9\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53D6\>\<#4EE5\>
  <math|<math-up|e>>\<#4E3A\>\<#5E95\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    n*ln <around*|(|1+<frac|1|n>|)>\<less\>1\<less\><around|(|n+1|)>*ln
    <around*|(|1+<frac|1|n>|)>
  </equation*>

  \<#5373\>

  <\equation*>
    <frac|1|n+1>\<less\>ln <around*|(|1+<frac|1|n>|)>\<less\><frac|1|n>
  </equation*>

  \<#800C\>

  <\equation*>
    ln <around*|(|1+<frac|1|n>|)>=ln <around|(|n+1|)>-ln n
  </equation*>

  \<#6240\>\<#4EE5\>

  <\equation>
    <label|eq:1-devided-by-n-ln-n-approximation>ln <around|(|n+1|)>-ln
    n\<less\><frac|1|n>\<less\>ln n-ln <around|(|n-1|)>
  </equation>

  \<#8FD9\>\<#662F\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#6570\>\<#5012\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#8FD8\>\<#4F1A\>\<#7528\>\<#5230\>\<#5B83\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#53D6\>
  <math|n=1,2,\<ldots\>>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#7D2F\>\<#52A0\>(\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#8981\>\<#4ECE\>2\<#5F00\>\<#59CB\>)\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    ln <around|(|n+1|)>\<less\>1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>\<less\>1+ln
    n
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    ln <around|(|n+1|)>-ln n\<less\>1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>-ln
    n\<less\>1
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#5E8F\>\<#5217\>

  <\equation*>
    x<rsub|n>=1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>-ln n
  </equation*>

  \<#662F\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4F5C\>\<#5DEE\>\<#4FBF\>\<#77E5\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5C5E\>\<#4E8E\>\<#6B27\>\<#62C9\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#88AB\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#6B27\>\<#62C9\>\<#5E38\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#503C\>\<#662F\>

  <\equation*>
    C=0.577216*\<ldots\>
  </equation*>

  \<#5229\>\<#7528\>\<#6B27\>\<#62C9\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8C03\>\<#548C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    H<rsub|n>=1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>=ln n+C+\<gamma\><rsub|n>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|\<gamma\><rsub|n>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#3002\>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#65E9\>\<#5DF2\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#FF0C\>\<#5728\>
  <math|n\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>,

  <\equation*>
    1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>
  </equation*>

  \<#4E0E\> <math|ln n>\<#662F\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#663E\>\<#793A\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#4EC5\>\<#5982\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#7684\>\<#5DEE\>\<#503C\>\<#5C06\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#7528\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#6765\>\<#903C\>\<#8FD1\>\<#8C03\>\<#548C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#7684\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#59CB\>\<#7EC8\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#76F8\>\<#5BF9\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#5219\>\<#6E10\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#3002\>

  <\example>
    <label|example:limit-of-sum-of-i/n+1-i-in-(1-n)>\<#5229\>\<#7528\>\<#6B27\>\<#62C9\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6C42\>\<#4E0B\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      <frac|1|n+1>+<frac|1|n+2>+\<cdots\>+<frac|1|2*n>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      H<rsub|n>=ln n+C+\<gamma\><rsub|n>,H<rsub|2*n>=ln
      2*n+C+\<gamma\><rsub|2*n>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      <frac|1|n+1>+<frac|1|n+2>+\<cdots\>+<frac|1|2*n>=ln 2*n-ln
      n+\<gamma\><rsub|2*n>-\<gamma\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#4E24\>\<#8FB9\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4FBF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>><around*|(|<frac|1|n+1>+<frac|1|n+2>+\<cdots\>+<frac|1|2*n>|)>=ln
      2
    </equation*>

    \<#5229\>\<#7528\><reference|eq:1-devided-by-n-ln-n-approximation>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>

    <\equation*>
      ln <around|(|2*n+1|)>-ln <around|(|n+1|)>\<less\><frac|1|n+1>+<frac|1|n+2>+\<cdots\>+<frac|1|2*n>\<less\>ln
      2*n-ln n
    </equation*>

    \<#5373\>

    <\equation*>
      ln <frac|2*n+1|n+1>\<less\><frac|1|n+1>+<frac|1|n+2>+\<cdots\>+<frac|1|2*n>\<less\>ln
      2
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#5706\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#4E4B\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>><label|sec:pi>

  \<#8003\>\<#8651\>\<#5706\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>
  <math|r>\<#8868\>\<#5176\>\<#534A\>\<#5F84\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#56FE\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#5750\>\<#6807\>\<#4F38\>\<#7F29\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#5176\>\<#9762\>\<#79EF\>
  <math|P>\<#4E0E\>\<#4EE5\>\<#5176\>\<#534A\>\<#5F84\>\<#4E3A\>\<#8FB9\>\<#957F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#65B9\>\<#5F62\>\<#9762\>\<#79EF\>
  <math|r<rsup|2>>\<#6210\>\<#6B63\>\<#6BD4\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|\<tau\>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5706\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#90FD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>

  <\equation*>
    P=\<tau\>*r<rsup|2>
  </equation*>

  \<#6682\>\<#65F6\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8FD8\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#4E0E\>\<#5706\>\<#5468\>\<#7387\>
  <math|\<pi\>>\<#7B49\>\<#540C\>\<#8D77\>\<#6765\>.

  \<#7528\>\<#5185\>\<#63A5\>\<#548C\>\<#5916\>\<#5207\>\<#6B63\>\<#591A\>\<#8FB9\>\<#5F62\>\<#5BF9\>\<#5706\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#5185\>\<#586B\>\<#5916\>\<#5305\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#5185\>\<#63A5\>\<#6B63\>
  <math|n>\<#8FB9\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#662F\>

  <\equation*>
    S<rsub|n>=<frac|1|2>*r<rsup|2>\<cdot\>n*sin <frac|2*\<pi\>|n>
  </equation*>

  \<#5916\>\<#5207\>\<#6B63\> <math|n>\<#8FB9\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#662F\>

  <\equation*>
    T<rsub|n>=r<rsup|2>\<cdot\>n*tan <frac|\<pi\>|n>
  </equation*>

  \<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

  <\equation*>
    S<rsub|n>\<less\>P\<less\>T<rsub|n>
  </equation*>

  \<#53E6\>\<#4E00\>\<#65B9\>\<#9762\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#77E5\>\<#9053\>

  <\equation*>
    S<rsub|2*n>\<gtr\>S<rsub|n>,T<rsub|2*n>\<less\>T<rsub|n>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6570\>\<#5217\> <math|S<rsub|2<rsup|n>>>
  \<#4E25\>\<#683C\>\<#9012\>\<#589E\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#800C\>
  <math|T<rsub|2<rsup|n>>> \<#4E25\>\<#683C\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#6545\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#522B\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
  <math|S> \<#548C\> <math|T>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    S=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> S<rsub|2<rsup|n>>,T=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
    T<rsub|2<rsup|n>>
  </equation*>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#80FD\>\<#8BC1\>\<#660E\>
  <math|S=T>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#6709\>\<#7406\>\<#7531\>\<#8BA4\>\<#4E3A\>\<#8FD9\>\<#5171\>\<#540C\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5706\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>.

  \<#5185\>\<#63A5\>\<#6B63\> <math|n>\<#8FB9\>\<#5F62\>\<#548C\>\<#5916\>\<#5207\>\<#6B63\>
  <math|n>\<#8FB9\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#88AB\>\<#5939\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5706\>\<#73AF\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5706\>\<#73AF\>\<#7684\>\<#5185\>\<#5916\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#534A\>\<#5F84\>\<#5206\>\<#522B\>\<#662F\>
  <math|r*cos <frac|\<pi\>|n>>\<#548C\> <math|<frac|r|cos
  <frac|\<pi\>|n>>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

  <\equation*>
    T<rsub|n>-S<rsub|n>\<less\>\<tau\>*r<rsup|2>*<around*|(|<frac|1|cos<rsup|2>
    <frac|\<pi\>|n>>-cos<rsup|2> <frac|\<pi\>|n>|)>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>

  <\equation*>
    T<rsub|2<rsup|n>>-S<rsub|2<rsup|n>>\<less\>\<tau\>*r<rsup|2>*<around*|(|<frac|1|cos<rsup|2>
    <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>>-cos<rsup|2> <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>|)>
  </equation*>

  \<#5728\> <reference|limit-of-cos-pi-frac-n>
  \<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5F97\>\<#5230\>
  <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> cos <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>=1>
  \<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6709\>

  <\equation*>
    lim<rsub|n\<to\>\<infty\>><around|(|T<rsub|2<rsup|n>>-S<rsub|2<rsup|n>>|)>=0
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\> <math|S=T>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>

  <\equation*>
    lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> S<rsub|2<rsup|n>>=\<tau\>*r<rsup|2>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
    T<rsub|2<rsup|n>>
  </equation*>

  \<#6216\>\<#8005\>

  <\equation*>
    lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> 2<rsup|n>*sin
    <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>=\<tau\>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> 2<rsup|n>*tan
    <frac|\<pi\>|2<rsup|n>>
  </equation*>

  \<#4EE5\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#8BC1\>\<#660E\>
  <math|\<tau\>> \<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#5C31\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#5706\>\<#5468\>\<#7387\>
  <math|\<pi\>>.

  <subsection|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>><label|sec:infinite-series>

  \<#5728\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#5C0F\>\<#8282\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#770B\>\<#5230\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7684\>\<#7684\>

  <\equation*>
    lim<rsub|n\<to\>\<infty\>><around*|(|1+<frac|1|2<rsup|2>>+\<cdots\>+<frac|1|n<rsup|2>>|)>
  </equation*>

  \<#4E0E\>

  <\equation*>
    lim<rsub|n\<to\>\<infty\>><around*|(|1+<frac|1|2!>+\<cdots\>+<frac|1|n!>|)>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#5F88\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#7684\>\<#5F15\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#548C\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#3002\>

  \<#4E00\>\<#822C\>\<#5730\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#6570\>\<#5217\>
  <math|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>,\<ldots\>>\<#FF0C\>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#51FA\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#9879\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#548C\>\<#5F0F\>

  <\equation*>
    a<rsub|1>+a<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>+\<cdots\>
  </equation*>

  \<#4E3A\>\<#8282\>\<#7EA6\>\<#7BC7\>\<#5E45\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#90FD\>\<#7B80\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>
  </equation*>

  \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\> <em|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#6216\>\<#8005\>\<#7B80\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#7EA7\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#957F\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#5F0F\>\<#3002\>\<#5F88\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#7684\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#5B9A\>\<#4E49\>

  <\definition>
    <dueto|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>>\<#5BF9\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#79F0\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|k=1><rsup|n>a<rsub|k>=a<rsub|1>+a<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>
    </equation*>

    \<#4E3A\>\<#5B83\>\<#7684\>(\<#524D\>
    <math|n>\<#9879\>\<#7684\>)<em|\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>>\<#FF0C\>\<#82E5\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <big|sum><rsub|k=1><rsup|n>a<rsub|k>>
    \<#5B58\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>
    <em|\<#6536\>\<#655B\>>\<#FF0C\>\<#6216\>\<#8005\>\<#8BF4\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\><em|\<#6536\>\<#655B\>\<#7EA7\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|S>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      <big|sum><rsub|k=1><rsup|n>a<rsub|k>
    </equation*>

    \<#53CD\>\<#4E4B\>\<#FF0C\>\<#82E5\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <big|sum><rsub|k=1><rsup|n>a<rsub|k>>\<#4E0D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>
    <em|\<#53D1\>\<#6563\>>\<#FF0C\>\<#6216\>\<#8005\>\<#8BF4\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\><em|\<#53D1\>\<#6563\>\<#7EA7\>\<#6570\>>.
  </definition>

  \<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#4E8E\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4ECE\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#4E86\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#3002\>

  <\example>
    \<#7EA7\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <\eqsplit>
        <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n*<around|(|n+1|)>>>>|<row|<cell|=>|<cell|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
        <big|sum><rsub|k=1><rsup|n><frac|1|k*<around|(|k+1|)>>>>|<row|<cell|=>|<cell|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
        <big|sum><rsub|k=1><rsup|n><around*|(|<frac|1|k>-<frac|1|k+1>|)>>>|<row|<cell|=>|<cell|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>><around*|(|1-<frac|1|n+1>|)>>>|<row|<cell|=>|<cell|1>>>>
      </eqsplit>
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    \<#5F53\> <math|<around|\||q|\|>\<less\>1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#7EA7\>\<#6570\>(\<#6CE8\>\<#610F\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#4ECE\>0\<#5F00\>\<#59CB\>)

    <\equation*>
      <\eqsplit>
        <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>>q<rsup|n>>>|<row|<cell|=>|<cell|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
        <big|sum><rsub|k=0><rsup|n>q<rsup|k>>>|<row|<cell|=>|<cell|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
        <frac|1-q<rsup|n+1>|1-q>>>|<row|<cell|=>|<cell|<frac|1|1-q>>>>>
      </eqsplit>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#51E0\>\<#4F55\>\<#7EA7\>\<#6570\>>.

    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#4ECE\>1\<#5F00\>\<#59CB\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#5C11\>\<#4E86\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>q<rsup|n>=<frac|1|1-q>-1=<frac|q|1-q>
    </equation*>

    \<#53D6\> <math|q=<frac|1|2>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|1|2>+<frac|1|2<rsup|2>>+<frac|1|2<rsup|3>>+\<cdots\>=1
    </equation*>

    \<#53D6\> <math|q=<frac|1|3>>\<#FF0C\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|1|3>+<frac|1|3<rsup|2>>+<frac|1|3<rsup|3>>+\<cdots\>=<frac|1|2>
    </equation*>

    \<#53D6\> <math|q=<frac|1|10>>\<#FF0C\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|1|10>+<frac|1|10<rsup|2>>+<frac|1|10<rsup|3>>+\<cdots\>=<frac|1|9>
    </equation*>

    \<#6839\>\<#636E\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#4E58\>\<#4EE5\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#56E0\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#548C\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#5C06\>\<#6269\>\<#5927\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#500D\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5C06\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#4E58\>\<#4EE5\>9\<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|9|10>+<frac|9|10<rsup|2>>+<frac|9|10<rsup|3>>+\<cdots\>=1
    </equation*>

    \<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>

    <\equation*>
      0.*<wide|9|\<dot\>>=1
    </equation*>

    \<#4E8B\>\<#5B9E\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5FAA\>\<#73AF\>\<#5C0F\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#5176\>\<#5FAA\>\<#73AF\>\<#7247\>\<#6BB5\>\<#6709\>\<#591A\>\<#957F\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#5C06\>\<#5176\>\<#5199\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5229\>\<#7528\>\<#672C\>\<#4F8B\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5C06\>\<#5176\>\<#6539\>\<#5199\>\<#4E3A\>\<#5206\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>(\<#6CE8\>\<#610F\>\<#516C\>\<#6BD4\>
    <math|q>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>).
  </example>

  <\example>
    \<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsub|n>>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8868\>\<#793A\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#6052\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      a<rsub|n>=a<rsub|1>+<around|(|a<rsub|2>-a<rsub|1>|)>+<around|(|a<rsub|3>-a<rsub|2>|)>+\<cdots\>+<around|(|a<rsub|n>-a<rsub|n-1>|)>
    </equation*>

    \<#5373\>\<#77E5\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsub|n>=a<rsub|1>+lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      <big|sum><rsub|k=1><rsup|n-1><around|(|a<rsub|k+1>-a<rsub|k>|)>=a<rsub|1>+<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><around|(|a<rsub|n+1>-a<rsub|n>|)>
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    <dueto|\<#8C03\>\<#548C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#6027\>><label|example:non-convergency-of-harmonic-series-proof-by-monotone>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8003\>\<#8651\><em|\<#8C03\>\<#548C\>\<#7EA7\>\<#6570\>>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n>=1+<frac|1|2>+<frac|1|3>+\<cdots\>
    </equation*>

    \<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>

    <\equation*>
      H<rsub|n>=1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>
    </equation*>

    \<#867D\>\<#7136\> <math|H<rsub|n>>\<#968F\>\<#7740\>
    <math|n>\<#7684\>\<#589E\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#589E\>\<#91CF\>\<#9010\>\<#6E10\>\<#51CF\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|1|3>+<frac|1|4>>|<cell|\<gtr\>>|<cell|2\<times\><frac|1|4>=<frac|1|2>>>|<row|<cell|<frac|1|5>+<frac|1|6>+<frac|1|7>+<frac|1|8>>|<cell|\<gtr\>>|<cell|4\<times\><frac|1|8>=<frac|1|2>>>|<row|<cell|......>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|<frac|1|2<rsup|m>+1>+<frac|1|2<rsup|m>+2>+\<cdots\>*<frac|1|2<rsup|m+1>>>|<cell|\<gtr\>>|<cell|2<rsup|m>\<times\><frac|1|2<rsup|m+1>>=<frac|1|2>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|H<rsub|2<rsup|m>>>|<cell|=>|<cell|1+<frac|1|2>+<big|sum><rsub|i=1><rsup|m><around*|(|<frac|1|2<rsup|i>+1>+<frac|1|2<rsup|i>+2>+\<cdots\>*<frac|1|2<rsup|i+1>>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<gtr\>>|<cell|1+<frac|1|2>+<frac|1|2>*m>>>>
    </eqnarray*>

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    <math|H<rsub|n>>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#8C03\>\<#548C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#662F\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#7684\>\<#3002\>
  </example>

  \<#4F9D\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#5C0F\>\<#8282\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>

  <\equation*>
    <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|2>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n!>
  </equation*>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#7684\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#5148\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\equation*>
    <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|2>>=<frac|\<pi\><rsup|2>|6>
  </equation*>

  <\equation*>
    <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n!>=<math-up|e>
  </equation*>

  \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#548C\>\<#7684\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#5C06\>\<#5728\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#5728\>\<#524D\>\<#6587\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5F97\>\<#51FA\>.

  \<#7531\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6709\>\<#754C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#5F97\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#7684\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#7684\>(\<#6216\>\<#8005\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#7684\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#7684\>)\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>
    <math|<big|sum><rsub|k=1><rsup|n>a<rsub|k>>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8BE5\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>.
  </theorem>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#5728\>\<#4E0D\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#9879\>\<#7684\>\<#987A\>\<#5E8F\>\<#7684\>\<#524D\>\<#63D0\>\<#4E0B\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#52A0\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#540E\>\<#5C06\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#89C6\>\<#4E3A\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#662F\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#7ED3\>\<#5408\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E5F\>\<#90FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#4E14\>\<#6536\>\<#655B\>\<#4E8E\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#503C\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#5230\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5728\>\<#4E0D\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#9879\>\<#7684\>\<#987A\>\<#5E8F\>\<#7684\>\<#63D0\>\<#524D\>\<#4E0B\>\<#5BF9\>\<#5176\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#52A0\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#89C6\>\<#4E3A\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#548C\>.
  </theorem>

  \<#4F46\>\<#662F\>\<#8981\>\<#6CE8\>\<#610F\>\<#7684\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#52A0\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#540E\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#52A0\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#524D\>\<#7684\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#4E8E\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#8DB3\>\<#4EE5\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>\<#539F\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>.

  <\example>
    \<#8003\>\<#8651\>\<#7EA7\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n-1><rsup|\<infty\>><around|(|-1|)><rsup|n-1><frac|1|n>=1-<frac|1|2>+<frac|1|3>-<frac|1|4>+\<cdots\>
    </equation*>

    \<#5982\>\<#679C\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#76F8\>\<#90BB\>\<#9879\>\<#4F9D\>\<#6B21\>\<#52A0\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><around*|(|<frac|1|2*n-1>-<frac|1|2*n>|)>=<around*|(|1-<frac|1|2>|)>+<around*|(|<frac|1|3>-<frac|1|4>|)>+\<cdots\>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#4E8E\>

    <\equation*>
      <frac|1|2*n-1>-<frac|1|2*n>\<less\><frac|1|2*n-1>-<frac|1|2*n+1>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>

    <\equation*>
      1-<frac|1|2*n+1>\<less\>1
    </equation*>

    \<#518D\>\<#52A0\>\<#4E0A\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>.
    (\<#6B64\>\<#5904\>\<#672A\>\<#5B8C\>\<#6210\>)
  </example>

  \<#56E0\>\<#4E3A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7B49\>\<#540C\>\<#4E8E\>\<#5176\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#51C6\>\<#5219\>

  <\theorem>
    \<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#591A\>\<#4E48\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
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    <math|N>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7247\>\<#6BB5\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#7684\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#503C\>\<#90FD\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7684\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#53CA\> <math|m\<in\><with|math-font|Bbb|N<rsup|\<ast\>>>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|\||a<rsub|n>+a<rsub|n+1>+\<cdots\>+a<rsub|n+m>|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>
  </theorem>

  <\example>
    \<#8C03\>\<#548C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#6027\>
  </example>

  \<#7531\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#51C6\>\<#5219\>\<#53EF\>\<#5F97\>

  <\theorem>
    \<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsub|n>=0>
  </theorem>

  <subsection|\<#51FD\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E0E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7EA7\>\<#6570\>><label|sec:sequene-of-function-and-function-series>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#4E0E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#672A\>\<#77E5\>\<#91CF\>\<#6709\>\<#5173\>(\<#5373\>\<#4E3A\>\<#51FD\>\<#6570\>)\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#51FD\>\<#6570\>\<#5217\>>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E3A\>
  <math|f<rsub|1><around|(|x|)>,f<rsub|2><around|(|x|)>,\<ldots\>,f<rsub|n><around|(|x|)>,\<ldots\>>\<#FF0C\>\<#6216\>\<#8005\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
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  <\definition>
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    <\equation*>
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    </equation*>
  </definition>

  \<#7531\>\<#4E8E\>\<#590D\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#590D\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#4E00\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E0E\>\<#4E8C\>\<#7EF4\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#70B9\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#8054\>\<#7CFB\>\<#8D77\>\<#6765\>.

  \<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#548C\>\<#865A\>\<#90E8\>\<#5404\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>
  <math|z<rsub|n>=x<rsub|n>+i*y<rsub|n>>\<#FF0C\> <math|Z=x+i*y>\<#FF0C\>
  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\>

  <\equation*>
    <around|\||z<rsub|n>-z|\|>=<sqrt|<around|(|x<rsub|n>-x|)><rsup|2>+<around|(|y<rsub|n>-y|)><rsup|2>>
  </equation*>

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  <math|<around|\||y<rsub|n>-y|\|>\<less\><around|\||z<rsub|n>-Z|\|>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5982\>\<#679C\>
  <math|z<rsub|n>> \<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
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  <math|Z>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#548C\>\<#865A\>\<#90E8\>.

  \<#53CD\>\<#8FC7\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>
  <math|z<rsub|n>>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#90E8\>
  <math|x<rsub|n>>\<#548C\>\<#865A\>\<#90E8\>
  <math|y<rsub|n>>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5206\>\<#522B\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
  <math|x>\<#548C\> <math|y>,\<#8BB0\> <math|Z=x+i*y>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
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  <math|N>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#540E\>\<#7EED\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
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  <math|<around|\||x<rsub|n>-x|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#548C\>
  <math|<around|\||y<rsub|n>-y|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <around|\||z<rsub|n>-Z|\|>=<sqrt|<around|(|x<rsub|n>-x|)><rsup|2>+<around|(|y<rsub|n>-y|)><rsup|2>>\<less\><sqrt|2>*\<varepsilon\>
  </equation*>

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  <math|Z=x+i*y>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5F97\>\<#5230\>

  <\theorem>
    \<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\> <math|z<rsub|n>=x<rsub|n>+i*y<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#590D\>\<#6570\>
    <math|Z=x+i*y>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#90E8\>
    <math|x<rsub|n>>\<#548C\>\<#865A\>\<#90E8\>
    <math|y<rsub|n>>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5206\>\<#522B\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|x>\<#548C\> <math|y>.
  </theorem>

  <\example>
    \<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\> <math|z<rsub|n>=z<rsup|n><around|(|z\<in\>\<bbb-C\>,n\<in\>\<bbb-N\>|)>>\<#5F53\>
    <math|<around|\||z|\|>\<less\>1>\<#65F6\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>0\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4ECE\>\<#590D\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#52A0\>\<#4EE5\>\<#8003\>\<#5BDF\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|z<rsup|n>>\<#7684\>\<#6A21\>\<#957F\>\<#6309\>\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#6570\>\<#5217\>\<#51CF\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#8F90\>\<#89D2\>\<#5219\>\<#4EE5\>\<#7B49\>\<#5DEE\>\<#6570\>\<#5217\>\<#589E\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#6240\>\<#4EE3\>\<#8868\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#5217\>\<#5206\>\<#5E03\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#5217\>\<#534A\>\<#5F84\>\<#9010\>\<#6B21\>\<#51CF\>\<#5C0F\>\<#5E76\>\<#4EE5\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#4E3A\>\<#5706\>\<#5FC3\>\<#7684\>\<#540C\>\<#5FC3\>\<#5706\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#70B9\>\<#5728\>\<#5706\>\<#4E0A\>\<#5219\>\<#6309\>\<#65CB\>\<#8F6C\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#5F0F\>\<#5206\>\<#5E03\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#539F\>\<#70B9\>.
  </example>

  \<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6536\>\<#655B\>\<#4E5F\>\<#6709\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6CD5\>\<#5219\>

  <\theorem>
    \<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\> <math|z<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#80FD\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0B\>\<#6807\>
    <math|N>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#FF0C\>\<#540E\>\<#7EED\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#9879\>
    <math|z<rsub|m>>\<#3001\> <math|z<rsub|n>> \<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>
    <math|<around|\||z<rsub|n>-z<rsub|m>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>
  </theorem>

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  \<#548C\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#76F8\>\<#4EFF\>\<#FF0C\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#6709\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#548C\>\<#5DEE\>\<#79EF\>\<#5546\>\<#7684\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#3002\>\<#4F46\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#590D\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#4FDD\>\<#53F7\>\<#6027\>\<#4E0E\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6709\>\<#754C\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#7167\>\<#642C\>\<#5230\>\<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E0A\>\<#6765\>.

  \<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5957\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#590D\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#8FC7\>\<#9700\>\<#8981\>\<#628A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#6362\>\<#6210\>\<#95ED\>\<#77E9\>\<#5F62\>\<#5957\>\<#6216\>\<#8005\>\<#95ED\>\<#5706\>\<#5957\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#77E9\>\<#5F62\>\<#5957\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5206\>\<#522B\>\<#5BF9\>\<#5B9E\>\<#90E8\>\<#548C\>\<#865A\>\<#90E8\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5957\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#8BC1\>\<#660E\>.
  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#5706\>\<#5957\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#5706\>\<#7684\>\<#5185\>\<#63A5\>\<#6B63\>\<#65B9\>\<#5F62\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#77E9\>\<#5F62\>\<#5957\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E86\>\<#8BC1\>\<#660E\>.

  \<#4E0E\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#6709\>\<#590D\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6982\>\<#5FF5\>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|z<rsub|n>>\<#7684\>\<#524D\> <math|n>\<#9879\>
    <math|z<rsub|1>+z<rsub|2>+\<cdots\>+z<rsub|n>>\<#548C\>\<#5F53\>
    <math|n\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|Z>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>z<rsub|n>=z<rsub|1>+z<rsub|2>+\<cdots\>+>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|Z>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>z<rsub|n>=Z
    </equation*>
  </definition>

  <\example>
    \<#7531\>\<#6052\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      1+z+z<rsup|2>+\<cdots\>+z<rsup|n>=<frac|1-z<rsup|n+1>|1-z>
    </equation*>

    \<#53EF\>\<#77E5\>\<#FF0C\>\<#5F53\> <math|<around|\||z|\|>\<less\>1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>>z<rsup|n>=<frac|1|1-z>
    </equation*>
  </example>

  \<#590D\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#51C6\>\<#5219\>\<#5982\>\<#4E0B\>

  <\theorem>
    \<#590D\>\<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>z<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>,\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#4E0B\>\<#6807\>
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    <math|z<rsub|n>+z<rsub|n+1>+\<cdots\>+z<rsub|n+m><around|(|n\<gtr\>N,m\<in\>\<bbb-N\>|)>>\<#90FD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>

    <\equation*>
      <around|\||z<rsub|n>+z<rsub|n+1>+\<cdots\>+z<rsub|n+m>|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>
  </theorem>

  <section|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7EA7\>\<#6570\>><label|sec:positive-number-series>

  <subsection|\<#57FA\>\<#7840\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>><label|sec:base-of-positive-series>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#6570\>\<#FF08\>\<#6216\>\<#8005\>\<#5F53\>
  <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#6B63\>\<#53F7\>\<#FF09\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#7CFB\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5224\>\<#522B\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5224\>\<#65AD\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#3002\>

  \<#7279\>\<#522B\>\<#8BF4\>\<#660E\>: \<#672C\>\<#8282\>\<#7684\>\<#4E3B\>\<#8981\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9879\>\<#662F\>\<#975E\>\<#8D1F\>\<#7684\>\<#5C31\>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#540E\>\<#7EED\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#7684\>\<#65F6\>\<#5019\>\<#5C31\>\<#4E0D\>\<#518D\>\<#7279\>\<#522B\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#3002\>

  \<#7531\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#56DE\>\<#60F3\>\<#8D77\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6709\>\<#754C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#6709\>

  <\theorem>
    \<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6709\>\<#754C\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\example>
    \<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|2>>>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|k=1><rsup|n><frac|1|k<rsup|2>>\<less\>1+<big|sum><rsub|k=2><rsup|n><frac|1|k*<around|(|k-1|)>>=1+<big|sum><rsub|k=2><rsup|n><around*|(|<frac|1|k-1>-<frac|1|k>|)>=2-<frac|1|n>\<less\>2
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|2>>>\<#6536\>\<#655B\>.
  </example>

  <\example>
    \<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n*<around|(|n+1|)>>>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>
    <math|S<rsub|n>=1-<frac|1|n+1>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n!>>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>
    <math|S<rsub|n>=1+<frac|1|1!>+<frac|1|2!>+\<cdots\>+<frac|1|n!>>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\><reference|sec:a-import-sequence-limit>\<#4FBF\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#8FC7\>
    <math|S<rsub|n>\<less\>3>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <label|example:series-ln-1-plus-1-over-n-converage>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>ln
    <around*|(|1+<frac|1|n>|)>>\<#FF0C\>\<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\> <math|ln
    <around*|(|1+<frac|1|n>|)>=ln <around|(|n+1|)>-ln
    n>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>
    <math|S<rsub|n>=ln <around|(|n+1|)>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#65E0\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>><label|sec:compare-method-aboud-series-converage>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>

  <\theorem>
    <dueto|\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>><label|theorem:comparison-method-about-series-converage>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#548C\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n>\<leqslant\>b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#4FBF\>\<#80FD\>\<#63A8\>\<#5F97\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#53D1\>\<#6563\>\<#4FBF\>\<#80FD\>\<#63A8\>\<#5F97\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#7531\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E0B\>\<#6807\>
    <math|N>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n>\<leqslant\>b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#522B\>\<#7528\>
    <math|A<rsub|n>>\<#548C\> <math|B<rsub|n>>\<#8868\>\<#793A\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      A<rsub|n>=A<rsub|N>+<around|(|a<rsub|N+1>+\<cdots\>+a<rsub|n>|)>,B<rsub|n>=B<rsub|N>+<around|(|b<rsub|N+1>+\<cdots\>+b<rsub|n>|)>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\> <math|A<rsub|n>-A<rsub|N>\<leqslant\>B<rsub|n>-B<rsub|N>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|B<rsub|n>>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|A<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>\<#800C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>>\<#662F\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>
    <math|A<rsub|n>>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|B<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#6761\>\<#4EF6\>
  <math|a<rsub|n>\<leqslant\>b<rsub|n>>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6539\>\<#6210\>
  <math|a<rsub|n>\<leqslant\>\<lambda\>*b<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>
  <math|\<lambda\>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
  <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#8DDF\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
  <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>\<lambda\>*b<rsub|n>>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#3002\>

  <\example>
    \<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#7EA7\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|\<alpha\>>>
    </equation*>

    \<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|\<alpha\>\<gtr\>0>.

    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|\<alpha\>=1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|\<alpha\>=2>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6309\>\<#7167\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>
    <math|0\<less\>\<alpha\>\<less\>1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5F53\>
    <math|\<alpha\>\<gtr\>2>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#552F\>\<#6709\>
    <math|1\<less\>\<alpha\>\<less\>2>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#8FD8\>\<#4E0D\>\<#660E\>\<#786E\>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#800C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#79CD\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#4EFF\>\<#7167\>\<#524D\>\<#6587\>\<#5BF9\>\<#8C03\>\<#548C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5904\>\<#7406\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>

    <\align*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|1|3<rsup|\<alpha\>>+<frac|1|4<rsup|\<alpha\>>>>>|<cell|\<less\><frac|2|2<rsup|\<alpha\>>>>>|<row|<cell|<frac|1|5<rsup|\<alpha\>>>+<frac|1|6<rsup|\<alpha\>>>+<frac|1|7<rsup|\<alpha\>>>+<frac|1|8<rsup|\<alpha\>>>>|<cell|\<less\><frac|4|4<rsup|\<alpha\>>>>>|<row|<cell|...>|<cell|>>|<row|<cell|<frac|1|<around|(|2<rsup|n>+1|)><rsup|\<alpha\>>>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|2<rsup|n+1>|)><rsup|\<alpha\>>>>|<cell|\<less\><frac|2<rsup|n>|<around|(|2<rsup|n>|)><rsup|\<alpha\>>>>>>>
    </align*>

    \<#4F46\>\<#662F\>\<#7EA7\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|2<rsup|n>|<around|(|2<rsup|n>|)><rsup|\<alpha\>>>=<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|<around|(|2<rsup|\<alpha\>-1>|)><rsup|n>>
    </equation*>

    \<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#7EA7\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><around*|(|<frac|1|<around|(|2<rsup|n>+1|)><rsup|\<alpha\>>>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|2<rsup|n+1>|)><rsup|\<alpha\>>>|)>
    </equation*>

    \<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5373\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|\<alpha\>>>
    </equation*>

    \<#5728\> <math|1\<less\>\<alpha\>\<less\>2>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>.

    \<#6700\>\<#7EC8\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|0\<less\>\<alpha\>\<less\>1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|\<alpha\>\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>.
  </example>

  \<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5F62\>\<#5F0F\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#548C\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#7684\>\<#901A\>\<#9879\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>(\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6216\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7684\>\<#5747\>\<#53EF\>)

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|a<rsub|n>|b<rsub|n>>=K
    </equation*>

    \<#5219\>\<#5982\>\<#679C\> <math|K>\<#662F\>\<#6B63\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6536\>\<#655B\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|K=0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7531\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#53EF\>\<#63A8\>\<#5F97\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|K=+\<infty\>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#7531\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#53D1\>\<#6563\>\<#53EF\>\<#63A8\>\<#5F97\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\example>
    \<#8BBE\> <math|a<rsub|n>=<frac|1|n>>\<#FF0C\> <math|b<rsub|n>=ln
    <around*|(|1+<frac|1|n>|)>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|<frac|1|n>|ln
      <around*|(|1+<frac|1|n>|)>>=1
    </equation*>

    \<#77E5\>\<#9053\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6536\>\<#655B\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5728\><reference|example:series-ln-1-plus-1-over-n-converage>\<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#77E5\>\<#9053\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#662F\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#7684\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#7814\>\<#7A76\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#7684\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|s>>>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#3002\>

    \<#5982\>\<#679C\> <math|s=1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6210\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n>=1+<frac|1|2>+<frac|1|3>+\<cdots\>
    </equation*>

    \<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#7247\>\<#6BB5\>\<#548C\>\<#4F30\>\<#8BA1\>

    <\equation*>
      <frac|1|n+1>+<frac|1|n+2>+\<cdots\>+<frac|1|2*n>\<gtr\>n*\<cdots\>*<frac|1|2*n>=<frac|1|2>
    </equation*>

    \<#7247\>\<#65AD\>\<#548C\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#8FDD\>\<#53CD\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#51C6\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|s=1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>
    <math|s\<less\>1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#90FD\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#4F1A\>\<#66F4\>\<#5927\>\<#3002\>

    \<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|s\<gtr\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|1|<around|(|n+1|)><rsup|s>>+<frac|1|<around|(|n+2|)><rsup|s>>+\<cdots\>+<frac|1|<around|(|2*n|)><rsup|s>>\<less\>n\<cdot\><frac|1|n<rsup|s>>=<frac|1|n<rsup|s-1>>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#5206\>\<#6BB5\>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#6BB5\>\<#4EE5\>
    <math|2<rsup|k>+1>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>
    <math|2<rsup|k+1>>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#7ED3\>\<#5C3E\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|2<rsup|n>><frac|1|i<rsup|s>>=1+<big|sum><rsub|k=0><rsup|n><big|sum><rsub|i=1><rsup|2<rsup|k>><frac|1|<around|(|2<rsup|k>+i|)><rsup|s>>\<less\>1+<big|sum><rsub|k=0><rsup|n><frac|1|<around|(|2<rsup|k>|)><rsup|s-1>>=1+<big|sum><rsub|k=0><rsup|n><around*|(|<frac|1|2<rsup|s-1>>|)><rsup|k>
    </equation*>

    \<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\> <math|s\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#6700\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#516C\>\<#6BD4\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>1\<#7684\>\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>

    \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#548C\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>
    <math|s>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#8457\>\<#540D\>\<#7684\>
    <em|\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#51FD\>\<#6570\>>
    <math|\<zeta\><around|(|s|)>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|s\<gtr\>1>\<#FF0C\>

    <\equation*>
      \<zeta\><around|(|s|)>=<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|s>>
    </equation*>

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  </example>

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  <\theorem>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
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    <\equation*>
      <frac|a<rsub|n+1>|a<rsub|n>>\<leqslant\><frac|b<rsub|n+1>|b<rsub|n>>
    </equation*>

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    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#53D1\>\<#6563\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#63A8\>\<#51FA\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>b<rsub|n>>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#8BBE\>\<#4ECE\>
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    <\equation*>
      <frac|a<rsub|n>|a<rsub|N>>\<leqslant\><frac|b<rsub|n>|b<rsub|N>>
    </equation*>

    \<#7531\><reference|theorem:comparison-method-about-series-converage>\<#5373\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#5229\>\<#7528\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>\<#7ED9\>\<#5B9A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#5DF2\>\<#77E5\>\<#4E3A\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F00\>\<#53D1\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#7CFB\>\<#5217\>\<#66F4\>\<#5177\>\<#4F53\>\<#7684\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#4E0B\>\<#6587\>\<#7684\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5982\>\<#6B64\>\<#3002\>

  <subsection|\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#91CD\>\<#6392\>><label|sec:re-order-of-positive-series>

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  <\theorem>
    <label|commutativity-of-positive-series>\<#5982\>\<#679C\>\<#7EA7\>\<#6570\>
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  </theorem>

  <\proof>
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    <math|n>\<#9879\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E2D\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#82E5\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#524D\>
    <math|n>\<#9879\>\<#5728\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#6700\>\<#5927\>\<#503C\>\<#4E3A\>
    <math|m>( <math|m> \<#8DDF\> <math|n> \<#6709\>\<#5173\>\<#4E14\>
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    <math|B(\<leqslant\>A>).

    \<#518D\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#4F55\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#89C6\>\<#4E3A\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#91CD\>\<#6392\>\<#5F97\>\<#6765\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#9762\>\<#7684\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#4E92\>\<#6362\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4FBF\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>
    <math|A\<leqslant\>B>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6700\>\<#7EC8\>\<#53EA\>\<#80FD\>
    <math|A=B>.
  </proof>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#53D8\>\<#66F4\>\<#9879\>\<#7684\>\<#987A\>\<#5E8F\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5176\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#FF0C\>\<#548C\>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#53D8\>.
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  <subsection|\<#67EF\>\<#897F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#8FBE\>\<#6717\>\<#8D1D\>\<#5C14\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>><label|sec:cauchy-dalembert-method-aboud-series-converage>

  \<#56E0\>\<#4E3A\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#7EA7\>\<#6570\>
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  <\theorem>
    <dueto|\<#67EF\>\<#897F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
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    <\equation*>
      \<cal-C\><rsub|n>=<sqrt|a<rsub|n>|n>
    </equation*>

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  </theorem>

  <\proof>
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  </proof>

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  <\corollary>
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  </corollary>

  <\theorem>
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    <\equation*>
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    </equation*>

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  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#8BBE\>\<#5F53\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\>\<#FF0C\> <math|\<cal-D\><rsub|n>\<leqslant\>q>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>
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    <math|a<rsub|n>\<leqslant\>a<rsub|N>*q<rsup|n-N>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#5373\>\<#77E5\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>\<#800C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5F53\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\> <math|\<cal-D\><rsub|n>\<geqslant\>1>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|n>\<geqslant\>a<rsub|N>>\<#FF0C\>\<#901A\>\<#9879\>\<#4E0D\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#8FBE\>\<#6717\>\<#8D1D\>\<#5C14\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\ 

  <\corollary>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#8FBE\>\<#6717\>\<#8D1D\>\<#5C14\>\<#5E8F\>\<#5217\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> \<cal-D\><rsub|n>=q>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|0\<less\>q\<less\>q>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|q\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>
    <math|q=1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </corollary>

  \<#7531\>\<#8FBE\>\<#6717\>\<#8D1D\>\<#5C14\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#51FA\>\<#53D1\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5B83\>\<#4E5F\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#7531\>
  <math|a<rsub|n>\<leqslant\>a<rsub|N>*q<rsup|n-N>>\<#53EF\>\<#5F97\>
  <math|<sqrt|a<rsub|n>|n>\<leqslant\>q<sqrt|a<rsub|N>/q<rsup|N>|n>>\<#FF0C\>\<#540E\>\<#4E00\>\<#6839\>\<#5F0F\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>1\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5F53\>
  <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#5B83\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
  <math|q<sqrt|a<rsub|N>/q<rsup|N>|n>\<less\>q<rprime|'>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
  <math|q<rprime|'>>\<#662F\>\<#6BD4\> <math|q>\<#7A0D\>\<#5927\>\<#4E9B\>\<#4F46\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>1\<#7684\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#80FD\>\<#7528\>\<#8FBE\>\<#6717\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#5224\>\<#65AD\>\<#4E3A\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#80FD\>\<#7528\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#6765\>\<#5224\>\<#522B\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#80FD\>\<#6709\>\<#8FBE\>\<#6717\>\<#8D1D\>\<#5C14\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#6765\>\<#5F97\>\<#65B9\>\<#4FBF\>\<#3002\>

  <subsection|\<#62C9\>\<#963F\>\<#4F2F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>><label|sec:raabe-method-about-positive-series>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#77E5\>\<#7EA7\>\<#6570\>
  <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|s>>>\<#5728\>
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  <math|s\<leqslant\>1>\<#65F6\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#7ED9\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#62C9\>\<#963F\>\<#4F2F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#3002\>

  <\theorem>
    <dueto|\<#62C9\>\<#963F\>\<#4F2F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#62C9\>\<#963F\>\<#4F2F\>\<#5E8F\>\<#5217\>

    <\equation*>
      \<cal-R\><rsub|n>=n*<around*|(|<frac|a<rsub|n>|a<rsub|n+1>>-1|)>
    </equation*>

    \<#5982\>\<#679C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5E38\>\<#6570\>
    <math|r\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|\<cal-R\><rsub|n>\<geqslant\>r>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|\<cal-R\><rsub|n>\<leqslant\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#5F53\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|\<cal-R\><rsub|n>\<geqslant\>r>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|a<rsub|n+1>|a<rsub|n>>\<leqslant\><frac|n|n+r>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#7684\>\<#5206\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|s\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|n|n+r>\<leqslant\><around*|(|<frac|n|n+1>|)><rsup|s>
    </equation*>

    \<#8FD9\> <math|s>\<#53EA\>\<#8981\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4E0B\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      s\<leqslant\><frac|ln <around*|(|1+<frac|r|n>|)>|ln
      <around*|(|1+<frac|1|n>|)>>
    </equation*>

    \<#501F\>\<#7531\>\<#5F53\> <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#7684\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>
    <math|ln <around|(|1+x|)>\<sim\>x>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#4EE5\>
    <math|r>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|r\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53D6\>
    <math|1\<less\>s\<less\>r>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#4FBF\>\<#80FD\>\<#6052\>\<#5927\>\<#4E8E\>
    <math|s>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <frac|a<rsub|n+1>|a<rsub|n>>\<leqslant\><around*|(|<frac|n|n+1>|)><rsup|s>
    </equation*>

    \<#4FBF\>\<#80FD\>\<#5728\> <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|s>>>\<#5728\>
    <math|s\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#6536\>\<#655B\>\<#77E5\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>

    \<#5982\>\<#679C\>\<#5F53\> <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>
    <math|\<cal-R\><rsub|n>\<leqslant\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6B64\>\<#65F6\>

    <\equation*>
      <frac|a<rsub|n+1>|a<rsub|n>>\<geqslant\><frac|n|n+1>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n>>\<#7684\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#77E5\>\<#539F\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#62C9\>\<#963F\>\<#4F2F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#662F\>\ 

  <\corollary>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#62C9\>\<#963F\>\<#4F2F\>\<#5E8F\>\<#5217\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> \<cal-R\><rsub|n>=R>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|R\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>
    <math|R\<less\>1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>
    <math|R=1>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </corollary>

  <subsection|\<#5E93\>\<#9ED8\>\<#5C14\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>><label|sec:kummer-method-about-series-converage>

  \<#5E93\>\<#9ED8\>\<#5C14\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6CDB\>\<#578B\>\<#5316\>\<#7684\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5B83\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6784\>\<#9020\>\<#4E00\>\<#7CFB\>\<#5217\>\<#5177\>\<#4F53\>\<#7684\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#5305\>\<#62EC\>\<#8FBE\>\<#6717\>\<#8D1D\>\<#5C14\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#62C9\>\<#963F\>\<#4F2F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#3002\>

  <\theorem>
    <dueto|\<#5E93\>\<#9ED8\>\<#5C14\>(Kummer)\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#9009\>\<#53D6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E8F\>\<#5217\>
    <math|c<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|c<rsub|n>>>\<#662F\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#5E93\>\<#9ED8\>\<#5C14\>\<#5E8F\>\<#5217\>

    <\equation*>
      \<cal-K\><rsub|n>=c<rsub|n>\<cdot\><frac|a<rsub|n>|a<rsub|n+1>>-c<rsub|n+1>
    </equation*>

    \<#5982\>\<#679C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#5E38\>\<#6570\>
    <math|r>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|\<cal-K\><rsub|n>\<geqslant\>r>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5F53\>
    <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|\<cal-K\><rsub|n>\<leqslant\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5982\>\<#679C\>\<#5F53\>
    <math|n\<geqslant\>N>\<#65F6\>\<#6709\>
    <math|\<cal-K\><rsub|n>\<geqslant\>r\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#6709\>
    <math|c<rsub|n>*a<rsub|n>-c<rsub|n+1>*a<rsub|n+1>\<geqslant\>r*a<rsub|n+1>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|c<rsub|n>*a<rsub|n>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#5B83\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8FDB\>\<#800C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      c<rsub|N>*a<rsub|N>-c<rsub|n+1>*a<rsub|n+1>=<big|sum><rsub|i=N><rsup|n><around|(|c<rsub|i>*a<rsub|i>-c<rsub|i+1>*a<rsub|i+1>|)>\<geqslant\>r*<big|sum><rsub|i=N><rsup|n>a<rsub|i+1>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#4E8E\> <math|c<rsub|n>*a<rsub|n>>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#6B63\>\<#9879\>(\<#81F3\>\<#5C11\>\<#4ECE\>
    <math|N>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#4E3A\>\<#6B63\>)\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><around|(|c<rsub|n>*a<rsub|n>-c<rsub|n+1>*a<rsub|n+1>|)>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#7531\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#4ECE\>\<#8FD9\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#6761\>\<#4EF6\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|c<rsub|n>>>\<#53D1\>\<#6563\>\<#5E76\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#7528\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#8FD9\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#5728\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#540E\>\<#4E00\>\<#534A\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#65F6\>\<#4F1A\>\<#7528\>\<#5230\>\<#3002\>

    \<#5982\>\<#679C\>\<#5F53\> <math|n>\<#5145\>\<#5206\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|\<cal-K\><rsub|n>\<leqslant\>0>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|a<rsub|n+1>|a<rsub|n>>\<leqslant\><frac|<frac|1|c<rsub|n>>|<frac|1|c<rsub|n+1>>>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|c<rsub|n>>>\<#7684\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#77E5\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#5728\>\<#5E93\>\<#9ED8\>\<#5C14\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#53D6\>
  <math|c<rsub|n>=1>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#8FBE\>\<#6717\>\<#8D1D\>\<#5C14\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#53D6\>
  <math|c<rsub|n>=n>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#62C9\>\<#963F\>\<#4F2F\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#3002\>

  \<#5E93\>\<#9ED8\>\<#5C14\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#662F\>

  <\theorem>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#53CA\>\<#9009\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#5E8F\>\<#5217\>
    <math|c<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5E93\>\<#9ED8\>\<#5C14\>\<#5E8F\>\<#5217\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> \<cal-K\><rsub|n>=K>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|K\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|K\<less\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|K=0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#3002\>
  </theorem>

  <subsection|\<#79EF\>\<#5206\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>><label|sec:the-integrate-method-of-determination-number-series>

  \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5229\>\<#7528\>\<#53CD\>\<#5E38\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#6765\>\<#5224\>\<#522B\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#655B\>\<#6563\>\<#6027\>.

  <\theorem>
    <dueto|\<#79EF\>\<#5206\>\<#5224\>\<#522B\>\<#6CD5\>>\<#82E5\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|<around|[|0,+\<infty\>|)>>\<#4E0A\>\<#6052\>\<#53D6\>\<#975E\>\<#8D1F\>\<#503C\>\<#4E14\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53CD\>\<#5E38\>\<#79EF\>\<#5206\>
    <math|<big|int><rsub|0><rsup|+\<infty\>>f<around|(|x|)>*d*x>\<#4E0E\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>f<around|(|n|)>>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#655B\>\<#6563\>\<#6027\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#4EE4\> <math|S<rsub|n>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|i|)>>\<#FF0C\>
    <math|I<rsub|n>=<big|int><rsub|0><rsup|n>f<around|(|x|)>*d*x>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|S<rsub|n>>\<#548C\> <math|I<rsub|n>>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#53C8\>

    <\equation*>
      I<rsub|n>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><big|int><rsub|i-1><rsup|i>f<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>

    \<#7531\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|i|)>\<leqslant\>I<rsub|n>\<leqslant\><big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f*<around|(|i-1|)>
    </equation*>

    \<#5373\>

    <\equation*>
      S<rsub|n>\<leqslant\>I<rsub|n>\<leqslant\>f<around|(|0|)>+S<rsub|n-1>
    </equation*>

    \<#53EF\>\<#89C1\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>f<around|(|n|)>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|S<rsub|n>>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\> <math|S>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|I<rsub|n>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#5E76\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>
    <math|f<around|(|0|)>+S>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>
    <math|I<rsub|n>>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>(\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#662F\>
    <math|S>)\<#FF0C\>\<#5373\>\<#53CD\>\<#5E38\>\<#79EF\>\<#5206\>
    <math|<big|int><rsub|i=1><rsup|+\<infty\>>f<around|(|x|)>*d*x>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>\<#53CD\>\<#4E4B\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#53CD\>\<#5E38\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|I<rsub|n>>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|I>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\> <math|S<rsub|n>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#5E76\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>
    <math|I>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\> <math|S<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|i=1><rsup|\<infty\>>f<around|(|n|)>>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#9700\>\<#8981\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#7684\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#95ED\>\<#53F3\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
  <math|<around|[|a,+\<infty\>|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#4ECE\>\<#5927\>\<#4E8E\>
  <math|a>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#5F00\>\<#59CB\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#51FA\>\<#8FD9\>\<#5E76\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#4EC0\>\<#4E48\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#3002\>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|p>,\<#8003\>\<#8651\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#7EA7\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n<rsup|p>>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=1/x<rsup|p>>\<#5728\>
    <math|<around|[|1/2,+\<infty\>|)>>\<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|p\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#53CD\>\<#5E38\>\<#79EF\>\<#5206\>
    <math|<big|int><rsub|1><rsup|+\<infty\>>f<around|(|x|)>*d*x>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|p\<leqslant\>1>\<#65F6\>\<#53CD\>\<#5E38\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#662F\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#7684\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#4EA4\>\<#9519\>\<#7EA7\>\<#6570\>><label|sec:alternating-sign-series>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#5E8F\>\<#5217\> <math|<around|{|a<rsub|n>|}>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#76F8\>\<#90BB\>\<#4E24\>\<#9879\>\<#7684\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#90FD\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#5E8F\>\<#5217\>\<#4EA4\>\<#9519\>\<#7684\>\<#53D6\>\<#6B63\>\<#503C\>\<#548C\>\<#8D1F\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#5176\>\<#4E3A\><em|\<#4EA4\>\<#9519\>\<#5E8F\>\<#5217\>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|i=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#4E3A\><em|\<#4EA4\>\<#9519\>\<#7EA7\>\<#6570\>>.
  </definition>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EA4\>\<#9519\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#6570\>\<#5217\> <math|<around|{|a<rsub|n>|}><around|(|n=0,1,\<ldots\>|)>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#5E76\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|i=0><rsup|\<infty\>><around|(|-1|)><rsup|n>*a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|i=0><rsup|\<infty\>><around|(|-1|)><rsup|n-1>*a<rsub|n>>\<#4E0E\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|i=0><rsup|n><around|(|-1|)><rsup|n>*a<rsub|n>>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#6027\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#65B9\>\<#4FBF\>\<#800C\>\<#8BA9\>\<#9996\>\<#9879\>
    <math|a<rsub|0>>\<#7684\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#7684\>\<#3002\>

    \<#4F5C\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>
    <math|S<rsub|n>=a<rsub|0>-a<rsub|1>+a<rsub|2>-\<cdots\>+<around|(|-1|)><rsup|n>*a<rsub|n>>,\<#663E\>\<#7136\>

    <\equation*>
      S<rsub|2*n+1>=<around|(|a<rsub|0>-a<rsub|1>|)>+<around|(|a<rsub|2>-a<rsub|3>|)>+\<cdots\>+<around|(|a<rsub|2*n>-a<rsub|2*n+1>|)>
    </equation*>

    \<#7531\> <math|<around|{|a<rsub|n>|}>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#53EF\>\<#77E5\>
    <math|S<rsub|2*n+1>>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#9879\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>

    <\equation*>
      S<rsub|2*n+1>=a<rsub|0>-<around|(|a<rsub|1>-a<rsub|2>|)>-<around|(|a<rsub|3>-a<rsub|4>|)>-\<cdots\>-<around|(|a<rsub|2*n-1>-a<rsub|2*n>|)>-a<rsub|2*n+1>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#5C31\>\<#6709\> <math|S<rsub|2*n+1>\<less\>a<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|S<rsub|2*n+1>>\<#53C8\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|S<rsub|2*n+1>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#51FA\>
    <math|S<rsub|2*n>>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#7531\>
    <math|S<rsub|2*n+1>=S<rsub|2*n>+a<rsub|2*n+1>>\<#53CA\>
    <math|a<rsub|n>\<to\>0*<around|(|n\<to\>\<infty\>|)>>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#5217\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|i=0><rsup|\<infty\>><around|(|-1|)><rsup|n>*a<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#6536\>\<#655B\>><label|sec:abs-converage-series-and-its-properties>

  <\definition>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5404\>\<#9879\>\<#7684\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#503C\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#800C\>\<#5F97\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><around|\||a<rsub|n>|\|>>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#539F\>\<#6765\>\<#7684\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#662F\>
    <em|\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#6536\>\<#655B\>> \<#7684\>.
  </definition>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#7531\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#51C6\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|N>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#548C\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|m>\<#6210\>\<#7ACB\>

    <\equation*>
      <around|\||a<rsub|n+1>|\|>+<around|\||a<rsub|n+2>|\|>+\<cdots\>+<around|\||a<rsub|n+m>|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#4E5F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|\||a<rsub|n+1>+a<rsub|n+2>+\<cdots\>+a<rsub|n+m>|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#539F\>\<#6765\>\<#7684\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#5E76\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#4EA4\>\<#9519\>\<#7EA7\>\<#6570\>
  <math|<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><around|(|-1|)><rsup|n-1><frac|1|n>>\<#3002\>

  \<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#63D0\>\<#793A\>\<#4E86\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#5E38\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#9879\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#91CD\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#540E\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5176\>\<#548C\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <math|P-Q>.

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    <math|P>\<#4E0E\> <math|Q>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#91CD\>\<#6392\>\<#540E\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#548C\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#4F1A\>\<#662F\>
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  </proof>

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  <\definition>
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    <em|\<#6761\>\<#4EF6\>\<#6536\>\<#655B\>>.
  </definition>

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  <\theorem>
    <dueto|\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#9879\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#9002\>\<#5F53\>\<#7684\>\<#91CD\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4F7F\>\<#65B0\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#9884\>\<#5148\>\<#6307\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#3002\>
  </theorem>

  <subsection|\<#5E42\>\<#7EA7\>\<#6570\>><label|sec:power-series>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\theorem>
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    <math|<around|\||x|\|>\<less\><around|\||x<rsub|0>|\|>> \<#7684\>
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    <math|<around|\||x|\|>\<gtr\><around|\||x<rsub|0>|\|>>\<#7684\> <math|x>
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  </theorem>

  <\proof>
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    <math|<around|\||x|\|>\<less\><around|\||x<rsub|0>|\|>>\<#7684\> <math|x>
    \<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|\||a<rsub|n>*x<rsup|n>|\|>=<around|\||a<rsub|n>*x<rsub|0><rsup|n>|\|>\<cdot\><around*|\||<frac|x|x<rsub|0>>|\|><rsup|n>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#4E8E\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#77E5\>
    <math|a<rsub|n>*x<rsub|0><rsup|n>\<to\>0*<around|(|n\<to\>\<infty\>|)>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|a<rsub|n>*x<rsub|0><rsup|n>> \<#662F\>\<#6709\>\<#754C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|<around|\||a<rsub|n>*x<rsub|0><rsup|n>|\|>\<leqslant\>M>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|q=<around*|\||<frac|x|x<rsub|0>>|\|>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>

    <\equation*>
      <around|\||a<rsub|n>*x<rsup|n>|\|>\<less\>M*q<rsup|n>
    </equation*>

    \<#800C\>\<#7EA7\>\<#6570\> <math|<big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>>M*q<rsup|n>>
    \<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6545\>\<#800C\>\<#7EA7\>\<#6570\>
    <math|<big|sum><rsub|n=0><rsup|n><around|\||a<rsub|n>*x<rsup|n>|\|>>
    \<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#524D\>\<#534A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#83B7\>\<#8BC1\>.

    \<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#540E\>\<#534A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#89C6\>\<#524D\>\<#534A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#7684\>\<#63A8\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5982\>\<#679C\>\<#8FD9\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>> \<#5904\>\<#53D1\>\<#6563\>\<#800C\>\<#5728\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#503C\>\<#66F4\>\<#5927\>\<#7684\>
    <math|x> \<#5904\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#4E0E\>\<#524D\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#662F\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#7684\>.
  </proof>

  \<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#663E\>\<#793A\>\<#80FD\>\<#4F7F\>\<#5E42\>\<#7EA7\>\<#6570\>
  <math|<big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>>a<rsub|n>*x<rsup|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>
  <math|x> \<#7684\>\<#53D6\>\<#503C\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#4EE5\>
  <math|0>\<#4E3A\>\<#4E2D\>\<#5FC3\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>(\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5F00\>\<#95ED\>\<#6682\>\<#4E0D\>\<#6E05\>\<#695A\>)\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#8FD9\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#534A\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#8FD9\>\<#5E42\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>
  <em|\<#6536\>\<#655B\>\<#534A\>\<#5F84\>>.

  \;

  <section|\<#5EA6\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#53CA\>\<#5176\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#3001\>\<#6D4B\>\<#5EA6\>>

  <subsection|\<#5EA6\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>

  <subsection|\<#6D4B\>\<#5EA6\>>

  <section|\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>><label|sec:limit-of-function>

  <subsection|\<#8D8B\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>><label|sec:limit-of-function-at-infinite-point>

  \<#4E0E\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#6709\>\<#6240\>\<#533A\>\<#522B\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#5927\>\<#7C7B\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#662F\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#6216\>\<#8005\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#662F\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>

  <\definition>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|a,+\<infty\>|)>>\<#4E0A\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>
    <math|A>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#603B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|X(\<gtr\>a)>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|x\<gtr\>X>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||f<around|(|x|)>-A|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#6570\>
    <math|A>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>
    <math|x>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#7684\>
    <em|\<#6781\>\<#9650\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>:

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>\<infty\>> f<around|(|x|)>=A
    </equation*>
  </definition>

  \<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5F53\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5F53\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#548C\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#6781\>\<#9650\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5F53\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4ECE\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#503C\>\<#6765\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#800C\>\<#4E0D\>\<#8003\>\<#8651\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#3002\>

  <subsection|\<#8D8B\>\<#70B9\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#5355\>\<#4FA7\>\<#6781\>\<#9650\>><label|sec:limit-of-function-at-point>

  \<#5F53\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5982\>\<#4E0B\>:

  <\definition>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>
    <math|A>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#603B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#4E2D\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|0\<less\><around|\||x-x<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#7684\>\<#6570\>
    <math|x>\<#6052\>\<#6709\> <math|<around|\||f<around|(|x|)>-A|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>
    <math|A>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5F53\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|x<rsub|0>>\<#65F6\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> f<around|(|x|)>=A
    </equation*>
  </definition>

  \<#8981\>\<#6307\>\<#51FA\>\<#7684\>\<#662F\>\<#FF0C\>1.
  \<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#4E86\>
  <math|x\<neq\>x<rsub|0>>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0E\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#662F\>\<#5426\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#65E0\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#5173\>\<#7CFB\>.
  2. \<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
  <math|x<rsub|0>>\<#65F6\>\<#5373\>\<#4F7F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>\<#4E5F\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#7B49\>\<#4E8E\>
  <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#4E5F\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#3002\>

  \<#8003\>\<#8651\>\<#5230\> <math|x>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
  <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#65B9\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4ECE\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
  <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4FA7\>\<#53BB\>\<#9760\>\<#8FD1\>\<#5B83\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4ECE\>\<#5927\>\<#4E8E\>
  <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4FA7\>\<#53BB\>\<#9760\>\<#8FD1\>\<#5B83\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#65F6\>\<#800C\>\<#5728\>\<#5927\>\<#4E8E\>
  <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4FA7\>\<#FF0C\>\<#65F6\>\<#800C\>\<#4F4D\>\<#4E8E\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
  <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4FA7\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#5F0F\>\<#53BB\>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#5B83\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#7ED9\>\<#51FA\>
  <em|\<#5355\>\<#4FA7\>\<#6781\>\<#9650\>>
  \<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#3002\>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#53F3\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>
    <math|A>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|x<rsub|0>\<less\>x\<less\>x<rsub|0>+\<delta\>>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||f<around|(|x|)>-A|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>
    <math|A>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\> <em|\<#53F3\>\<#6781\>\<#9650\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>> f<around|(|x|)>=A
    </equation*>
  </definition>

  \<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#53F3\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#6539\>\<#4E3A\>\<#5DE6\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
  <math|x<rsub|0>\<less\>x\<less\>x<rsub|0>+\<delta\>>\<#6362\>\<#6210\>
  <math|x<rsub|0>-\<delta\>\<less\>x\<less\>x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>
  <em|\<#5DE6\>\<#6781\>\<#9650\>> \<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5DE6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>:

  <\equation*>
    lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|->> f<around|(|x|)>=A
  </equation*>

  \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\> <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
  f<around|(|x|)>=A>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>
  <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>>
  f<around|(|x|)>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|->> f<around|(|x|)>=A>.

  <\example>
    <label|example:limit-of-x-power-integer>\<#8BBE\>
    <math|n\<in\>\<bbb-Z\>>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> x<rsup|n>=x<rsub|0><rsup|n>
    </equation*>

    \<#7531\>

    <\equation*>
      x<rsup|n>-x<rsub|0><rsup|n>=<around|(|x-x<rsub|0>|)>*<around|(|x<rsup|n-1>+x<rsup|n-2>*x<rsub|0>+\<cdots\>+x*x<rsub|0><rsup|n-2>+x<rsub|0><rsup|n-1>|)>
    </equation*>

    \<#9650\>\<#5B9A\> <math|x\<in\><around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#FF0C\>\<#4EE4\>
    <math|M=max <around|{|<around|\||x<rsub|0>-\<delta\>|\|>,<around|\||x<rsub|0>+\<delta\>|\|>|}>>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      <around|\||x<rsup|n>-x<rsub|0><rsup|n>|\|>\<less\>n*M<rsup|n-1>*<around|\||x-x<rsub|0>|\|>
    </equation*>

    \<#6CE8\>\<#610F\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#7684\>
    <math|n*M<rsup|n-1>>\<#662F\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>
    <math|P>\<#8868\>\<#4E4B\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#53D6\>
    <math|\<delta\>=<frac|\<varepsilon\>|P>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
    <math|<around|\||f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|x\<in\><around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>|)>\<cup\><around|(|x<rsub|0>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#6052\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-sin-1-over-x-at-0>\<#8003\>\<#8651\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=sin <frac|1|x>>\<#5728\>
    <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>-1\<#4E0E\>1\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#5B8C\>\<#6210\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#6B21\>\<#632F\>\<#52A8\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#9760\>\<#8FD1\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#5728\>
    <math|x=0>\<#5904\>\<#4E0D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>.\<#4F46\>\<#82E5\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#7A0D\>\<#52A0\>\<#6539\>\<#9020\>\<#FF0C\>\<#8003\>\<#8651\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=x*sin <frac|1|x>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#5C06\>\<#88AB\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#5728\>
    <math|y=x>\<#548C\> <math|y=-x>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#9760\>\<#8FD1\>\<#96F6\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#632F\>\<#52A8\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>
    <math|<around|\||x*sin <frac|1|x>|\|>\<leqslant\><around|\||x|\|>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
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    </equation*>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-dirichlet-function>\<#72C4\>\<#5229\>\<#514B\>\<#96F7\>(Dirichlet\<#FF0C\>\<#5FB7\>\<#56FD\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5BB6\>)\<#51FD\>\<#6570\>
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    <math|x>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>
    <math|D<around|(|x|)>=1>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>
    <math|D<around|(|x|)>=0>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      D<around|(|x|)>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|x\<in\>\<bbb-Q\>>>|<row|<cell|0>|<cell|x\<in\>\<bbb-R\>-\<bbb-Q\>>>>>>
    </equation*>

    \<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|x<rsub|0>\<in\>\<bbb-R\>>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#53D6\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#5E76\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|x<rsub|0>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>1\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#53D6\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|x<rsub|0>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#90FD\>\<#4E0D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <label|example:single-limits-of-gausse-function>\<#9AD8\>\<#65AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#53D6\>\<#6574\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#901A\>\<#5E38\>\<#7528\>\<#4E13\>\<#95E8\>\<#7684\>\<#8BB0\>\<#53F7\>
    <math|<around|[|x|]>>\<#6765\>\<#8868\>\<#793A\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6570\>\<#8BBA\>\<#4E2D\>\<#6709\>\<#7740\>\<#5E7F\>\<#6CDB\>\<#7684\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#662F\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|x>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#6574\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4F8B\>\<#5982\>\<#FF0C\>
    <math|<around|[|2.3|]>=2>, <math|<around|[|\<pi\>|]>=3>,
    <math|<around|[|-4.5|]>=-5>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#8003\>\<#8651\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#9AD8\>\<#65AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#53D6\>\<#6574\>\<#6570\>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#3002\>

    \<#8BBE\> <math|x<rsub|0>\<in\>\<bbb-Z\>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-1,x<rsub|0>+1|)>>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#90BB\>\<#57DF\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>,x<rsub|0>+1|)>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#90FD\>\<#662F\>
    <math|x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5DE6\>\<#90BB\>\<#57DF\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-1,x<rsub|0>|)>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#90FD\>\<#662F\>
    <math|x<rsub|0>-1>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>><around|[|x|]>=x<rsub|0>,lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|->><around|[|x|]>=x<rsub|0>-1
    </equation*>

    \<#4F46\>\<#662F\> <math|lim <rsub|x\<to\>x<rsub|0>><around|[|x|]>>\<#4E0D\>\<#5B58\>\<#5728\>.
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-riemann-function>\<#9ECE\>\<#66FC\>(Riemann\<#FF0C\>\<#5FB7\>\<#56FD\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5BB6\>)\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|R<around|(|x|)>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#8DA3\>\<#7684\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|0,1|]>>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#5177\>\<#4F53\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>

    <\equation*>
      R<around|(|x|)>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|<frac|1|q>>|<cell|x=<frac|p|q>\<in\><around|[|0,1|]>,p,q\<in\>\<bbb-Z\>,q\<gtr\>0,<around|(|p,q|)>=1>>|<row|<cell|0>|<cell|x\<in\><around|[|0,1|]>-\<bbb-Q\>>>>>>
    </equation*>

    \<#7B80\>\<#5355\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|<frac|p|q>>\<#65F6\>\<#FF0C\> <math|R<around|(|x|)>=<frac|1|q>>\<#FF0C\>\<#6CE8\>\<#610F\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|p>\<#3001\> <math|q>\<#662F\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#65E2\>\<#7EA6\>\<#6574\>\<#6570\>\<#FF08\>\<#5373\>\<#6700\>\<#5927\>\<#516C\>\<#56E0\>\<#6570\>\<#4E3A\>1\<#FF09\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|q>\<#662F\>\<#6B63\>\<#7684\>\<#3002\>\<#800C\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>
    <math|R<around|(|x|)>=0>.

    \<#9ECE\>\<#66FC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#6210\>\<#662F\>\<#72C4\>\<#5229\>\<#514B\>\<#96F7\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6539\>\<#8FDB\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#3002\>

    \<#4EFB\>\<#53D6\>\<#6570\> <math|x<rsub|0>\<in\><around|[|0,1|]>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|lim <rsub|x\<to\>x<rsub|0>>R<around|(|x|)>=0>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8981\>\<#627E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|\<forall\>x\<in\><around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>|)>\<cup\><around|(|x<rsub|0>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#90FD\>\<#6709\>
    <math|<around|\||R<around|(|x|)>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7D27\>\<#8981\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>
    <math|\<delta\>>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#7531\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6765\>\<#51B3\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|<frac|p|q>*<around|(|q\<gtr\>0|)>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8981\>\<#4F7F\>

    <\equation*>
      <frac|1|q>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BA9\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>|)>\<cup\><around|(|x<rsub|0>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|<frac|p|q>>\<#90FD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|q\<gtr\><frac|1|\<varepsilon\>>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#80FD\>\<#5426\>\<#505A\>\<#5230\>\<#5462\>\<#FF1F\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#4E0D\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>\<#FF08\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|<frac|1|\<varepsilon\>>>\<#7684\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|q>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>
    <math|q>\<#7684\>\<#975E\>\<#8D1F\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|p>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>\<#FF09\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#628A\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|m>>(\<#6CE8\>\<#610F\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#7684\>
    <math|m>\<#8DDF\> <math|\<varepsilon\>>\<#6709\>\<#5173\>)\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BA9\>
    <math|\<delta\>>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|\<delta\>\<less\><around|\||x<rsub|i>-x<rsub|0>|\|>*<around|(|i=1,2,\<ldots\>,m|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#843D\>\<#5728\>\<#8303\>\<#56F4\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>|)>\<cup\><around|(|x<rsub|0>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#5185\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#524D\>\<#9762\>\<#6240\>\<#9700\>\<#8981\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>><label|sec:properties-of-function-limit>

  \<#4E0E\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#76F8\>\<#4EFF\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5177\>\<#6709\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#90FD\>\<#4EE5\>
  <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#4E3A\>\<#4F8B\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#65F6\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#5C31\>\<#7701\>\<#53BB\>\<#4E86\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#3002\>

  <\proposition>
    \<#552F\>\<#4E00\>\<#6027\>
  <|proposition>
    \ \<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\> <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
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  </proposition>

  <\theorem>
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    <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> f<around|(|x|)>>\<#5B58\>\<#5728\>(\<#975E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7684\>\<#6709\>\<#9650\>\<#503C\>)\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#754C\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\theorem>
    <dueto|\<#5C40\>\<#90E8\>\<#4FDD\>\<#53F7\>\<#6027\>>\<#82E5\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E3A\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|r\<less\>A>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|x|)>\<gtr\>r>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|r\<gtr\>A>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|x|)>\<less\>r>.
  </theorem>

  <\theorem>
    <dueto|\<#4FDD\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#6027\>>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\> <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#4E0A\>\<#6052\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|f<around|(|x|)>\<geqslant\>g<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5F53\>
    <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#65F6\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5206\>\<#522B\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|A>\<#548C\> <math|B>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|A\<geqslant\>B>.
  </theorem>

  <\theorem>
    <dueto|\<#5939\>\<#903C\>\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#3001\> <math|g<around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|h<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6052\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|f<around|(|x|)>\<leqslant\>h<around|(|x|)>\<leqslant\>g<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5F53\>
    <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#65F6\> <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8FD9\>\<#65F6\>
    <math|h<around|(|x|)>>\<#4E5F\>\<#5FC5\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|A>.
  </theorem>

  <\theorem>
    <dueto|\<#56DB\>\<#5219\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#6CD5\>\<#5219\>>\<#5982\>\<#679C\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\> <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#65F6\>\<#5206\>\<#522B\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|A>\<#548C\> <math|B>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8FD9\>\<#7531\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#548C\>\<#3001\>\<#5DEE\>\<#3001\>\<#79EF\>\<#3001\>\<#5546\>\<#4F5C\>\<#6210\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#5206\>\<#522B\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#539F\>\<#5148\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>\<#548C\>\<#548C\>\<#3001\>\<#5DEE\>\<#3001\>\<#79EF\>\<#3001\>\<#5546\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5546\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#4E0D\>\<#4E3A\>\<#96F6\>.
  </theorem>

  \<#5199\>\<#6210\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5728\>
  <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> f<around|(|x|)>>\<#548C\>
  <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7684\>\<#524D\>\<#63D0\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>><around|(|f<around|(|x|)>\<pm\>g<around|(|x|)>|)>>|<cell|=>|<cell|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    f<around|(|x|)>\<pm\>lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    g<around|(|x|)>>>|<row|<cell|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>>|<cell|=>|<cell|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    f<around|(|x|)>\<cdot\>lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    g<around|(|x|)>>>|<row|<cell|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    <frac|f<around|(|x|)>|g<around|(|x|)>>>|<cell|=>|<cell|<frac|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    f<around|(|x|)>|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> g<around|(|x|)>>>>>>
  </eqnarray*>

  <\example>
    <label|example:limit-of-polynome-when-x-to-infty>\<#8BBE\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=a<rsub|n>*x<rsup|n>+a<rsub|n-1>*x<rsup|n-1>+\<cdots\>+a<rsub|1>*x+a<rsub|0>*<around|(|a<rsub|n>\<neq\>0|)>
    </equation*>

    \<#73B0\>\<#5728\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5F53\>
    <math|x\<to\>\<infty\>>\<#3001\> <math|x\<to\>+\<infty\>>\<#3001\>
    <math|x\<to\>-\<infty\>>\<#65F6\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#662F\>\<#54EA\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#8D8B\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>
    <math|<around|\||x|\|>\<to\>\<infty\>>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#6B64\>\<#5C06\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#6539\>\<#5199\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=x<rsup|n>*<around*|(|a<rsub|n>+<frac|a<rsub|n-1>|x>+\<cdots\>+<frac|a<rsub|1>|x<rsup|n-1>>+<frac|a<rsub|0>|x<rsup|n>>|)>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#5F53\> <math|<around|\||x|\|>\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#62EC\>\<#53F7\>\<#4E2D\>\<#5E26\>\<#5206\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#9879\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#53D6\>\<#51B3\>\<#4E8E\>
    <math|a<rsub|n>*x<rsup|n>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|<around|\||x|\|>\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>\<#FF0C\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6307\>\<#5B9A\>
    <math|x>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#6216\>\<#8005\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#5E26\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#7531\>
    <math|a<rsub|n>>\<#7684\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#51B3\>\<#5B9A\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-fraction-function>\<#518D\>\<#8003\>\<#8651\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=<frac|a<rsub|n>*x<rsup|n>+a<rsub|n-1>*x<rsup|n-1>+\<cdots\>+a<rsub|1>*x+a<rsub|0>|b<rsub|m>*x<rsup|m>+b<rsub|m-1>*x<rsup|m-1>+\<cdots\>+b<rsub|1>*x+b<rsub|0>>
    </equation*>

    \<#8003\>\<#8651\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#8FDC\>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#4E0E\>\<#4E0A\>\<#4F8B\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|m=n>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>
    <math|<frac|a<rsub|n>|b<rsub|n>>>\<#FF0C\>\<#82E5\>
    <math|m\<gtr\>n>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#82E5\>
    <math|m\<less\>n>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>.
  </example>

  <\example>
    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7528\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|r>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|<around|(|1+x|)><rsup|r>-1|x>=r
    </equation*>

    <math|r=0>\<#65F6\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|r>\<#662F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|<around|(|1+x|)><rsup|n>-1|x>=<frac|C<rsub|n><rsup|1>*x+C<rsub|n><rsup|2>*x<rsup|2>+\<cdots\>+C<rsub|n><rsup|n>*x<rsup|n>|x>=C<rsub|n><rsup|1>+C<rsub|n><rsup|2>*x+\<cdots\>+C<rsub|n><rsup|n>*x<rsup|n-1>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|<around|(|1+x|)><rsup|n>-1|x>=n
    </equation*>

    \<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|r>\<#4E3A\>\<#8D1F\>\<#6574\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|<around|(|1+x|)><rsup|-n>-1|x>=<frac|1-<around|(|1+x|)><rsup|n>|x>\<cdot\><frac|1|<around|(|1+x|)><rsup|n>>
    </equation*>

    \<#4EE4\> <math|x\<to\>0>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5373\>\<#4E3A\>
    <math|-n>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|r>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6574\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    \<#518D\>\<#8BBE\> <math|r>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|<frac|n|m>>\<#FF0C\>\<#4EE4\> <math|t=<around|(|1+x|)><rsup|n/m>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#516C\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      a<rsup|m>-b<rsup|m>=<around|(|a-b|)>*<around|(|a<rsup|m-1>+a<rsup|m-2>*b+\<cdots\>+a*b<rsup|m-2>+b<rsup|m-1>|)>
    </equation*>

    \<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|<around|(|1+x|)><rsup|n/m>-1|x>=<frac|t-1|x>=<frac|t<rsup|m>-1|x*<around|(|1+t+\<cdots\>+t<rsup|m-1>|)>>=<frac|<around|(|1+x|)><rsup|n>-1|x>\<cdot\><frac|1|1+t+\<cdots\>+t<rsup|m-1>>
    </equation*>

    \<#5F53\> <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|t\<to\>1>\<#800C\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|m>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6574\>\<#4F53\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|<frac|n|m>>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|r>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#8BC1\>\<#3002\>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\>
    <math|<around|(|1+x|)><rsup|r>=1+r*x+o<around|(|x|)>>.

    \<#5728\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#628A\>\<#8FD9\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>
    <math|r>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6307\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>.
  </example>

  <subsection|\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>><label|sec:limit-of-composite-function>

  \<#5173\>\<#4E8E\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\theorem>
    <label|theorem:limit-of-combine-function>\<#8BBE\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> g<around|(|x|)>=u<rsub|0>,lim<rsub|u\<to\>u<rsub|0>>
      f<around|(|u|)>=y<rsub|0>
    </equation*>

    \<#4E14\> <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|g<around|(|x|)>\<neq\>u<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> f<around|(|g<around|(|x|)>|)>=y<rsub|0>
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5F53\>
    <math|u\<to\>u<rsub|0>>\<#65F6\>\<#FF0C\>
    <math|f<around|(|u|)>\<to\>y<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#591A\>\<#4E48\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#603B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|0\<less\><around|\||u-u<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||f<around|(|u|)>-y<rsub|0>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#53C8\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#5F53\>
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  </proof>

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  <\equation*>
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  <\equation*>
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  </equation*>

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  </equation*>

  \<#53CA\>

  <\equation*>
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  <subsection|\<#4E0E\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>><label|sec:relation-between-limit-of-function-and-number-sequence>

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  <\theorem>
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  <\proof>
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  <math|x<rsub|n>>\<#548C\> <math|r<rsub|n>>\<#5206\>\<#522B\>\<#4EE5\>
  <math|A>\<#548C\> <math|B>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E2D\>\<#4EA4\>\<#9519\>\<#7684\>\<#53D6\>\<#9879\>\<#6784\>\<#6210\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#6570\>\<#5217\>
  <math|s<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>
  <math|s<rsub|n>>\<#4E5F\>\<#4EE5\> <math|x<rsub|0>>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#6570\>\<#5217\>
  <math|f<around|(|s<rsub|n>|)>>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5947\>\<#6570\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#5B50\>\<#5217\>\<#548C\>\<#5076\>\<#6570\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#5B50\>\<#5217\>\<#5206\>\<#522B\>\<#4EE5\>
  <math|A>\<#548C\> <math|B>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#77E5\>
  <math|f<around|(|s<rsub|n>|)>>\<#5E94\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
  <math|A=B>.\<#6709\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9002\>\<#5F53\>\<#51CF\>\<#5F31\>\<#3002\>

  <subsection|\<#5355\>\<#8C03\>\<#6709\>\<#754C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:theorem-of-monotone-and-bounded-of-function-limit>

  \<#4E0E\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6709\>\<#754C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#76F8\>\<#4EFF\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#5B9A\>\<#7406\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#5DE6\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#589E\>\<#4E14\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E5F\>\<#6709\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5F88\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#5DE6\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#4EFB\>\<#53D6\>\<#4E00\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#5E76\>\<#4EE5\>
    <math|x<rsub|0>>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|f<around|(|x<rsub|n>|)>>\<#4EA6\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5B83\>\<#53C8\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#8FD9\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6613\>\<#8BC1\>
    <math|A>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#5DE6\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#591A\>\<#4E48\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|N>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||f<around|(|x<rsub|n>|)>-A|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#53D6\>
    <math|\<delta\>=x<rsub|0>-x<rsub|N+1>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|x<rsub|0>-\<delta\>\<less\>x\<less\>x<rsub|0>>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|x<rsub|N>+1\<less\>x\<less\>x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>
    <math|A-\<varepsilon\>\<less\>f<around|(|x<rsub|N+1>|)>\<less\>f<around|(|x|)>\<leqslant\>A>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>
    <math|A>\<#5C31\>\<#662F\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#51C6\>\<#5219\>><label|sec:cauchy-convergence-rule-of-function-limit>

  \<#4EFF\>\<#7167\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#51C6\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\theorem>
    \<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>:
    \<#4EFB\>\<#7ED9\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#591A\>\<#4E48\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#6052\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|<around|\||x-x<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x<rsub|1>>\<#548C\> <math|x<rsub|2>>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>
    <math|<around|\||f<around|(|x<rsub|1>|)>-f<around|(|x<rsub|2>|)>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>\<#662F\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#7565\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#4E0B\>\<#8BC1\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#53D6\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|\<varepsilon\><rsub|n>=1/n*<around|(|n=1,2,\<ldots\>|)>>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|\<delta\><rsub|n>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|<around|\||x<rsub|1>-x<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\><rsub|n>>\<#548C\>
    <math|<around|\||x<rsub|2>-x<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\><rsub|n>>\<#7684\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>
    <math|<around|\||f<around|(|x<rsub|1>|)>-f<around|(|x<rsub|2>|)>|\|>\<less\>\<varepsilon\><rsub|n>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#4EE5\>
    <math|\<delta\><rsub|n>>\<#4E3A\>\<#534A\>\<#5F84\>\<#7684\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#90FD\>\<#5FC5\>\<#5C06\>\<#9650\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#4E3A\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|m<rsub|n>,M<rsub|n>|]>>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5E8F\>\<#5217\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5957\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6709\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|A>\<#4ECE\>\<#5C5E\>\<#4E8E\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|A>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>><label|sec:two-important-function-limit>

  \<#8FD9\>\<#4E00\>\<#8282\>\<#7684\>\<#4E3B\>\<#8981\>\<#4EFB\>\<#52A1\>\<#662F\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#6781\>\<#9650\>.

  <\theorem>
    <label|theorem:sinx-over-x-to-1-when-x-to-0>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|sin x|x>=1
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5982\><reference|fig:limit-of-sinx-over-x-at-0>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5706\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#70B9\>
    <math|A>\<#548C\> <math|C>\<#662F\>\<#5706\>\<#5468\>\<#4E0A\>\<#4E24\>\<#70B9\>,\<#5E76\>\<#4E14\>
    <math|\<angle\>*A*O*C>\<#7684\>\<#5F27\>\<#5EA6\>\<#503C\>\<#4E3A\>
    <math|x>\<#FF0C\> <math|x>\<#662F\>\<#9510\>\<#89D2\>\<#FF0C\>
    <math|O*C>\<#4E0E\>\<#70B9\> <math|A>\<#5904\>\<#7684\>\<#5207\>\<#7EBF\>\<#76F8\>\<#4EA4\>\<#4E8E\>\<#70B9\>
    <math|B>,\<#7531\>\<#56FE\>\<#53EF\>\<#5F97\>

    <big-figure|<with|par-mode|center|<image|limit/pic/limit-of-sinx-over-x-at-0.pdf||||>
    <image|limit/pic/graphy-of-function-sinx-over-x.pdf||||><label|fig:limit-of-sinx-over-x-at-0>>|>

    <\equation*>
      S<rsub|\<triangle\>*A*O*C>\<less\>S<rsub|<text|\<#6247\>\<#5F62\>>A*O*C>\<less\>S<rsub|\<triangle\>*A*O*B>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      sin x\<less\>x\<less\>tan x
    </equation*>

    \<#4ECE\>\<#800C\>

    <\equation*>
      cos x\<less\><frac|sin x|x>\<less\>1
    </equation*>

    \<#800C\>\<#5F53\> <math|x\<to\>0>\<#65F6\>, <math|cos
    x\<to\>1>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6700\>\<#7EC8\>\<#5F97\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|sin x|x>=1
    </equation*>
  </proof>

  \<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>=sin x/x>\<#5728\>
  <math|x=0>\<#9644\>\<#8FD1\>\<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#5982\><reference|fig:limit-of-sinx-over-x-at-0>\<#6240\>\<#793A\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#53CD\>\<#5F97\>\<#5728\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=1/x>\<#548C\> <math|y=-1/x>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#632F\>\<#8361\>\<#FF0C\>\<#5728\>
  <math|x=0>\<#9644\>\<#8FD1\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>1\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5B83\>\<#5728\>
  <math|x=0>\<#5904\>\<#5E76\>\<#65E0\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#3002\>

  \<#5B9A\>\<#7406\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5728\>
  <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|sin x>\<#4E0E\> <math|x>\<#662F\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5373\>
  <math|sin x=x+o<around|(|x|)>>.

  <\example>
    \<#5173\>\<#4E8E\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|cos
    x>\<#5728\> <math|x\<to\>0>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7ED3\>\<#679C\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|1-cos x|x<rsup|2>>=<frac|1|2>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#662F\>\<#7531\>\<#4E8E\>

    <\equation*>
      <frac|1-cos x|x<rsup|2>>=<frac|2*sin<rsup|2>
      <frac|x|2>|x<rsup|2>>=<frac|1|2>\<cdot\><around*|(|<frac|sin
      <frac|x|2>|<frac|x|2>>|)><rsup|2>
    </equation*>

    \<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5E76\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5E73\>\<#65B9\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C31\>\<#6709\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|cos
    x=1-<frac|1|2>*x<rsup|2>+o<around|(|x<rsup|2>|)>>.
  </example>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#5207\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|tan x|x>=1
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4ECE\> <math|tan x=<frac|sin x|cos
    x>>\<#4FBF\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5728\>
    <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|tan
    x=x+o<around|(|x|)>>.
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-sin-cos-function>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=sin x>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|x<rsub|0>\<in\>\<bbb-R\>>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|sin x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> sin x=sin x<rsub|0>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <around|\||sin x-sin x<rsub|0>|\|>=2*<around*|\||cos
      <frac|x+x<rsub|0>|2>*sin <frac|x-x<rsub|0>|2>|\|>\<leqslant\>2<around*|\||sin
      <frac|x-x<rsub|0>|2>|\|>
    </equation*>

    \<#6839\>\<#636E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>
    <math|\<forall\>x\<in\><around*|(|-<frac|\<pi\>|2>,<frac|\<pi\>|2>|)>>\<#6709\>
    <math|<around|\||sin x|\|>\<leqslant\><around|\||x|\|>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#9650\>\<#5B9A\>
    <math|<around|\||x-x<rsub|0>|\|>\<less\><frac|\<pi\>|2>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|\||sin x-sin x<rsub|0>|\|>\<leqslant\><around|\||x-x<rsub|0>|\|>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#53D6\>
    <math|0\<less\>\<delta\>\<less\>min <around|{|\<varepsilon\>,<frac|\<pi\>|2>|}>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
    <math|\<forall\>x\<in\><around|(|x<rsub|0>+\<delta\>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#90FD\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|\||sin x-sin x<rsub|0>|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>

    \<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> cos x=cos x<rsub|0>
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    <label|example:limit-of-sinx-sinx0-over-x-x0>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5728\>\<#540E\>\<#9762\>\<#5B66\>\<#4E60\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#7684\>\<#65F6\>\<#5019\>\<#5C06\>\<#4F1A\>\<#7528\>\<#5230\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|sin x-sin x<rsub|0>|x-x<rsub|0>>=cos
      x<rsub|0>
    </equation*>

    \<#4EE5\>\<#53CA\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|cos x-cos x<rsub|0>|x-x<rsub|0>>=-sin
      x<rsub|0>
    </equation*>

    \<#53EA\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56FA\>\<#5B9A\>
    <math|x<rsub|0>>\<#FF0C\> \<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|sin x-sin x<rsub|0>|x-x<rsub|0>>=2*cos
      <frac|x+x<rsub|0>|2>\<cdot\><frac|sin <frac|x-x<rsub|0>|2>|x-x<rsub|0>>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#5F53\> <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#540E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56E0\>\<#5F0F\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|<frac|1|2>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56E0\>\<#5F0F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#5B83\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|cos x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </example>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#66FE\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>

  <\equation*>
    x<rsub|n>=<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>
  </equation*>

  \<#5E76\>\<#628A\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
  <math|e>\<#FF0C\>\<#4ECA\>\<#6765\>\<#628A\>\<#5B83\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#6210\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#7406\>:

  <\theorem>
    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>\<infty\>><around*|(|1+<frac|1|x>|)><rsup|x>=e
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|e>\<#662F\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5E95\>\<#6570\>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#7684\>\<#6574\>\<#6570\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#4E3A\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|n\<leqslant\>x\<less\>n+1>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n>\<less\><around*|(|1+<frac|1|x>|)><rsup|x>\<less\><around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n+1>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#89C1\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#4E24\>\<#8FB9\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#4EE5\>
    <math|e>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>\<#8FD9\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#4E24\>\<#8FB9\>\<#8F6C\>\<#5316\>\<#4E3A\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#8BBE\>
    <math|x>\<#7684\>\<#6574\>\<#6570\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#4E3A\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>

    <\equation*>
      h<rsub|1><around|(|x|)>=<around*|(|1+<frac|1|n+1>|)><rsup|n>,h<rsub|2><around|(|x|)>=<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n+1>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>+\<infty\>> h<rsub|1><around|(|x|)>=lim<rsub|x\<to\>+\<infty\>>
      h<rsub|2><around|(|x|)>=e
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#7531\>\<#5939\>\<#903C\>\<#51C6\>\<#5219\>\<#5373\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>+\<infty\>><around*|(|1+<frac|1|x>|)><rsup|x>=e
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#8FDC\>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#6765\>\<#770B\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#4EE5\>\<#8D1F\>\<#503C\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#4EE4\>
    <math|x=-t>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|x>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#4E8E\>
    <math|t>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#FF0C\>\<#800C\>

    <\equation*>
      <around*|(|1+<frac|1|x>|)><rsup|x>=<frac|1|<around*|(|1-<frac|1|t>|)><rsup|t>>=<around*|(|1+<frac|1|t-1>|)><rsup|t>=<around*|(|1+<frac|1|t-1>|)><rsup|<around|(|t-1|)>\<cdot\><frac|t|t-1>>
    </equation*>

    \<#5229\>\<#7528\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7ED3\>\<#679C\>(<reference|theorem:limit-of-combine-function>)\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#77E5\>\<#5F53\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#5F53\>
    <math|t\<to\>+\<infty\>>\<#65F6\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|e>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5F53\>
    <math|x\<to\>-\<infty\>>\<#65F6\>\<#5DE6\>\<#7AEF\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|e>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6700\>\<#7EC8\>\<#5F53\>
    <math|x\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|<around|(|1+1/x|)><rsup|x>>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#90FD\>\<#662F\>
    <math|e>.
  </proof>

  \<#5728\>\<#6B64\>\<#57FA\>\<#7840\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>\<#66F4\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#6027\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>:

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5728\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim <around|(|1+f<around|(|x|)>|)><rsup|1/f<around|(|x|)>>=<math-up|e>
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#4EE5\> <math|x\<to\>\<infty\>>\<#4E3A\>\<#4F8B\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>
    <math|lim <rsub|x\<to\>\<infty\>><around|(|1+<frac|1|x>|)><rsup|x>=<math-up|e>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#591A\>\<#4E48\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|<around|\||x|\|>\<gtr\>M>\<#7684\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#90FD\>\<#7B26\>\<#5408\> <math|<around|\||<around|(|1+<frac|1|x>|)><rsup|x>-<math-up|e>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#53C8\>\<#56E0\>\<#4E3A\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|K>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|<around|\||x|\|>\<gtr\>K>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\>
    <math|<around|\||f<around|(|x|)>|\|>\<less\><frac|1|M>>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>
    <math|<around*|\||<frac|1|f<around|(|x|)>>|\|>\<gtr\>M>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|\||<around|(|1+f<around|(|x|)>|)><rsup|1/f<around|(|x|)>>-<math-up|e>|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E0E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>><label|sec:infinite-small-and-great>

  \<#4E0E\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5728\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E2D\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E0E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#4EE5\>\<#96F6\>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#5176\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#5176\>\<#7EDD\>\<#5BF9\>\<#503C\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#5176\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#6B63\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#548C\>\<#8D1F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#3002\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#548C\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#6709\>\<#7740\>\<#4E0E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#6570\>\<#5217\>\<#548C\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#3002\>

  \<#4E0E\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E00\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E0E\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#9636\>\<#7684\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#3002\>

  <subsection|\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#7684\>\<#6E10\>\<#8FD1\>\<#7EBF\>><label|sec:asymptotic-line-of-curve>

  <section|\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>><label|sec:continuousness-of-function>

  \<#5728\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#63A5\>\<#89E6\>\<#5230\>\<#4E86\>\<#5F88\>\<#591A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4F8B\>\<#5982\>\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=x<rsup|n>*<around|(|n\<in\>\<bbb-Z\>|)>>\<#FF0C\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#53CD\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3001\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#6BB5\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#FF0C\>\<#6216\>\<#8005\>\<#662F\>\<#7531\>\<#82E5\>\<#5E72\>\<#6BB5\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#6240\>\<#6784\>\<#6210\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#8282\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#5BF9\>\P\<#8FDE\>\<#7EED\>\Q\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#4F5C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7CBE\>\<#786E\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#8FDB\>\<#800C\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#3002\>

  <subsection|\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#4E0E\>\<#5355\>\<#4FA7\>\<#8FDE\>\<#7EED\>><label|sec:continuousness-and-single-continuousness>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
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    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> f<around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>
    </equation*>
  </definition>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#662F\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>
  <em|\<#5DE6\>\<#8FDE\>\<#7EED\>>\<#FF0C\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#6709\>
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  <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#6052\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#533A\>\<#95F4\>
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  \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#4E0D\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
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    \<#5728\> <reference|example:limit-of-sin-cos-function>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>

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      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> sin x=sin
      x<rsub|0>,lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> cos x=cos x<rsub|0>
    </equation*>

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    <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>.
  </example>

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    \<#4ECE\> <reference|example:single-limits-of-gausse-function>\<#7684\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#5F97\>\<#77E5\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#9AD8\>\<#65AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|x<rsub|0>\<in\>\<bbb-Z\>>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>><around|[|x|]>=x<rsub|0>,lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|->><around|[|x|]>=x<rsub|0>-1
    </equation*>

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  <\example>
    \<#5728\> <reference|example:limit-of-sin-1-over-x-at-0>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#4E86\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|x*sin
      <frac|1|x>>|<cell|x\<neq\>0>>|<row|<cell|0>|<cell|x=0>>>>>
    </equation*>

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    <math|x>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>
    <math|D<around|(|x|)>=0>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
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    </equation*>

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    <math|x<rsub|0>\<in\>R>\<#5904\>\<#90FD\>\<#4E0D\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
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    <math|x>\<#53D6\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
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    <math|\<delta\>>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#7531\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6765\>\<#51B3\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|<frac|p|q>*<around|(|q\<gtr\>0|)>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8981\>\<#4F7F\>

    <\equation*>
      <frac|1|q>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BA9\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|<frac|p|q>>\<#90FD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|q\<gtr\><frac|1|\<varepsilon\>>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#80FD\>\<#5426\>\<#505A\>\<#5230\>\<#5462\>\<#FF1F\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#4E0D\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>\<#FF08\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|<frac|1|\<varepsilon\>>>\<#7684\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|q>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>
    <math|q>\<#7684\>\<#975E\>\<#8D1F\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|p>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>\<#FF09\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#628A\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|m>>(\<#6CE8\>\<#610F\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#7684\>
    <math|m>\<#8DDF\> <math|\<varepsilon\>>\<#6709\>\<#5173\>)\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BA9\>
    <math|\<delta\>>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|\<delta\>\<less\><around|\||x<rsub|i>-x<rsub|0>|\|>*<around|(|i=1,2,\<ldots\>,m|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#843D\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#524D\>\<#9762\>\<#6240\>\<#9700\>\<#8981\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#3002\>

    \<#4F46\>\<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|x<rsub|0>>\<#4E3A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BA9\>
    <math|x>\<#53D6\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#5E76\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#5C06\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>0\<#800C\>\<#975E\>
    <math|R<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|R<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#4E0D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#4E0D\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#53CA\>\<#5176\>\<#5206\>\<#7C7B\>><label|sec:discontinuity-point-and-its-category>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#4E0D\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#6216\>\<#8005\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#6839\>\<#672C\>\<#5C31\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#70B9\>\<#662F\>
  <em|\<#53EF\>\<#53BB\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#6216\>\<#8005\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E3A\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#5F0F\>\<#6765\>\<#5C06\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8FDB\>\<#884C\>
  <em|\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#5F00\>\<#62D3\>>\<#3002\>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#5206\>\<#522B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5DE6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#548C\>\<#53F3\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0D\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>
  <em|\<#8DF3\>\<#8DC3\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>>\<#FF0C\>\<#8DF3\>\<#8DC3\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#548C\>\<#53EF\>\<#53BB\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#7EDF\>\<#79F0\>
  <em|\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#7279\>\<#5F81\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#5411\>\<#7684\>\<#5355\>\<#4FA7\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>\<#9664\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#4E4B\>\<#5916\>\<#7684\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#7EDF\>\<#79F0\>
  <em|\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#7C7B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#7C7B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5355\>\<#4FA7\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#3002\>

  <subsection|\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>><label|sec:properties-of-continuous-function>

  \<#7531\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#53EF\>\<#89C1\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#6B63\>\<#597D\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#628A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#7167\>\<#642C\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#65F6\>\<#6240\>\<#5177\>\<#6709\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>:

  <\theorem>
    <dueto|\<#5C40\>\<#90E8\>\<#6709\>\<#754C\>\<#6027\>>\<#82E5\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5FC5\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#6709\>\<#754C\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\theorem>
    <dueto|\<#5C40\>\<#90E8\>\<#4FDD\>\<#53F7\>\<#6027\>>\<#82E5\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|r>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#90BB\>\<#57DF\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|x|)>\<gtr\>r>\<#FF0C\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5927\>\<#4E8E\>
    <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|r>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#90BB\>\<#57DF\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|x|)>\<less\>r>.
  </theorem>

  <\corollary>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E3A\>\<#6B63\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6052\>\<#4E3A\>\<#6B63\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E3A\>\<#8D1F\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5FC5\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6052\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#8D1F\>\<#53F7\>\<#3002\>
  </corollary>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#548C\>\<#3001\>\<#5DEE\>\<#3001\>\<#79EF\>\<#3001\>\<#5546\>\<#6240\>\<#4F5C\>\<#6210\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#4E5F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5546\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#6C42\>
    <math|g<around|(|x<rsub|0>|)>\<neq\>0>\<#3002\>
  </theorem>

  <\example>
    <label|example:continous-of-power-function>\<#5728\><reference|example:continous-of-a-power-integer-with-a-greater-1>
    \<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=a<rsup|x>*<around|(|a\<gtr\>1|)>>\<#5728\>
    <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#540C\>\<#6837\>\<#662F\>
    <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsup|x>=<frac|1|<around*|(|<frac|1|a>|)><rsup|x>>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#5B50\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#5747\>\<#662F\>
    <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#8282\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>><label|sec:continuousness-of-composite-function>

  \<#7531\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#5F97\>

  <\theorem>
    <dueto|\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>><label|theorem:the-continuity-of-combine-function>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>
    <math|u<rsub|0>=g<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#82E5\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|u|)>>\<#5728\> <math|u<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|g<around|(|x|)>|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#3002\>
  </theorem>

  \<#5230\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#628A\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#56DB\>\<#5219\>\<#6DF7\>\<#5408\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#590D\>\<#5408\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6B64\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8FC5\>\<#901F\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#5927\>\<#6279\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>

  <subsection|\<#6709\>\<#9650\>\<#8986\>\<#76D6\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:finite-covering-theorem>

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  </theorem>

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  </proof>

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  <\theorem>
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  </theorem>

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    <math|f<around|(|x|)>\<gtr\>\<mu\>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#524D\>\<#8FF0\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5E8F\>\<#5217\>\<#663E\>\<#7136\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#90A3\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5E8F\>\<#5217\>\<#5145\>\<#5206\>\<#9760\>\<#540E\>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#843D\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#5904\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#90E8\>\<#FF0C\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#5206\>\<#522B\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#548C\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<mu\>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<mu\>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>=\<mu\>>.
  </proof>

  <\corollary>
    \<#96F6\>\<#70B9\>\<#5B9A\>\<#7406\>
  <|corollary>
    \ \<#82E5\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#5F02\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5FC5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#96F6\>\<#70B9\>\<#3002\>
  </corollary>

  <subsection|\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>><label|sec:continuousness-of-reverse-function>

  \<#5173\>\<#4E8E\>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>:

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#5E76\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5176\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|x=\<varphi\><around|(|y|)>>\<#5728\>\<#5176\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>
    <math|<around|[|f<around|(|a|)>,f<around|(|b|)>|]>>\<#6216\>\<#8005\>
    <math|<around|[|f<around|(|b|)>,f<around|(|a|)>|]>>\<#4E0A\>\<#4E5F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>
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    <math|x=\<varphi\><around|(|y|)>>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#70B9\>
    <math|y<rsub|0>\<in\><around|[|f<around|(|a|)>,f<around|(|b|)>|]>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#5C31\>\<#884C\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|y<rsub|0>>\<#5C5E\>\<#4E8E\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|y<rsub|0>=f<around|(|x<rsub|0>|)>\<in\><around|(|f<around|(|a|)>,f<around|(|b|)>|)>>\<#FF0C\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|<around|\||y-y<rsub|0>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#65F6\>\<#5C31\>\<#6709\>
    <math|<around|\||x-x<rsub|0>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#5F88\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>
    <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>
    <math|U=y<rsub|0>-\<delta\>>\<#548C\>
    <math|V=y<rsub|0>+\<delta\>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\> <math|U>\<#6216\>
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    <math|<around|[|f<around|(|a|)>,f<around|(|b|)>|]>>\<#7684\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#9002\>\<#5F53\>\<#5411\>
    <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#7684\>\<#65B9\>\<#5411\>\<#4F5C\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#7A0B\>\<#5EA6\>\<#7684\>\<#8C03\>\<#6574\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|U,V|]>\<subseteq\><around|[|f<around|(|a|)>,f<around|(|b|)>|]>>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|U\<less\>y<rsub|0>\<less\>V>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#6B64\>\<#4E00\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4ECB\>\<#503C\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>\<in\><around|[|a,b|]>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|U=f<around|(|x<rsub|1>|)>>\<#548C\>
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    <math|x<rsub|1>\<less\>x<rsub|0>\<less\>x<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5F53\>
    <math|x\<in\><around|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>|)>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#53D6\>
    <math|\<varepsilon\>=min <around|{|x<rsub|0>-x<rsub|1>,x<rsub|2>-x<rsub|0>|}>>\<#5C31\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#6761\>\<#4EF6\>.
  </proof>

  \<#4ECE\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9002\>\<#5F53\>\<#653E\>\<#5BBD\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#539F\>\<#6765\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#5305\>\<#542B\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5185\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#4FBF\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#70B9\>\<#3002\>

  <\example>
    \<#7531\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=a<rsup|x>*<around|(|a\<gtr\>0,a\<neq\>1|)>>\<#5728\>
    <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|x=log<rsub|a> y>\<#5728\> <math|<around|(|0,+\<infty\>|)>>\<#4E0A\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#524D\>\<#9762\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=sin x>\<#548C\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|y=cos
    x>\<#90FD\>\<#662F\> <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#7531\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4FBF\>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|x=arcsin y*<around|(|y\<in\><around|[|-1,1|]>|)>>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#53CD\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|x=arccos y*<around|(|y\<in\><around|[|-1,1|]>|)>>\<#4FBF\>\<#4E5F\>\<#5728\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#4E00\>\<#81F4\>\<#8FDE\>\<#7EED\>><label|sec:uniform-continuity>

  <\definition>
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    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
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    <math|<around|\||x<rsub|1>-x<rsub|2>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#7684\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>
    <math|<around|\||f<around|(|x<rsub|1>|)>-f<around|(|x<rsub|2>|)>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\><em|\<#4E00\>\<#81F4\>\<#8FDE\>\<#7EED\>>\<#3002\>
  </definition>

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  <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
  <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#7684\>
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  <math|\<delta\>>\<#5C31\>\<#8981\>\<#8D8A\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#5219\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5BF9\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#6240\>\<#6709\>\<#70B9\>\<#90FD\>\<#9002\>\<#7528\>\<#7684\>
  <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#6BD4\>\<#4F8B\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#663E\>\<#7136\>\<#65E0\>\<#6CD5\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53CD\>\<#6BD4\>\<#4F8B\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#867D\>\<#7136\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#3002\>

  <\example>
    <dueto|\<#5229\>\<#666E\>\<#5E0C\>\<#8328\>\<#8FDE\>\<#7EED\>>\<#8BBE\>
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    <math|L\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>
    <math|<around|\||f<around|(|x<rsub|1>|)>-f<around|(|x<rsub|2>|)>|\|>\<leqslant\><around|\||x<rsub|1>-x<rsub|2>|\|>>.
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  </example>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#9650\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#6709\>\<#754C\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
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    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6309\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
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    <math|<around|\||x<rsub|1>-x<rsub|2>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#65F6\>\<#6709\>
    <math|<around|\||f<around|(|x<rsub|1>|)>-f<around|(|x<rsub|2>|)>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C06\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5212\>\<#5206\>\<#6210\>\<#82E5\>\<#5E72\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5E76\>\<#96C6\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#90FD\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<delta\>>\<#4F46\>\<#5927\>\<#4E8E\>
    <math|<frac|\<delta\>|2>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#539F\>\<#6765\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#6709\>\<#754C\>\<#3002\>
  </proof>

  <\theorem>
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  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#7684\>
    <math|\<delta\>=\<delta\><around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#90FD\>\<#843D\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|f<around|(|x<rsub|0>|)>-<frac|\<varepsilon\>|2>,f<around|(|x<rsub|0>|)>+<frac|\<varepsilon\>|2>|)>>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#6709\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#663E\>\<#7136\>\<#8986\>\<#76D6\>\<#4E86\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#4F9D\>\<#6709\>\<#9650\>\<#8986\>\<#76D6\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|x<rsub|i>-\<delta\><rsub|i>,x<rsub|i>+\<delta\><rsub|i>|)>*<around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#5E76\>\<#96C6\>\<#5C31\>\<#8986\>\<#76D6\>\<#4E86\>\<#6B64\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#53D6\>\<#8FD9\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#8BF8\>
    <math|\<delta\><rsub|i>>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#8005\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#534A\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
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    <math|\<delta\><rsub|w>>\<#FF0C\>\<#8BB0\> <math|\<delta\><rprime|'>=min
    <around|{|\<delta\><rsub|m>,\<delta\><rsub|w>|}>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#53D6\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|r<rsub|1>,r<rsub|2>>\<#5E76\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|<around|\||r<rsub|1>-r<rsub|2>|\|>\<less\>\<delta\><rprime|'>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4E24\>\<#6570\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#4F4D\>\<#4E8E\>\<#524D\>\<#8FF0\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#540C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|<around|(|x<rsub|k>-\<delta\><rsub|k>,x<rsub|k>+\<delta\><rsub|k>|)>>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>
    <math|<around|\||r<rsub|1>-r<rsub|2>|\|>\<less\>\<delta\><rprime|'>\<leqslant\><frac|\<delta\><rsub|k>|2>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>

    <\equation*>
      <around|\||f<around|(|r<rsub|1>|)>-f<around|(|r<rsub|2>|)>|\|>\<leqslant\><around|\||f<around|(|r<rsub|1>|)>-f<around|(|x<rsub|k>|)>|\|>+<around|\||f<around|(|r<rsub|2>|)>-f<around|(|x<rsub|k>|)>|\|>\<less\><frac|\<varepsilon\>|2>+<frac|\<varepsilon\>|2>=\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4FBF\>\<#8868\>\<#660E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>><label|sec:irrational-power>

  \<#5728\>\<#4E2D\>\<#5B66\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#91CC\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#6709\>\<#4E86\>\<#6307\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#90A3\>\<#65F6\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#53D7\>\<#9650\>\<#4E8E\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#867D\>\<#7136\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#5168\>\<#4F53\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5374\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#5F53\>\<#6307\>\<#6570\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5E42\>\<#662F\>\<#4F55\>\<#79CD\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#672C\>\<#5C0F\>\<#8282\>\<#5C31\>\<#6765\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#6781\>\<#9650\>\<#6765\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#3002\>

  \<#5148\>\<#56DE\>\<#987E\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
  <math|n>\<#6B21\>\<#5E42\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    a<rsup|n>=a*a*\<cdots\>*a*<around|(|n*<text|\<#4E2A\>>a|)>
  </equation*>

  \<#5728\>\<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>
  <math|a<rsup|n>\<gtr\>0>(\<#6B63\>\<#503C\>\<#6027\>)\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
  <math|n>\<#548C\> <math|m>\<#6709\>

  <\equation>
    <label|eq:exponent-multiple-rule-with-positive-integer>a<rsup|n+m>=a<rsup|n>*a<rsup|m>
  </equation>

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  \<#5982\>\<#679C\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
  <math|n\<less\>m>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5728\>
  <math|a\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>

  <\equation*>
    a<rsup|n>\<less\>a<rsup|m>
  </equation*>

  \<#5728\> <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#65F6\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>
  <math|a\<gtr\>>\<#65F6\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#FF0C\>
  <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#65F6\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#7684\>\<#3002\>

  \<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#628A\>\<#6307\>\<#6570\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6574\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5E0C\>\<#671B\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#5728\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#540E\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6574\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5728\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#4EE4\>
  <math|m=0>\<#5F97\> <math|a<rsup|n>=a<rsup|n>\<cdot\>a<rsup|0>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#8981\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
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  <math|m=-n>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5F97\>\<#5230\>

  <\equation*>
    a<rsup|-n>=<frac|1|a<rsup|n>>
  </equation*>

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  <\equation*>
    a<rsup|n-m>=<frac|a<rsup|n>|a<rsup|m>>
  </equation*>

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  <\theorem>
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    <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5728\>
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    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#65F6\>\<#6709\>
    <math|a<rsup|n>\<gtr\>a<rsup|m>>.
  </theorem>

  <\proof>
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    <math|m>\<#662F\>\<#975E\>\<#8D1F\>\<#6574\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#5F97\>

    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
      a<rsup|n>=<frac|1|a<rsup|-n>>\<less\><frac|1|a<rsup|-m>>=a<rsup|m>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#5F97\> <math|a\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#6574\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#662F\>\<#589E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5728\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#7531\>

    <\equation*>
      a<rsup|n>=<frac|1|a<rsup|-n>>
    </equation*>

    \<#77E5\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#51CF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#7531\>\<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5373\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#63A8\>\<#8BBA\>

  <\corollary>
    <label|inference:exponent-compare-to-1>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#548C\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|a<rsup|n>\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8D1F\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|0\<less\>a<rsup|n>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#FF0C\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#5219\>\<#662F\> <math|0\<less\>a<rsup|n>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#8D1F\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#5219\>\<#662F\> <math|a<rsup|n>\<gtr\>1>.
  </corollary>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#518D\>\<#7EE7\>\<#7EED\>\<#628A\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5411\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#5185\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\theorem>
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    <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|<around|(|a<rsup|m>|)><rsup|n>=a<rsup|m*n>=<around|(|a<rsup|n>|)><rsup|m>>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5148\>\<#8BC1\> <math|n>\<#548C\>
    <math|m>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>
    <math|<around|(|a<rsup|m>|)><rsup|n>>\<#4EE3\>\<#8868\> <math|n>\<#4E2A\>
    <math|a<rsup|m>>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|a<rsup|m>>\<#4EE3\>\<#8868\> <math|m>\<#4E2A\>
    <math|a>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6700\>\<#7EC8\>\<#4FBF\>\<#662F\>
    <math|m*n>\<#4E2A\> <math|a>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|<around|(|a<rsup|m>|)><rsup|n>=a<rsup|m*n>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>
    <math|<around|(|a<rsup|n>|)><rsup|m>=a<rsup|n*m>=a<rsup|m*n>>

    \<#5982\>\<#679C\> <math|m>\<#548C\> <math|m>\<#4E2D\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#540E\>\<#6309\>\<#8D1F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E5F\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|n>\<#548C\> <math|m>\<#4E2D\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#662F\>\<#8D1F\>\<#6574\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#6709\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8003\>\<#8651\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6574\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
  <math|x=n/m>\<#4E3A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>
  <math|n>\<#548C\> <math|m>\<#662F\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#4E92\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#6574\>\<#6570\>\<#5E76\>\<#4E14\>
  <math|m>\<#662F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#7684\>\<#4F9D\>\<#636E\>\<#662F\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#521A\>\<#624D\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#5F0F\>\<#6210\>\<#7ACB\>

  <\equation*>
    <around|(|a<rsup|<frac|n|m>>|)><rsup|m>=a<rsup|<frac|n|m>*m>=a<rsup|n>
  </equation*>

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  <\equation*>
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  </equation*>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#628A\>\<#5B83\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#548C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#548C\>\<#8D1F\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#503C\>\<#6027\>\<#548C\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#3002\>

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  <math|a\<gtr\>1>\<#65F6\>

  <\equation*>
    <frac|a<rsup|x>|a<rsup|y>>=a<rsup|x-y>
  </equation*>

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  \<#5728\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#5373\>\<#77E5\>
  <math|a<rsup|x-y>\<less\>1>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
  <math|a<rsup|x>\<less\>a<rsup|y>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#8BC1\>
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  <\definition>
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    <math|r<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
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    <math|r>\<#6B21\>\<#5E42\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      a<rsup|r>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsup|r<rsub|n>>
    </equation*>
  </definition>

  \<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6709\>\<#51E0\>\<#4E2A\>\<#7591\>\<#95EE\>\<#FF1A\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5417\>\<#FF1F\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
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  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\>
    <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\> <math|r>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
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    <math|r>\<#6709\>\<#5173\>)\<#3002\>
  </theorem>

  \<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#5F15\>\<#7406\>

  <\lemma>
    <label|lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0>\<#8BBE\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>
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    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsup|r<rsub|n>>=1>.
  </lemma>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\><reference|example:limit-of-n-sqrt-a>\<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#5F97\>
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    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|N>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\> <math|n\<gtr\>N>\<#65F6\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around|\||<sqrt|a|n>-1|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|1\<less\><sqrt|a|n>\<less\>1+\<epsilon\>>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#5C31\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#53D6\>\<#5B9A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|n<rsub|0>\<gtr\>N>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#6709\>
    <math|1\<less\><sqrt|a|n<rsub|0>>\<less\>1+\<varepsilon\>>
    \<#800C\>\<#7531\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>
    <math|r<rsub|n>>\<#4EE5\>\<#96F6\>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|1/n<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|N<rsub|1>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>
    <math|n\<gtr\>N<rsub|1>>\<#65F6\>\<#6709\>
    <math|<around|\||r<rsub|n>|\|>\<less\>1/n<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#6309\>\<#7167\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>(\<#4E0B\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#505A\>\<#4E86\>\<#9650\>\<#5B9A\>
    <math|\<varepsilon\>\<less\>1>)

    <\equation*>
      1-\<varepsilon\>\<less\><frac|1|1+\<varepsilon\>>\<less\><frac|1|<sqrt|a|n<rsub|0>>>\<less\>a<rsup|r<rsub|n>>\<less\><sqrt|a|n<rsub|0>>\<less\>1+\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#6B64\>\<#5373\>\<#77E5\> <math|<around|\||a<rsup|r<rsub|n>>-1|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#8981\>
    <math|n\<gtr\>max <around|{|N,N<rsub|1>|}>>\<#65F6\>\<#4FBF\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
    <math|<around|\||a<rsup|r<rsub|n>>-1|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5373\>\<#8868\>\<#660E\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#73B0\>\<#5728\>\<#56DE\>\<#8FC7\>\<#5934\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#7406\>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5148\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6765\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#51FA\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6240\>\<#6709\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|r>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#90FD\>\<#5FC5\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>

    \<#53D6\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\> <math|r>\<#7684\>
    <math|n>\<#4F4D\>\<#4E0D\>\<#8DB3\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#503C\>
    <math|x<rsub|n>>\<#548C\> <math|n>\<#4F4D\>\<#8FC7\>\<#5269\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#503C\>
    <math|y<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|x<rsub|n>>\<#662F\>\<#628A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|r>\<#7684\>\<#7B2C\> <math|n>\<#4F4D\>\<#5C0F\>\<#6570\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#7684\>\<#5C0F\>\<#6570\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#820D\>\<#53BB\>\<#800C\>\<#5F97\>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>
    <math|y<rsub|n>>\<#662F\>\<#628A\>\<#5B83\>\<#7B2C\>
    <math|n>\<#4F4D\>\<#5C0F\>\<#6570\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#7684\>\<#5C0F\>\<#6570\>\<#6536\>\<#4E0A\>\<#6765\>\<#800C\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>
    <math|x<rsub|n>\<less\>r\<less\>y<rsub|n>>\<#5E76\>\<#4E14\>
    <math|y<rsub|n>-x<rsub|n>=10<rsup|-n>>,\<#540C\>\<#65F6\>\<#FF0C\>
    <math|x<rsub|n>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#4E0D\>\<#51CF\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|y<rsub|n>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#4E0D\>\<#589E\>\<#FF0C\>\<#8003\>\<#8651\>\<#7531\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#6784\>\<#6210\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsup|x<rsub|n>>>\<#548C\> <math|a<rsup|y<rsub|n>>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#7684\>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#4E0B\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsup|x<rsub|n>>\<leqslant\>a<rsup|x<rsub|n+1>>\<leqslant\>\<cdots\>\<leqslant\>a<rsup|y<rsub|n+1>>\<leqslant\>a<rsup|y<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#4F5C\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5E8F\>\<#5217\>
    <math|U<rsub|n>=<around|[|a<rsup|x<rsub|n>>,a<rsup|y<rsub|n>>|]>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#663E\>\<#89C1\>
    <math|U<rsub|n+1>\<subset\>U<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#957F\>\<#5EA6\>
    <math|a<rsup|y<rsub|n>>-a<rsup|x<rsub|n>>=a<rsup|x<rsub|n>>*<around|(|a<rsup|y<rsub|n>-x<rsub|n>>-1|)>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>
    <math|y<rsub|n>-x<rsub|n>=10<rsup|-n>\<to\>1>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#521A\>\<#624D\>\<#6240\>\<#8BC1\>\<#7684\><reference|lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0>\<#FF0C\>
    <math|a<rsup|y<rsub|n>-x<rsub|n>>-1>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#56E0\>\<#5B50\>
    <math|a<rsup|x<rsub|n>>\<less\>a<rsup|y<rsub|n>>\<leqslant\>a<rsup|y<rsub|1>>>\<#662F\>\<#6709\>\<#754C\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#5E8F\>\<#5217\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#7531\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5957\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|K>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\> <math|a<rsup|x<rsub|n>>\<less\>K\<less\>a<rsup|y<rsub|n>>>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsup|x<rsub|n>>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
    a<rsup|y<rsub|n>>=K>\<#3002\>

    \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|r>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|z<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5FC5\>\<#5C06\>\<#6709\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsup|z<rsub|n>>=K>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|a<rsup|z<rsub|n>>|a<rsup|x<rsub|n>>>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      a<rsup|z<rsub|n>-x<rsub|n>>=1
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsup|z<rsub|n>>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      a<rsup|x<rsub|n>>*<frac|a<rsup|z<rsub|n>>|a<rsup|x<rsub|n>>>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      a<rsup|x<rsub|n>>\<cdot\>lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      <frac|a<rsup|z<rsub|n>>|a<rsup|x<rsub|n>>>=K\<cdot\>1=K
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#5728\> <math|a\<gtr\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#65F6\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#5B8C\>\<#5168\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#8FD9\>\<#6837\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6027\>\<#548C\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#6027\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#5C31\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#548C\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#4E86\>\<#6307\>\<#6570\>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#7684\>\<#573A\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#5C31\>\<#5192\>\<#51FA\>\<#6765\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#662F\>\<#7528\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#800C\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#6307\>\<#6570\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#6765\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#540E\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#662F\>\<#5426\>\<#4ECD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#5462\>?\<#8FDB\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#4E0A\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#662F\>\<#5426\>\<#90FD\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#5462\>?
  \<#8FD9\>\<#7531\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#56DE\>\<#7B54\>

  <\theorem>
    <label|theorem:real-exponent-compute-rule>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\> <math|x>\<#548C\>
    <math|y>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    (1).

    <\equation*>
      a<rsup|x+y>=a<rsup|x>*a<rsup|y>
    </equation*>

    (2).

    <\equation*>
      a<rsup|-x>=<frac|1|a<rsup|x>>
    </equation*>
  </theorem>

  \<#4E3A\>\<#4E86\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5F15\>\<#7406\>

  <\lemma>
    <label|lemma:a-power-rn-to-a-pow-r-when-rational-rn-to-rational-r>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>
    <math|r<rsub|n>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|r>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
    a<rsup|r<rsub|n>>=a<rsup|r>>.
  </lemma>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#7531\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|r<rsub|n>>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|r>\<#5373\>\<#77E5\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|r<rsub|n>-r>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#7531\><reference|lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0>\<#5373\>\<#77E5\>
    <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsup|r<rsub|n>-r>=1>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsup|r<rsub|n>>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      a<rsup|r+<around|(|r<rsub|n>-r|)>>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      a<rsup|r>*a<rsup|r<rsub|n>-r>=a<rsup|r>*lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      a<rsup|r<rsub|n>-r>=a<rsup|r>
    </equation*>
  </proof>

  \<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\><reference|theorem:real-exponent-compute-rule>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>(1).\<#53EA\>\<#9700\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#4E2D\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>
    <math|x>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|x<rsub|n>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4EE5\>
    <math|x>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsup|x<rsub|n>+y>=a<rsup|x<rsub|n>>\<cdot\>a<rsup|y>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\> <math|x<rsub|n>+y>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4EE5\>
    <math|x+y>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|x+y>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|a<rsup|x+y>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|a<rsup|x>*a<rsup|y>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#6027\>\<#5373\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> a<rsup|x<rsub|n>+y>=lim<rsub|n\<to\>\<infty\>>
      a<rsup|x<rsub|n>>\<cdot\>a<rsup|y>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\>

    <\equation*>
      a<rsup|x+y>=a<rsup|x>*a<rsup|y>
    </equation*>

    \<#5F53\> <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#90FD\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|x<rsub|n>>\<#548C\> <math|y<rsub|n>>\<#662F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#522B\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsup|x<rsub|n>+y<rsub|n>>=a<rsup|x<rsub|n>>*a<rsup|y<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#4EE5\>
    <math|a<rsup|x>*a<rsup|y>>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|x+y>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|x<rsub|n>+y<rsub|n>>\<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|x+y>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|a<rsup|x+y>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|x+y>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|x<rsub|n>+y<rsub|n>>\<#662F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|x+y>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#7531\><reference|lemma:a-power-rn-to-a-pow-r-when-rational-rn-to-rational-r>\<#77E5\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E5F\>\<#662F\>
    <math|a<rsup|x+y>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#65E0\>\<#8BBA\>
    <math|x+y>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#8FD8\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#90FD\>\<#4EE5\>
    <math|a<rsup|x+y>>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5F97\>
    <math|a<rsup|x+y>=a<rsup|x>*a<rsup|y>>.

    (2). \<#540C\>\<#6837\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|x>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|x<rsub|n>>\<#4EE5\> <math|x>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsup|-x<rsub|n>>=<frac|1|a<rsup|x<rsub|n>>>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\> <math|-x<rsub|n>>\<#662F\>\<#4EE5\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|-x>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#4EE5\>
    <math|a<rsup|-x>>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#663E\>\<#7136\>\<#4EE5\>
    <math|1/a<rsup|x>>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#6709\>\<#4E86\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#6761\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#6709\>

  <\equation*>
    a<rsup|x-y>=<frac|a<rsup|x>|a<rsup|y>>
  </equation*>

  \<#6240\>\<#4EE5\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5E42\>\<#7684\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#5185\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#3002\>

  \<#65E2\>\<#7136\>\<#6307\>\<#6570\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#5230\>\<#4E86\>\<#5168\>\<#4F53\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5C06\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#6269\>\<#5145\>\<#5230\>\<#5168\>\<#4F53\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#4E0A\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5148\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>R\<#90FD\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#7684\>

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|a\<gtr\>1>\<#4E14\>
    <math|a\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=a<rsup|x>>\<#5728\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#662F\> <math|R>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#9012\>\<#589E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#65F6\>\<#662F\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5148\>\<#8BC1\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#4EFB\>\<#53D6\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x\<less\>y>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|a<rsup|x>\<less\>a<rsup|y>>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#5904\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#4E2D\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#5047\>\<#5B9A\>
    <math|x>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#800C\>
    <math|y>\<#662F\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5728\>
    <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#53D6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|z>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|x\<less\>z\<less\>y>(\<#8FD9\>\<#603B\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#529E\>\<#5230\>\<#7684\>)\<#FF0C\>\<#7136\>\<#540E\>\<#8BBE\>
    <math|x<rsub|n>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|x>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7531\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#548C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#4FDD\>\<#53F7\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|n>>\<#4E2D\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#4ECE\>\<#67D0\>\<#9879\>\<#8D77\>\<#6052\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      a<rsup|x<rsub|n>>\<less\>a<rsup|z>\<less\>a<rsup|y>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5373\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      a<rsup|x>\<leqslant\>a<rsup|z>\<less\>a<rsup|y>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>
    <math|a<rsup|x>\<less\>a<rsup|y>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#5F15\>\<#5165\>
    <math|z>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#53BB\>\<#6389\>
    <math|a<rsup|x>\<leqslant\>a<rsup|y>>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#3002\>

    \<#540C\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#8BC1\> <math|x>\<#4E3A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#800C\>
    <math|y>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#770B\>
    <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#90FD\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#5217\>\<#903C\>\<#8FD1\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#5F97\>\<#51FA\>
    <math|a<rsup|x>\<leqslant\>a<rsup|y>>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#53BB\>\<#6389\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\>
    <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#63D2\>\<#5165\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|r>\<#548C\> <math|s>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|x\<less\>r\<less\>s\<less\>y>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#4EE4\>
    <math|x<rsub|n>>\<#548C\> <math|y<rsub|n>>\<#662F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#522B\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|x>\<#548C\> <math|y>\<#7684\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsup|x<rsub|n>>\<less\>a<rsup|r>\<less\>a<rsup|s>\<less\>a<rsup|y<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5373\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      a<rsup|x>\<leqslant\>a<rsup|r>\<less\>a<rsup|s>\<leqslant\>a<rsup|y>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\> <math|a<rsup|x>\<less\>a<rsup|y>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#662F\> <math|R>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#9012\>\<#589E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#77E5\>\<#9053\>
    <math|a<rsup|-x>=1/a<rsup|x>>\<#5BF9\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|x>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#7531\>\<#8FD9\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#9053\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#65F6\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#7684\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#63A5\>\<#7740\>\<#8003\>\<#8651\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
  <math|R>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#96C6\>
  <math|R>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>\<#4E3A\>\<#7740\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#9700\>\<#8981\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>

  <\lemma>
    <label|lemma:a-power-x-to-1-when-real-x-to-0>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|lim<rsub|x\<to\>0> a<rsup|x>=1>
  </lemma>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53EA\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>
    <math|0\<less\>a\<less\>1>\<#662F\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#3002\>

    \<#7531\>\<#5F15\>\<#7406\><reference|lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#53D6\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#5E76\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\>
    <math|a<rsup|x>>\<#8D8B\>\<#4E8E\>1\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#591A\>\<#4E48\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#603B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|<around|\||x|\|>\<less\>\<delta\>>\<#7684\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|x>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\> <math|1-\<varepsilon\>\<less\>a<rsup|x>\<less\>1+\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|<around|\||x|\|>\<less\>\<delta\>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|x>\<#FF0C\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|-\<delta\>,\<delta\>|)>>\<#4E0A\>\<#627E\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|x<rprime|'>>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|0\<less\><around|\||x|\|>\<less\><around|\||x<rprime|'>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#5728\>
    <math|a\<gtr\>1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#5229\>\<#7528\>\<#524D\>\<#9762\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#8FC7\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      1-\<varepsilon\>\<less\>a<rsup|-x<rprime|'>>\<less\>a<rsup|x>\<less\>a<rsup|x<rprime|'>>\<less\>1+\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|-\<delta\>,\<delta\>|)>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#5168\>\<#4F53\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|<around|\||a<rsup|x>-1|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6B64\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5F97\>\<#8BC1\>\<#3002\>
  </proof>

  <\theorem>
    \<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\> <math|R>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=a<rsup|x>>( <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\>
    <math|a\<neq\>1>)\<#FF0C\>\<#662F\> <math|R>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#5728\>
    <math|R>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E00\>\<#70B9\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#90FD\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      a<rsup|x<rsub|0>+h>-a<rsup|x<rsub|0>>=a<rsup|x<rsub|0>>*<around|(|a<rsup|h>-1|)>
    </equation*>

    \<#7531\><reference|lemma:a-power-x-to-1-when-real-x-to-0>\<#5373\>\<#77E5\>
    <math|lim<rsub|h\<to\>0> a<rsup|x<rsub|0>+h>=a<rsup|x<rsub|0>>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#77E5\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#6574\>\<#4E2A\>
    <math|R>\<#4E0A\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#73B0\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>\<#4E86\>\<#5B8C\>\<#6574\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#9006\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\> <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>
  <math|y>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|x>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#65B9\>\<#7A0B\>
  <math|a<rsup|x>=y>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\> <math|x>\<#662F\>
  <math|y>\<#7684\>\<#4EE5\> <math|a>\<#4E3A\>\<#5E95\>\<#7684\>
  <em|\<#5BF9\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#6307\>\<#6570\>\<#548C\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#4E92\>\<#4E3A\>\<#9006\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#3002\>

  \<#5BF9\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#65B9\>\<#7A0B\>
  <math|a<rsup|x>=y>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|x>\<#662F\>\<#5426\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5462\>\<#FF0C\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|y>\<#5FC5\>\<#987B\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#5417\>\<#FF1F\>\<#4E3A\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8FD8\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6027\>\<#8D28\>

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|a\<gtr\>0>\<#4E14\>
    <math|a\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=a<rsup|x>>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#53D6\>\<#904D\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6362\>\<#53E5\>\<#8BDD\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#503C\>\<#57DF\>\<#662F\>
    <math|<around|(|0,+\<infty\>|)>>.
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#5229\>\<#7528\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4ECB\>\<#503C\>\<#6027\>\<#4FBF\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\>\<#672C\>\<#8282\>\<#7684\>\<#540E\>\<#6587\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#3002\>

  <subsection|\<#521D\>\<#7B49\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>><label|sec:continuousness-of-elementary-function>

  \<#5728\>\<#4E2D\>\<#5B66\>\<#91CC\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#63A5\>\<#89E6\>\<#8FC7\>\<#51E0\>\<#7C7B\>
  <em|\<#57FA\>\<#672C\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#51FD\>\<#6570\>>:
  \<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3001\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3001\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3001\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>.
  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#5C0F\>\<#8282\>\<#91CC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#7684\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6709\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5C31\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E86\>\<#3002\>

  1. \<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>

  <\theorem>
    \<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>=x<rsup|p>>\<#5728\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#7684\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|p\<less\>0>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|f<around|(|x|)>=1/x<rsup|-p>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|p\<gtr\>0>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#3002\>

    \<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\> <math|p>\<#662F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#65F6\>\<#7531\>

    <\equation*>
      <around|(|x<rsub|0>+h|)><rsup|p>-x<rsub|0><rsup|p>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>C<rsub|n><rsup|i>*x<rsub|0><rsup|p-i>*h<rsup|i>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#5F53\> <math|h\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#7684\>\<#5404\>\<#9879\>(\<#6709\>\<#9650\>\<#9879\>)\<#90FD\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>0\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>+h|)><rsup|p>\<to\>x<rsub|0><rsup|p>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#FF0C\>
    <math|p>\<#4E3A\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#5F97\>\<#8BC1\>\<#3002\>
  </proof>

  2. \<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>

  <\theorem>
    \<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>=a<rsup|x>*<around|(|a\<gtr\>0,a\<neq\>1|)>>\<#662F\>
    <math|R>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#5C0F\>\<#8282\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#4E86\>\<#3002\>

  3. \<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>.

  <\theorem>
    \<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>=sin
    x>\<#5728\> <math|R>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|g<around|(|x|)>=cos x>\<#5728\>
    <math|R>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#6B63\>\<#5207\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|h<around|(|x|)>=tan x>\<#5728\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#53D6\>
    <math|x<rsub|0>\<in\>R>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      sin <around|(|x<rsub|0>+r|)>-sin x<rsub|0>=2*cos
      <around*|(|x<rsub|0>+<frac|r|2>|)>*sin <frac|h|2>
    </equation*>

    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\><reference|theorem:sinx-over-x-to-1-when-x-to-0>\<#4E2D\>\<#5C31\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
    <math|<around|\||sin x|\|>\<leqslant\><around|\||x|\|>>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x>\<#6052\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5F53\>
    <math|r\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#754C\>\<#91CF\>\<#548C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      lim<rsub|r\<to\>0> sin <around|(|x<rsub|0>+r|)>=sin x<rsub|0>
    </equation*>

    \<#4ECE\>\<#800C\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5728\>
    <math|R>\<#4E0A\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#3002\>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#5B83\>\<#5199\>\<#6210\>

    <\equation*>
      cos x=sin <around*|(|x+<frac|\<pi\>|2>|)>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#548C\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#7684\><reference|theorem:the-continuity-of-combine-function>\<#5373\>\<#77E5\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#3002\>

    \<#6B63\>\<#5207\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#5B83\>\<#8868\>\<#4E3A\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#548C\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5546\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#5546\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#5373\>\<#77E5\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#7684\>\<#5404\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E5F\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#5229\>\<#7528\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#6C42\>\<#6781\>\<#9650\>><label|sec:find-limit-by-continuousness>

  \<#5229\>\<#7528\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6C42\>\<#5F97\>\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#6709\>\<#7528\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>

  <\example>
    <label|example:ln-1+x-equaliant-to-x>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|log<rsub|a><around|(|1+x|)>|x>=log<rsub|a><math-up|e>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <frac|log<rsub|a><around|(|1+x|)>|x>=log<rsub|a><around|(|1+x|)><rsup|1/x>
    </equation*>

    \<#7531\> <math|lim<rsub|x\<to\>0><around|(|1+x|)><rsup|1/x>=<math-up|e>>\<#53CA\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#7279\>\<#522B\>\<#7684\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|ln <around|(|1+x|)>|x>=1
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|ln
    <around|(|1+x|)>=x+o<around|(|x|)>>.
  </example>

  <\example>
    <label|example:e-power-x-1-equalitant-to-x>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|a<rsup|x>-1|x>=ln a
    </equation*>

    \<#53EA\>\<#8981\>\<#4EE4\> <math|t=a<rsup|x>-1>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|a<rsup|x>-1|x>=<frac|t|log<rsub|a><around|(|1+t|)>>
    </equation*>

    \<#800C\> <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>
    <math|t\<to\>0>\<#FF0C\>\<#501F\>\<#7528\>\<#4E0A\>\<#4F8B\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#77E5\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#6709\>\<#6781\>\<#9650\>
    <math|ln a>\<#FF0C\>\<#7279\>\<#522B\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#662F\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|e<rsup|x>-1|x>=1
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|x\<to\>0>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\>
    <math|e<rsup|x>=1+x+o<around|(|x|)>>
  </example>

  <\example>
    <label|example:1-plus-x-power-subtract-1-equalitant-to-x>\<#5728\>\<#524D\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#7840\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|\<mu\>>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|<around|(|1+x|)><rsup|\<mu\>>-1|x>=\<mu\>
    </equation*>
  </example>

  <section|\<#591A\>\<#5143\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>><label|sec:limit-and-continuousness-of-multivar-fun>

  <subsection|\<#591A\>\<#5143\>\<#51FD\>\<#6570\>><label|sec:multivar-function>

  <subsection|\<#4E8C\>\<#5143\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>><label|sec:limit-of-two-variable-function>

  <subsection|\<#7D2F\>\<#6B21\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#91CD\>\<#6781\>\<#9650\>><label|sec:cascade-limit-and-overlay-limit>

  <subsection|\<#4E8C\>\<#5143\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>>

  <chapter|\<#5FAE\>\<#5206\>\<#5B66\>>

  <section|\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#5FAE\>\<#5206\>><label|sec:derivative-and-differtial>

  <subsection|\<#6982\>\<#5FF5\>\<#4E0E\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#610F\>\<#4E49\>><label|sec:concept-of-derivative>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\definition>
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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
      f<rsub|-><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|->>
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    </equation*>
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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
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  </definition>

  <\example>
    \<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>=C>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#589E\>\<#91CF\>\<#59CB\>\<#7EC8\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#8BBE\> <math|n\<in\>\<bbb-Z\>>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#6C42\>\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=x<rsup|n>*<around|(|n\<in\>N<rsub|+>|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <frac|x<rsup|n>-x<rsub|0><rsup|n>|x-x<rsub|0>>=x<rsup|n-1>+x<rsup|n-2>*x<rsub|0>+\<cdots\>+x*x<rsub|0><rsup|n-2>+x<rsub|0><rsup|n-1>
    </equation*>

    \<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#5728\>
    <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#65F6\>\<#663E\>\<#7136\>\<#4EE5\>
    <math|n*x<rsub|0><rsup|n-1>>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#8BE5\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <around|(|x<rsup|n>|)><rprime|'>=n*x<rsup|n-1>
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    \<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>=<frac|1|x>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>\<neq\>0>\<#5904\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|<frac|1|x>-<frac|1|x<rsub|0>>|x-x<rsub|0>>=-<frac|1|x*x<rsub|0>>
    </equation*>

    \<#4EE4\> <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#77E5\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>\<#662F\>
    <math|-<frac|1|x<rsub|0><rsup|2>>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|(|<frac|1|x>|)><rprime|'>=-<frac|1|x<rsup|2>>
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    \<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>=<sqrt|x>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|<sqrt|x>-<sqrt|x<rsub|0>>|x-x<rsub|0>>=<frac|1|<sqrt|x>+<sqrt|x<rsub|0>>>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>\<#662F\>
    <math|<frac|1|2*<sqrt|x<rsub|0>>>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <around*|(|<sqrt|x>|)><rprime|'>=<frac|1|2*<sqrt|x>>
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\> <reference|example:limit-of-sinx-sinx0-over-x-x0>
    \<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>:

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|sin x-sin x<rsub|0>|x-x<rsub|0>>=cos
      x<rsub|0>,lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|cos x-cos
      x<rsub|0>|x-x<rsub|0>>=-sin x<rsub|0>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|(|sin x|)><rprime|'>=cos x,<around|(|cos x|)><rprime|'>=-sin x
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    \<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#6C42\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>=a<rsup|x>*<around|(|a\<gtr\>0,a\<neq\>1|)>>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#70B9\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#3002\>
    \<#5229\>\<#7528\>\<#5728\> <reference|example:e-power-x-1-equalitant-to-x>
    \<#4E2D\>\<#6C42\>\<#5F97\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|a<rsup|x>-a<rsup|x<rsub|0>>|x-x<rsub|0>>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
      a<rsup|x<rsub|0>>*<frac|a<rsup|x-x<rsub|0>>-1|x-x<rsub|0>>=lim<rsub|h\<to\>0>
      a<rsup|x<rsub|0>>*<frac|a<rsup|h>-1|h>=a<rsup|x<rsub|0>>*ln a
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|(|a<rsup|x>|)><rprime|'>=a<rsup|x>*ln a
    </equation*>

    \<#7279\>\<#522B\>\<#7684\>\<#6709\> <math|<around|(|e<rsup|x>|)><rprime|'>=e<rsup|x>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>
    <math|<math-up|e>>\<#4E3A\>\<#5E95\>\<#7684\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#81EA\>\<#5DF1\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#975E\>\<#5E38\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#4E14\>\<#6709\>\<#8DA3\>.
  </example>

  <\example>
    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\><reference|example:function-with-continuous-at-single-point>\<#4E2D\>\<#5229\>\<#7528\>\<#72C4\>\<#5229\>\<#514B\>\<#96F7\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6784\>\<#9020\>\<#4E86\>\<#4EC5\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4F8B\>\<#5B50\>:
    <math|f<around|(|x|)>=x*D<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6307\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#867D\>\<#7136\>\<#5728\>
    <math|x=0>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#5904\>\<#5374\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5F53\>
    <math|x>\<#5206\>\<#522B\>\<#53D6\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#503C\>\<#548C\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#503C\>\<#5E76\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#53D8\>\<#5316\>\<#7387\>

    <\equation*>
      <frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|0|)>|x-0>=<frac|f<around|(|x|)>|x>=D<around|(|x|)>
    </equation*>

    \<#5206\>\<#522B\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#5347\>\<#6B21\>\<#FF0C\>\<#53D8\>\<#6210\>

    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=x<rsup|2>*D<around|(|x|)>
    </equation*>

    \<#6B64\>\<#65F6\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|0|)>|x-0>=lim<rsub|x\<to\>0>
      x*D<around|(|x|)>=0
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#65B0\>\<#6784\>\<#9020\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x=0>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#800C\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#9664\>
    <math|x=0>\<#4E4B\>\<#5916\>\<#7684\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#5747\>\<#4E0D\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#4EC5\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#4E14\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#6C42\>\<#5BFC\>\<#6CD5\>\<#5219\>><label|sec:rule-of-derivative>

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E14\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|u<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>+g<around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|v<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>-g<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>

    <\equation*>
      u<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>+g<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>,v<rprime|'><around|(|x|)>=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>-g<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>
    </equation*>
  </theorem>

  \<#53EA\>\<#8981\>\<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\>
  <math|\<Delta\>*u=\<Delta\>*f+\<Delta\>*g>\<#4EE5\>\<#53CA\>
  <math|\<Delta\>*v=\<Delta\>*f+\<Delta\>*g>\<#5373\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#77E5\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#3002\>

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|u<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>

    <\equation*>
      u<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*g<around|(|x<rsub|0>|)>+f<around|(|x<rsub|0>|)>*g<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#56E0\>\<#4E3A\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|u<around|(|x|)>-u<around|(|x<rsub|0>|)>>|<cell|=>|<cell|f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>*g<around|(|x<rsub|0>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around|[|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|]>*g<around|(|x|)>+f<around|(|x<rsub|0>|)>*<around|[|g<around|(|x|)>-g<around|(|x<rsub|0>|)>|]>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <frac|u<around|(|x|)>-u<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>=<frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>*g<around|(|x|)>+f<around|(|x<rsub|0>|)><frac|g<around|(|x|)>-g<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>
    </equation*>

    \<#4E24\>\<#8FB9\>\<#4EE4\> <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.
  </proof>

  \<#5229\>\<#7528\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#628A\>\<#8FD9\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#591A\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>:

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#6709\>\<#82E5\>\<#5E72\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rsub|i><around|(|x|)><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#90FD\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#53C8\>\<#82E5\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#90FD\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|P<around|(|x|)>=<big|prod><rsub|i=1><rsup|n>f<rsub|i><around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>

    <\equation*>
      P<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=<big|prod><rsub|i=1><rsup|n>f<rsub|i><around|(|x<rsub|0>|)>\<cdot\><big|sum><rsub|i=1><rsup|n><frac|f<rsub|i><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>|f<rsub|i><around|(|x<rsub|0>|)>>
    </equation*>
  </theorem>

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E14\>
    <math|f<around|(|x|)>\<neq\>0>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|u<around|(|x|)>=<frac|1|f<around|(|x|)>>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6709\>

    <\equation*>
      u<rprime|'><around|(|x|)>=-<frac|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>|f<rsup|2><around|(|x<rsub|0>|)>>
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#56E0\>\<#4E3A\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|u<around|(|x|)>-u<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>>|<cell|=>|<cell|<frac|<frac|1|f<around|(|x|)>>-<frac|1|f<around|(|x<rsub|0>|)>>|x-x<rsub|0>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|-<frac|1|f<around|(|x|)>*f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<cdot\><frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#4EE4\> <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#53D6\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.
  </proof>

  \<#7531\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#63A8\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#5F53\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#63A8\>\<#8BBA\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#7684\>\<#3002\>
  <\corollary>
    \<#51FD\>\<#6570\> <math|y=C*f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>
    <math|y<rprime|'>=C*f<rprime|'><around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|C>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#3002\>
  </corollary>

  \<#7531\>\<#4EE5\>\<#4E0A\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#628A\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5546\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|<frac|f<around|(|x|)>|g<around|(|x|)>>>\<#5199\>\<#6210\>
  <math|f<around|(|x|)>\<cdot\><frac|1|g<around|(|x|)>>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#5230\>

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E14\>
    <math|g<around|(|x|)>\<neq\>0>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#90FD\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|u<around|(|x|)>=<frac|f<around|(|x|)>|g<around|(|x|)>>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#6709\>

    <\equation*>
      u<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=<frac|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*g<around|(|x<rsub|0>|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>*g<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>|g<rsup|2><around|(|x<rsub|0>|)>>
    </equation*>
  </theorem>

  <\example>
    \<#8003\>\<#5BDF\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=a<rsub|n>*x<rsup|n>+a<rsub|n-1>*x<rsup|n-1>+\<cdots\>+a<rsub|1>*x+a<rsub|0>
    </equation*>

    \<#73B0\>\<#5728\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#5F97\>\<#77E5\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>

    <\equation*>
      f<rprime|'><around|(|x|)>=n*a<rsub|n>*x<rsup|n-1>+<around|(|n-1|)>*a<rsub|n-1>*x<rsup|n-2>+\<cdots\>+2*a<rsub|2>*x+a<rsub|1>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\> <math|n>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>
    <math|n-1>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#7531\>\<#5546\>\<#7684\>\<#6C42\>\<#5BFC\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#6B63\>\<#5207\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|tan <rprime|'>x>|<cell|=>|<cell|<around*|(|<frac|sin
      x|cos x>|)><rprime|'>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|<around|(|sin
      x|)><rprime|'>*cos x-sin x<around|(|cos x|)><rprime|'>|cos<rsup|2>
      x>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|cos<rsup|2> x+sin<rsup|2>
      x|cos<rsup|2> x>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<frac|1|cos<rsup|2>
      x>=sec<rsup|2> x>>>>
    </eqnarray*>

    \<#4EE5\>\<#53CA\>

    <\equation*>
      <around|(|sec x|)><rprime|'>=<frac|sin x|cos<rsup|2> x>,<around|(|csc
      x|)><rprime|'>=-<frac|cos x|sin<rsup|2> x>
    </equation*>
  </example>

  <subsection|\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>><label|sec:derivative-of-revert-function>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#975E\>\<#96F6\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5176\>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|x=\<varphi\><around|(|y|)>>\<#5728\>
    <math|y<rsub|0>=f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#5904\>\<#4EA6\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>

    <\equation*>
      \<varphi\><rprime|'><around|(|y<rsub|0>|)>=<frac|1|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#4E14\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#4E8E\>
    <math|y\<to\>y<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|y\<to\>y<rsub|0>> <frac|\<varphi\><around|(|y|)>-\<varphi\><around|(|y<rsub|0>|)>|y-y<rsub|0>>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
      <frac|x-x<rsub|0>|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>>=<frac|1|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>
    </equation*>
  </proof>

  <\example>
    \<#7531\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=a<rsup|x>*<around|(|a\<gtr\>0,a\<neq\>1|)>>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>
    <math|y<rprime|'>=a<rsup|x>*ln a>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|x=log<rsub|a> y>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|x<rprime|'>=<frac|1|a<rsup|x>*ln
    a>=<frac|log<rsub|a><math-up|e>|y>>\<#FF0C\>\<#7279\>\<#522B\>\<#7684\>\<#662F\>
    <math|<around|(|ln x|)><rprime|'>=<frac|1|x>>.
  </example>

  <\example>
    \<#6765\>\<#6C42\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#53CD\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>
    <math|<around|(|sin x|)><rprime|'>=cos x>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      <around|(|arcsin y|)><rprime|'>=<frac|1|<around|(|sin
      x|)><rprime|'>>=<frac|1|cos x>=<frac|1|<sqrt|1-y<rsup|2>>>
    </equation*>

    \<#6CE8\>\<#610F\>\<#53CD\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#7684\>\<#53D6\>\<#503C\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#662F\>
    <math|<around|(|-<frac|\<pi\>|2>,<frac|\<pi\>|2>|)>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#53CD\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#53EF\>\<#6C42\>\<#5F97\>\<#53CD\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <around|(|arccos y|)><rprime|'>=-<frac|1|<sqrt|1-y<rsup|2>>>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#53CD\>\<#6B63\>\<#5207\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|(|arctan y|)><rprime|'>=<frac|1|<around|(|tan
      x|)><rprime|'>>=cos<rsup|2> x=<frac|1|1+tan<rsup|2>
      x>=<frac|1|1+y<rsup|2>>
    </equation*>
  </example>

  <subsection|\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>><label|sec:derivative-of-embed-function>

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|u=\<varphi\><around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=f<around|(|u|)>>\<#5728\> <math|u<rsub|0>=\<varphi\><around|(|x|)>>\<#5904\>\<#4EA6\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|y=f<around|(|u|)>>\<#5728\> <math|u<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#6052\>\<#4E0D\>\<#4E0E\>
    <math|f<around|(|u<rsub|0>|)>>\<#76F8\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=f<around|(|\<varphi\><around|(|x|)>|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E3A\>
    <math|f<rprime|'><around|(|u<rsub|0>|)>*\<varphi\><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#7531\> <math|x=\<varphi\><around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#65F6\>\<#4EA6\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|u\<to\>u<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5728\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      <frac|f<around|(|\<varphi\><around|(|x|)>|)>-f<around|(|\<varphi\><around|(|x<rsub|0>|)>|)>|x-x<rsub|0>>=<frac|f<around|(|\<varphi\><around|(|x|)>|)>-f<around|(|\<varphi\><around|(|x<rsub|0>|)>|)>|\<varphi\><around|(|x|)>-\<varphi\><around|(|x<rsub|0>|)>>\<cdot\><frac|\<varphi\><around|(|x|)>-\<varphi\><around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>=<frac|f<around|(|u|)>-f<around|(|u<rsub|0>|)>|u-u<rsub|0>>\<cdot\><frac|\<varphi\><around|(|x|)>-\<varphi\><around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>
    </equation*>

    \<#4E24\>\<#8FB9\>\<#4EE4\> <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.
  </proof>

  \<#6839\>\<#636E\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=f<around|(|\<varphi\><around|(|x|)>|)>>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>
  <math|y<rprime|'>=f<rprime|'><around|(|\<varphi\><around|(|x|)>|)>*\<varphi\><rprime|'><around|(|x|)>>.

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#4F59\>\<#5F26\>
    <math|y=cos x=<frac|e<rsup|x>+e<rsup|-x>|2>>\<#770B\>\<#6210\>
    <math|\<varphi\><around|(|x|)>=e<rsup|x>>\<#4EE5\>\<#53CA\>
    <math|f<around|(|x|)>=<frac|u+<frac|1|u>|2>>\<#7684\>\<#590D\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|(|cosh x|)><rprime|'>=<around*|(|<frac|<math-up|e><rsup|x>+<math-up|e><rsup|-x>|2>|)><rprime|'>=<frac|<math-up|e><rsup|x>-<math-up|e><rsup|-x>|2>=sinh
      x
    </equation*>

    \<#540C\>\<#6837\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|(|sinh x|)><rprime|'>=cosh x
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#8DDF\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6C42\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#975E\>\<#5E38\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8FD8\>\<#4F1A\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#5F88\>\<#591A\>\<#65B9\>\<#9762\>\<#90FD\>\<#8DDF\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6709\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#628A\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=cos x>\<#5199\>\<#6210\> <math|y=sin
    <around*|(|x+<frac|\<pi\>|2>|)>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#770B\>\<#6210\>\<#662F\>\<#7531\>
    <math|y=sin u>\<#4EE5\>\<#53CA\> <math|u=x+<frac|\<pi\>|2>>\<#590D\>\<#5408\>\<#800C\>\<#6210\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <around|(|cos x|)><rprime|'>=<around|(|sin
      u|)><rprime|'>\<cdot\>u<rprime|'><around|(|x|)>=cos u=cos
      <around*|(|x+<frac|\<pi\>|2>|)>=-sin x
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|x<rsup|n>*<around|(|x\<gtr\>0,n\<in\>\<bbb-N\><rsub|+>|)>>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>
    <math|n*x<rsup|n-1>>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|x<rsup|p>*<around|(|x\<gtr\>0,p\<in\>\<bbb-R\>|)>>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#662F\>
    <math|p*x<rsup|p-1>>.

    \<#663E\>\<#7136\> <math|p=0>\<#65F6\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|p>\<#4E3A\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>
    <math|<frac|m|n>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E0B\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      <frac|<around|(|x+\<Delta\>*x|)><rsup|m/n>-x<rsup|m/n>|\<Delta\>*x>
    </equation*>

    \<#4EE4\> <math|a=<around|(|x+\<Delta\>*x|)><rsup|m/n>>\<#53CA\>
    <math|b=x<rsup|m/n>>\<#5E76\>\<#501F\>\<#7528\>\<#516C\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      a-b=<frac|a<rsup|n>-b<rsup|n>|a<rsup|n-1>+a<rsup|n-2>*b+\<cdots\>+a*b<rsup|n-2>+b<rsup|n-1>>
    </equation*>

    \<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|<around|(|x+\<Delta\>*x|)><rsup|m/n>-x<rsup|m/n>|\<Delta\>*x>=<frac|<around|(|x+\<Delta\>*x|)><rsup|m>-x<rsup|m>|\<Delta\>*x*<around|(|a<rsup|n-1>+a<rsup|n-2>*b+\<cdots\>+a*b<rsup|n-2>+b<rsup|n-1>|)>>
    </equation*>

    \<#4EE4\> <math|\<Delta\>*x\<to\>0>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|<around|(|x+\<Delta\>*x|)><rsup|m>-x<rsup|m>|\<Delta\>*x>\<to\>m*x<rsup|m-1>
    </equation*>

    \<#800C\>\<#56E0\>\<#5B50\> <math|a<rsup|n-1>+a<rsup|n-2>*b+\<cdots\>+a*b<rsup|n-2>+b<rsup|n-1>>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>
    <math|x<rsup|m*<around|(|n-1|)>/n>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#5F0F\>\<#5B50\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4FBF\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <frac|m*x<rsup|m-1>|n*x<rsup|m*<around|(|n-1|)>/n>>=<frac|m|n>*x<rsup|<frac|m|n>-1>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|p\<in\>\<bbb-Q\>>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#3002\>

    \<#4F46\>\<#5F53\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5230\>
    <math|p>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7406\>\<#6570\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#9762\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#5C31\>\<#5931\>\<#6548\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4E0D\>\<#5F97\>\<#4E0D\>\<#5BFB\>\<#6C42\>\<#522B\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>
    <math|x<rsup|p>>\<#5199\>\<#6210\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>
    <math|y=<math-up|e><rsup|p*ln x>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6C42\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <around|(|x<rsup|p>|)><rprime|'>=<around|(|<math-up|e><rsup|p*ln
      x>|)><rprime|'>=<math-up|e><rsup|p*ln x>\<cdot\><around|(|p*ln
      x|)><rprime|'>=<math-up|e><rsup|p*ln x>\<cdot\><frac|p|x>=p*x<rsup|p-1>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#4EFF\>\<#4E0A\>\<#4F8B\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|u<around|(|x|)>>\<#548C\> <math|v<around|(|x|)>>\<#5747\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#6C42\>
    <math|y=u<around|(|x|)><rsup|v<around|(|x|)>>>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#628A\>\<#5B83\>\<#5199\>\<#6210\>
    <math|y=<math-up|e><rsup|v<around|(|x|)>*ln
    u<around|(|x|)>>>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#6C42\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      y<rprime|'>=e<rsup|v<around|(|x|)>*ln
      u<around|(|x|)>>*<around|(|v<around|(|x|)>*ln
      u<around|(|x|)>|)><rprime|'>=u<around|(|x|)><rsup|v<around|(|x|)>>*<around|(|v<rprime|'><around|(|x|)>*ln
      u<around|(|x|)>+<frac|v<around|(|x|)>*u<rprime|'><around|(|x|)>|u<around|(|x|)>>|)>
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    \<#5047\>\<#5982\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|x=0>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#5947\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|x>\<#6210\>\<#7ACB\> <math|f*<around|(|-x|)>=-f<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#662F\>\<#5076\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#4E4B\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#662F\>\<#5076\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#662F\>\<#5947\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#548C\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8EAB\>\<#4E0A\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#3002\>
  </example>

  <subsection|\<#6C42\>\<#5BFC\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#8868\>><label|sec:table-of-derivative-formule>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>\<#5230\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#4E3A\>\<#6B62\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#6C42\>\<#5F97\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#5217\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#91CC\>:

  1. \<#5E38\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|<around|(|C|)><rprime|'>=0>

  2. \<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|<around|(|x<rsup|p>|)><rprime|'>=p*x<rsup|p-1>,<around|(|p\<in\>\<bbb-R\>,x\<gtr\>0|)>>.

  3. \<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|<around|(|a<rsup|x>|)><rprime|'>=a<rsup|x>*ln
  a>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|<around|(|log<rsub|a>
  x|)><rprime|'>=<frac|log<rsub|a><math-up|e>|x>>\<#FF0C\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#662F\>
  <math|<around|(|<math-up|e><rsup|x>|)><rprime|'>=<math-up|e><rsup|x>>\<#4E0E\>
  <math|<around|(|ln x|)><rprime|'>=<frac|1|x>>.

  4. \<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#53CD\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|<around|(|sin x|)><rprime|'>=cos x>\<#FF0C\> <math|<around|(|cos
  x|)><rprime|'>=-sin x>\<#FF0C\> <math|<around|(|tan
  x|)><rprime|'>=sec<rsup|2> x>\<#FF0C\> <math|<around|(|arcsin
  x|)><rprime|'>=<frac|1|<sqrt|1-x<rsup|2>>>>\<#FF0C\> <math|<around|(|arccos
  x|)><rprime|'>=-<frac|1|<sqrt|1-x<rsup|2>>>>\<#FF0C\>
  <math|<around|(|arctan x|)><rprime|'>=<frac|1|1+x<rsup|2>>>.

  <subsection|\<#53C2\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>><label|sec:derivative-of-parametered-function>

  \<#524D\>\<#9762\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#63D0\>\<#8FC7\>\<#FF0C\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#80CC\>\<#666F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#6C42\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#4E0A\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5207\>\<#7EBF\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#5728\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#662F\>\<#7528\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>
  <math|y=f<around|(|x|)>>\<#6765\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#4E0B\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#901A\>\<#5E38\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#662F\>\<#7531\>\<#53C2\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6BD4\>\<#5982\>\<#5706\>\<#7684\>\<#53C2\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#662F\>
  <math|x=cos \<theta\>,y=sin \<theta\>>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#4E00\>\<#6BB5\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#7684\>\<#53C2\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#662F\>

  <\equation*>
    <choice|<tformat|<table|<row|<cell|x=x<around|(|t|)>>>|<row|<cell|y=y<around|(|t|)>>>>>>
  </equation*>

  \<#5047\>\<#5B9A\>\<#53C2\>\<#6570\> <math|t>\<#5728\>
  <math|t<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#53D8\>\<#5316\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <frac|\<Delta\>*y|\<Delta\>*x>=<frac|y*<around|(|t+\<Delta\>*t|)>-y<around|(|t|)>|x*<around|(|t+\<Delta\>*t|)>-x<around|(|t|)>>=<frac|y*<around|(|t+\<Delta\>*t|)>-y<around|(|t|)>|\<Delta\>*t>\<cdot\><frac|\<Delta\>*t|x*<around|(|t+\<Delta\>*t|)>-x<around|(|t|)>>
  </equation*>

  \<#4EE4\> <math|\<Delta\>*t\<to\>0>\<#4FBF\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    <frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>=<frac|y<rprime|'><around|(|t|)>|x<rprime|'><around|(|t|)>>
  </equation*>

  \<#5F53\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#9700\>\<#8981\>
  <math|x<rprime|'><around|(|t|)>\<neq\>0>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#53C2\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#516C\>\<#5F0F\>.

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5706\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#53C2\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <choice|<tformat|<table|<row|<cell|x=cos \<theta\>>>|<row|<cell|y=sin
      \<theta\>>>>>>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#5728\> <math|\<theta\>=\<theta\><rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>=-cot \<theta\><rsub|0>
    </equation*>
  </example>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|y=f<around|(|x|)>>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#6210\>\<#662F\>\<#7531\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#53C2\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#51B3\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#7EBF\>

  <\equation*>
    <choice|<tformat|<table|<row|<cell|x=t>>|<row|<cell|y=f<around|(|t|)>>>>>>
  </equation*>

  <subsection|\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>><label|sec:high-level-derivative>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#6761\>\<#4E0D\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#4E0D\>\<#95F4\>\<#6BB5\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#53C8\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#5448\>\<#73B0\>\<#51FA\>\<#5149\>\<#6ED1\>\<#65E0\>\<#8F6C\>\<#6298\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#7279\>\<#5F81\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#4F1A\>\<#95EE\>\<#5230\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#5426\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#3002\>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#7684\><em|\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|f<rprime|''><around|(|x|)>>\<#6216\>\<#8005\>
    <math|<frac|\<mathd\><rsup|2>y|\<mathd\>x<rsup|2>>>\<#FF0C\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\><em|\<#4E09\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>>
    <math|<frac|\<mathd\><rsup|3>y|\<mathd\>x<rsup|3>>>\<#6216\>\<#8005\>
    <math|y<rsup|<around|(|3|)>>>\<#6216\>\<#8005\>
    <math|f<rsup|<around|(|3|)>><around|(|x|)>>\<#3001\><em|\<#56DB\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>>
    <math|<frac|\<mathd\><rsup|4>y|\<mathd\>x<rsup|4>>>\<#6216\>\<#8005\>
    <math|f<rsup|<around|(|4|)>><around|(|x|)>>...
    <math|n>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\> <math|<frac|\<mathd\><rsup|n>y|\<mathd\>x<rsup|n>>>\<#6216\>\<#8005\>
    <math|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#7EDF\>\<#79F0\><em|\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>>.
  </definition>

  \<#4E0B\>\<#9762\>\<#8003\>\<#8651\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#3002\>

  1. \<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|y=x<rsup|p>*<around|(|x\<gtr\>0,p\<in\>\<bbb-R\>|)>>.

  \<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

  <\align*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>>|<cell|=p*x<rsup|p-1>>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|2>t|\<mathd\>x<rsup|2>>>|<cell|=p*<around|(|p-1|)>*x<rsup|p-2>>>|<row|<cell|\<cdots\>>|<cell|>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|n>y|\<mathd\>x<rsup|n>>>|<cell|=p*<around|(|p-1|)>*\<cdots\>*<around|(|p-n+1|)>*x<rsup|p-n>>>>>
  </align*>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6307\>\<#6570\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
  <math|m>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|x<rsup|m>*<around|(|m\<in\>\<bbb-N\><rsub|+>|)>>\<#7684\>\<#4E00\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#662F\>
  <math|m-1>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#662F\>
  <math|m-2>\<#9636\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>
  <math|m>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#5219\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#9636\>\<#6570\>\<#66F4\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#5C06\>\<#6052\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>

  2. \<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=a<rsup|x>*<around|(|a\<gtr\>0,a\<neq\>1|)>>.

  \<#8FD9\>\<#65F6\>\<#6709\>

  <\align*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>>|<cell|=a<rsup|x>*ln
    a>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|2>y|\<mathd\>x<rsup|2>>>|<cell|=a<rsup|x><around|(|ln
    a|)><rsup|2>>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|3>y|\<mathd\>x<rsup|3>>>|<cell|=a<rsup|x><around|(|ln
    a|)><rsup|3>>>|<row|<cell|\<cdots\>>|<cell|>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|n>y|\<mathd\>x<rsup|n>>>|<cell|=a<rsup|x><around|(|ln
    a|)><rsup|n>>>|<row|<cell|>|<cell|>>>>
  </align*>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|y=<math-up|e><rsup|x>>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#56E0\>\<#4E3A\>
  <math|<frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>=<math-up|e><rsup|x>=y>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#81EA\>\<#5DF1\>\<#3002\>

  3. \<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|y=log<rsub|a>
  x*<around|(|a\<gtr\>0,a\<neq\>1|)>>.

  \<#56E0\>\<#4E3A\>\<#6C42\>\<#4E00\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#540E\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#7ED3\>\<#679C\>.

  <\align*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>>|<cell|=<frac|1|x*ln
    a>>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|2>y|\<mathd\>x<rsup|2>>>|<cell|=-<frac|1|x<rsup|2>*ln
    a>>>|<row|<cell|\<cdots\>>|<cell|>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|n>y|\<mathd\>x<rsup|n>>>|<cell|=<frac|<around|(|-1|)><rsup|n-1>*<around|(|n-1|)>!|x<rsup|n>*ln
    a>>>>>
  </align*>

  \<#7279\>\<#522B\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#662F\>

  <\equation*>
    <frac|\<mathd\><rsup|n><around|(|ln x|)>|\<mathd\>x<rsup|n>>=<frac|<around|(|-1|)><rsup|n-1>*<around|(|n-1|)>!|x<rsup|n>>
  </equation*>

  4. \<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>

  \<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|y=sin
  x*<around|(|x\<in\>\<bbb-R\>|)>>

  <\align*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>>|<cell|=cos
    x=sin<around*|(|x+<frac|\<pi\>|2>|)>>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|2>y|\<mathd\>x<rsup|2>>>|<cell|=-sin
    x=sin <around|(|x+\<pi\>|)>>>|<row|<cell|\<cdots\>>|<cell|>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|n>y|\<mathd\>x<rsup|n>>>|<cell|=sin
    <around*|(|x+<frac|n*\<pi\>|2>|)>>>>>
  </align*>

  \<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#4E5F\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <frac|\<mathd\><rsup|n><around|(|cos x|)>|\<mathd\>x<rsup|n>>=cos
    <around*|(|x+<frac|n*\<pi\>|2>|)>
  </equation*>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#5207\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|y=tan
  x>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#6C42\>\<#51FA\>\<#4F4E\>\<#6570\>\<#8F83\>\<#9AD8\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#4E2A\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#5982\>\<#4E0B\>

  <\align*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>>|<cell|=1+tan<rsup|2>
    x>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|2>y|\<mathd\>x<rsup|2>>>|<cell|=2*tan
    x*<around|(|1+tan<rsup|2> x|)>>>|<row|<cell|<frac|\<mathd\><rsup|3>y|\<mathd\>x<rsup|3>>>|<cell|=<around|(|2+6*tan<rsup|2>
    x|)>*<around|(|1+tan<rsup|2> x|)>>>>>
  </align*>

  \<#7531\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6C42\>\<#5BFC\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#FF0C\>\<#5176\>
  <math|n>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E2D\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5305\>\<#542B\>\<#56E0\>\<#5F0F\>
  <math|1+tan<rsup|2> x>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5173\>\<#4E8E\>
  <math|tan x>\<#7684\> <math|n-1>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    <frac|\<mathd\><rsup|n><around|(|tan x|)>|\<mathd\>x<rsup|n>>=<around|(|1+tan<rsup|2>
    x|)>*g<rsub|n><around|(|tan x|)>
  </equation*>

  \<#6C42\>\<#5BFC\>\<#4FBF\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    <frac|\<mathd\><rsup|n+1>y|\<mathd\>x<rsup|n+1>>=<around|(|1+tan<rsup|2>
    x|)>*<around|[|2*tan xg<rsub|n><around|(|tan x|)>+<around|(|1+tan<rsup|2>
    x|)>*g<rsub|n><rprime|'><around|(|tan x|)>|]>
  </equation*>

  \<#5373\> <math|g<rsub|n><around|(|t|)>>\<#5177\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#9012\>\<#63A8\>\<#516C\>\<#5F0F\>

  <\equation*>
    g<rsub|n+1><around|(|t|)>=2*t*g<rsub|n><around|(|t|)>+<around|(|1+t<rsup|2>|)>*g<rsub|n><rprime|'><around|(|t|)>
  </equation*>

  \<#4E14\> <math|g<rsub|1><around|(|t|)>=1>.

  5. \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#53CD\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>.

  <subsection|\<#83B1\>\<#5E03\>\<#5C3C\>\<#8328\>\<#516C\>\<#5F0F\>><label|sec:Leibniz-formular-for-high-level-derivative-of-multiply>

  \<#8BBE\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#4E0E\> <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6765\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#5B83\>\<#4FE9\>\<#4E4B\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
  <math|h<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6C42\>\<#5BFC\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6C42\>\<#5F97\>

  <\align*>
    <tformat|<table|<row|<cell|h<rprime|'><around|(|x|)>>|<cell|=f<rprime|'><around|(|x|)>*g<around|(|x|)>+f<around|(|x|)>*g<rprime|'><around|(|x|)>>>|<row|<cell|h<rprime|''><around|(|x|)>>|<cell|=f<rprime|''><around|(|x|)>*g<around|(|x|)>+2*f<rprime|'><around|(|x|)>*g<rprime|'><around|(|x|)>+f<around|(|x|)>*g<rprime|''><around|(|x|)>>>|<row|<cell|h<rprime|''''><around|(|x|)>>|<cell|=f<rprime|'''><around|(|x|)>*g<around|(|x|)>+3*f<rprime|''><around|(|x|)>*g<rprime|'><around|(|x|)>+3*f<rprime|'><around|(|x|)>*g<rprime|''><around|(|x|)>+f<around|(|x|)>*g<rprime|'''><around|(|x|)>>>>>
  </align*>

  \<#6613\>\<#89C1\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#975E\>\<#5E38\>\<#76F8\>\<#4F3C\>\<#FF0C\>\<#5229\>\<#7528\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#6027\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>:

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#4E0E\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5171\>\<#540C\>\<#7684\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#76F4\>\<#5230\>
    <math|n>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4E58\>\<#79EF\>
    <math|h<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>>\<#7684\>
    <math|n>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#662F\>

    <\equation*>
      h<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x|)>=<big|sum><rsub|i=0><rsup|n>C<rsub|n><rsup|i>*f<rsup|<around|(|n-i|)>><around|(|x|)>*g<rsup|<around|(|i|)>><around|(|x|)>
    </equation*>
  </theorem>

  <subsection|\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>><label|sec:difference-and-high-level-difference>

  \<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#FF1A\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#3002\>

  \<#5047\>\<#5B9A\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E14\>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>

  <\equation*>
    \<Delta\>*y=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*\<Delta\>*x+o<around|(|\<Delta\>*x|)>
  </equation*>

  \<#5373\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#7684\>\<#589E\>\<#91CF\>
  <math|\<Delta\>*y>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#589E\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#500D\>\<#6570\>
  <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*\<Delta\>*x>\<#4E0E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#589E\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#7684\>\<#589E\>\<#91CF\>
  <math|\<Delta\>*y>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4ECE\>\<#4E2D\>\<#5206\>\<#79BB\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#4E3B\>\<#8981\>\<#6210\>\<#5206\>
  <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*\<Delta\>*x>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#4E3B\>\<#8981\>\<#6210\>\<#5206\>\<#76F8\>\<#6BD4\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5FFD\>\<#7565\>\<#4E0D\>\<#8BA1\>\<#FF08\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF09\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4E3B\>\<#8981\>\<#6210\>\<#5206\>\<#6B63\>\<#597D\>\<#662F\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#589E\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#500D\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#4E3B\>\<#90E8\>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#63D0\>\<#51FA\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#5982\>\<#4E0B\>:

  <\definition>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5E38\>\<#6570\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5F53\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#589E\>\<#91CF\>
    <math|\<Delta\>*x>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#589E\>\<#91CF\>
    <math|\<Delta\>*y>\<#4E0E\> <math|A*\<Delta\>*x>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|\<Delta\>*x>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      \<Delta\>*y=A*\<Delta\>*x+o<around|(|\<Delta\>*x|)>
    </equation*>

    \<#5219\>\<#79F0\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\><em|\<#53EF\>\<#5FAE\>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>
    <math|A*\<Delta\>*x>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\><em|\<#5FAE\>\<#5206\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|\<mathd\>y\|<rsub|x=x<rsub|0>>>\<#6216\>\<#8005\>
    <math|\<mathd\>f<around|(|x<rsub|0>|)>>.
  </definition>

  \<#5FAE\>\<#5206\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#7684\>\<#6838\>\<#5FC3\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4ECE\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E2D\>\<#5206\>\<#79BB\>\<#51FA\>\<#6700\>\<#4E3B\>\<#8981\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6210\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#3002\>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5C31\>\<#6709\>

  <\equation*>
    \<Delta\>*y=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*\<Delta\>*x+o<around|(|\<Delta\>*x|)>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF0C\> <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*\<Delta\>*x>\<#5C31\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>
  <math|A=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#663E\>\<#7136\>
  <math|A>\<#82E5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#6709\>\<#591A\>\<#4E2A\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF1A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5FAE\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#3002\>\<#800C\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#589E\>\<#91CF\>\<#4E4B\>\<#79EF\>\<#3002\>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#628A\>\<#5B83\>\<#770B\>\<#6210\>\<#5B83\>\<#81EA\>\<#5DF1\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>
  <math|\<mathd\>x=\<Delta\>*x>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>\<#901A\>\<#5E38\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    \<mathd\>y=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>\<mathd\>x
  </equation*>

  \<#800C\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#5199\>\<#6210\>
  <math|\<mathd\>y=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*\<Delta\>*x>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#6539\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=<frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#6B63\>\<#662F\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#6BD4\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#88AB\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5FAE\>\<#5546\>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#7B26\>\<#53F7\>
  <math|<frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>>\<#7684\>\<#7531\>\<#6765\>\<#3002\>

  \<#5FAE\>\<#5206\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#8BA1\>\<#7B97\>.

  <\example>
    \<#FF0C\>\<#4F8B\>\<#5982\>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#8BA1\>\<#7B97\>
    <math|<sqrt|4.01>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#5F00\>\<#65B9\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>
    <math|\<mathd\><around|(|<sqrt|x>|)>=<frac|\<mathd\>x|2*<sqrt|x>>>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <sqrt|4.01>\<approx\><sqrt|4>+<frac|0.01|2*<sqrt|4>>=2.0025
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#7CBE\>\<#786E\>\<#503C\>
    <math|<sqrt|4.01>=2.0024984*\<ldots\>>\<#63A5\>\<#8FD1\>\<#7684\>\<#5F88\>\<#597D\>\<#3002\>
  </example>

  \<#6709\>\<#4E86\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6CD5\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#516C\>\<#5F0F\>

  1. <math|y=c>, <math|\<mathd\>y=0>.

  2. <math|y=x<rsup|p>*<around|(|p\<in\>\<bbb-R\>,x\<gtr\>0|)>>,
  <math|\<mathd\>y=p*x<rsup|p-1>\<mathd\>x>.

  3. <math|y=a<rsup|x>*<around|(|a\<gtr\>0,a\<neq\>1|)>>,
  <math|\<mathd\>y=a<rsup|x>*ln a\<mathd\>x>,\<#7279\>\<#6B8A\>\<#60C5\>\<#51B5\>:
  <math|\<mathd\><around|(|<math-up|e><rsup|x>|)>=<math-up|e><rsup|x>\<mathd\>x>.

  4. <math|y=log<rsub|a> x*<around|(|a\<gtr\>0,a\<neq\>1,x\<gtr\>0|)>>,
  <math|\<mathd\>y=<frac|\<mathd\>x|x*ln a>>\<#FF0C\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#60C5\>\<#51B5\>:
  <math|\<mathd\><around|(|ln x|)>=<frac|\<mathd\>x|x>>.

  5. \<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>

  <\equation*>
    \<mathd\><around|(|sin x|)>=cos x\<mathd\>x,\<mathd\><around|(|cos
    x|)>=-sin x\<mathd\>x,\<mathd\><around|(|tan x|)>=sec<rsup|2> x\<mathd\>x
  </equation*>

  6. \<#53CD\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>

  <\equation*>
    \<mathd\><around|(|arcsin x|)>=<frac|\<mathd\>x|<sqrt|1-x<rsup|2>>>,\<mathd\><around|(|arccos
    x|)>=-<frac|\<mathd\>x|<sqrt|1-x<rsup|2>>>,\<mathd\><around|(|arctan
    x|)>=<frac|\<mathd\>x|1+x<rsup|2>>
  </equation*>

  \<#4EE5\>\<#53CA\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#6CD5\>\<#5219\>

  <\enumerate>
    <item> <math|\<mathd\><around|(|c*f<around|(|x|)>|)>=c\<mathd\><around|(|f<around|(|x|)>|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|C>\<#662F\>\<#5E38\>\<#6570\>.

    <item> <math|\<mathd\><around|(|f<around|(|x|)>\<pm\>g<around|(|x|)>|)>=\<mathd\><around|(|f<around|(|x|)>|)>\<pm\>\<mathd\><around|(|g<around|(|x|)>|)>>.

    <item> <math|\<mathd\><around|(|f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>|)>=\<mathd\><around|(|f<around|(|x|)>|)>*g<around|(|x|)>+f<around|(|x|)>\<mathd\><around|(|g<around|(|x|)>|)>>.

    <item> <math|\<mathd\><around*|(|<frac|f<around|(|x|)>|g<around|(|x|)>>|)>=<frac|\<mathd\><around|(|f<around|(|x|)>|)>*g<around|(|x|)>-f<around|(|x|)>\<mathd\><around|(|g<around|(|x|)>|)>|f<rsup|2><around|(|x|)>>>.
  </enumerate>

  \<#7531\>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6C42\>\<#5BFC\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
  <math|y=f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E3A\>
  <math|x=\<varphi\><around|(|y|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>

  <\equation*>
    \<mathd\>y=f<rprime|'><around|(|x|)>\<mathd\>x,\<mathd\>x=\<varphi\><rprime|'><around|(|y|)>\<mathd\>y
  </equation*>

  \<#800C\> <math|f<rprime|'><around|(|x|)>*\<varphi\><rprime|'><around|(|y|)>=1>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>

  <\equation*>
    \<mathd\>x=<frac|\<mathd\>y|f<rprime|'><around|(|x|)>>
  </equation*>

  \<#5BFC\>\<#6570\>\<#6709\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>

  <\equation*>
    \<mathd\>y=f<rprime|'><around|(|x|)>\<mathd\>x
  </equation*>

  \<#65E2\>\<#662F\> <math|x>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#589E\>\<#91CF\>
  <math|\<mathd\>x>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#628A\>
  <math|x>\<#770B\>\<#6210\>\<#4E3B\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4FDD\>\<#6301\>
  <math|\<mathd\>x>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#6B21\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    \<mathd\><rsup|2>y=\<mathd\><around|(|f<rprime|'><around|(|x|)>\<mathd\>x|)>=\<mathd\><around|(|f<rprime|'><around|(|x|)>|)>\<mathd\>x=f<rprime|''><around|(|x|)>\<mathd\>x<rsup|2>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|\<mathd\>x<rsup|2>=<around|(|\<mathd\>x|)><rsup|2>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7279\>\<#522B\>\<#8BB0\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#4E0E\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=x>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#7B26\>\<#53F7\>
  <math|\<mathd\><rsup|2>x>\<#76F8\>\<#533A\>\<#522B\>\<#3002\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#7684\><em|\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6C42\>\<#4E09\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>

  <\equation*>
    \<mathd\><rsup|3>y=\<mathd\><around|(|\<mathd\><rsup|2>f<around|(|x|)>|)>=\<mathd\><around|(|f<rprime|''><around|(|x|)>\<mathd\>x<rsup|2>|)>=f<rsup|<around|(|3|)>><around|(|x|)>\<mathd\>x<rsup|3>
  </equation*>

  \<#5BB9\>\<#6613\>\<#5F97\>\<#77E5\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
  <math|n>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\equation*>
    \<mathd\><rsup|n>y=f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x|)>\<mathd\>x<rsup|n>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\> <math|n>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#8FD9\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#4E5F\>\<#6B63\>\<#662F\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#7684\>\<#6765\>\<#6E90\>\<#3002\>

  <subsection|\<#5FAE\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#6027\>><label|sec:the-non-variabriant-format-of-differtial>

  \<#524D\>\<#9762\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BB2\>\<#8FC7\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|h<around|(|x|)>=f<around|(|g<around|(|x|)>|)>>\<#662F\>\<#7531\>
  <math|y=f<around|(|u|)>>\<#53CA\> <math|u=g<around|(|x|)>>\<#590D\>\<#5408\>\<#800C\>\<#6210\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>\<#6C42\>\<#5BFC\>\<#516C\>\<#5F0F\>

  <\equation*>
    h<rprime|'><around|(|x|)>=f<rprime|'><around|(|g<around|(|x|)>|)>*g<rprime|'><around|(|x|)>
  </equation*>

  \<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    \<mathd\><around|(|h<around|(|x|)>|)>=f<rprime|'><around|(|g<around|(|x|)>|)>*g<rprime|'><around|(|x|)>\<mathd\>x
  </equation*>

  \<#4F46\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#56E0\>\<#5B50\>
  <math|g<rprime|'><around|(|x|)>\<mathd\>x>\<#6B63\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|g<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    \<mathd\><around|(|g<around|(|x|)>|)>=g<rprime|'><around|(|x|)>\<mathd\>x
  </equation*>

  \<#56E0\>\<#6B64\>\<#524D\>\<#4E00\>\<#5F0F\>\<#5B50\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    \<mathd\><around|(|f<around|(|g<around|(|x|)>|)>|)>=f<rprime|'><around|(|g<around|(|x|)>|)>\<mathd\><around|(|g<around|(|x|)>|)>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>
  <math|\<mathd\><around|(|f<around|(|u|)>|)>=f<rprime|'><around|(|u|)>\<mathd\>u>\<#4E00\>\<#6A21\>\<#4E00\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#5728\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#628A\>
  <math|u>\<#7528\> <math|u=g<around|(|x|)>>\<#66FF\>\<#6362\>\<#6389\>\<#4E86\>\<#800C\>\<#5DF2\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E8B\>\<#5B9E\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#53C8\>\<#662F\>\<#522B\>\<#7684\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5728\>\<#66FF\>\<#6362\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#628A\>\<#8BE5\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#66FF\>\<#6362\>\<#4E3A\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#5C31\>\<#884C\>\<#FF0C\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\><em|\<#5FAE\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#6027\>>.

  \<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#89C4\>\<#5219\>\<#770B\>\<#8D77\>\<#6765\>\<#4E0D\>\<#5982\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#6027\>\<#6765\>\<#5F97\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#3002\>

  \<#4F46\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#5C31\>\<#4E0D\>\<#518D\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E3A\>\<#4F8B\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=f<around|(|u|)>>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#662F\>

  <\equation*>
    \<mathd\><rsup|2>y=f<rprime|''><around|(|u|)>\<mathd\>u<rsup|2>
  </equation*>

  \<#4F46\>\<#5047\>\<#82E5\> <math|u=g<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#662F\>

  <\equation*>
    \<mathd\><rsup|2>y=\<mathd\><around|(|\<mathd\><around|(|f<around|(|g<around|(|x|)>|)>|)>|)>=\<mathd\><around|(|f<rprime|'><around|(|g<around|(|x|)>|)>*g<rprime|'><around|(|x|)>\<mathd\>x|)>=<around|(|f<rprime|''><around|(|g<around|(|x|)>|)>*g<rprime|'><around|(|x|)>+f<rprime|'><around|(|g<around|(|x|)>|)>*g<rprime|''><around|(|x|)>|)>\<mathd\>x<rsup|2>
  </equation*>

  \<#4F46\>\<#82E5\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#5728\>
  <math|y=f<around|(|u|)>>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E2D\>\<#4EE5\>
  <math|u=g<around|(|x|)>>\<#66FF\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5F97\>\<#51FA\>

  <\equation*>
    f<rprime|''><around|(|g<around|(|x|)>|)><around|(|\<mathd\>g<around|(|x|)>|)><rsup|2>=f<rprime|''><around|(|g<around|(|x|)>|)>*g<rprime|'><rsup|2><around|(|x|)>\<mathd\>x<rsup|2>
  </equation*>

  \<#53EF\>\<#77E5\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E0D\>\<#518D\>\<#5177\>\<#6709\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#6027\>\<#3002\>

  <subsection|\<#5FAE\>\<#5206\>\<#7528\>\<#4E8E\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#8BA1\>\<#7B97\>><label|sec:approx-by-differtial>

  \<#5FAE\>\<#5206\>\<#63D0\>\<#4F9B\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#7684\>\<#601D\>\<#8DEF\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x=x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5FAE\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7ED9\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5FAE\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#589E\>\<#91CF\>
  <math|\<Delta\>*x>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E5F\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#589E\>\<#91CF\>
  <math|\<Delta\>*y>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\equation*>
    \<Delta\>*y=f*<around|(|x<rsub|0>+\<Delta\>*x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*\<Delta\>*x+o<around|(|\<Delta\>*x|)>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>

  <\equation*>
    f*<around|(|x<rsub|0>+\<Delta\>*x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*\<Delta\>*x+o<around|(|\<Delta\>*x|)>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#516C\>\<#5F0F\>

  <\equation*>
    f*<around|(|x<rsub|0>+\<Delta\>*x|)>\<approx\>f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*\<Delta\>*x
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5207\>\<#7EBF\>\<#6765\>\<#903C\>\<#8FD1\>\<#5B83\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#662F\>
  <math|\<Delta\>*x>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#76F8\>\<#5BF9\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>
  <math|\<Delta\>*x>\<#8DB3\>\<#591F\>\<#5C0F\>\<#3002\>

  <\example>
    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|<around|\||x|\|>>\<#975E\>\<#5E38\>\<#5C0F\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\align*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<around|(|1+x|)><rsup|\<alpha\>>>|<cell|\<approx\>1+\<alpha\>*x>>|<row|<cell|<math-up|e><rsup|x>>|<cell|\<approx\>1+x>>|<row|<cell|ln
      <around|(|1+x|)>>|<cell|\<approx\>x>>|<row|<cell|sin
      x>|<cell|\<approx\>x>>|<row|<cell|tan x>|<cell|\<approx\>x>>>>
    </align*>

    \<#5176\>\<#4E2D\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5F0F\>\<#5B50\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#53D6\>
    <math|\<alpha\>=<frac|1|2>>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <sqrt|1+x>\<approx\>1+<frac|1|2>*x
    </equation*>
  </example>

  <subsection|\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>><label|sec:differtial-equation>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=f<around|(|x|)>=<math-up|e><rsup|x>>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#81EA\>\<#5DF1\>\<#FF0C\>\<#7528\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#5199\>\<#51FA\>\<#6765\>\<#5C31\>\<#662F\>

  <\equation*>
    <frac|\<mathd\>f<around|(|x|)>|\<mathd\>x>=f<around|(|x|)>
  </equation*>

  \<#6216\>\<#8005\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    <frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>=y
  </equation*>

  \<#6216\>\<#8005\>\<#66F4\>\<#52A0\>\<#7B80\>\<#6D01\>\<#7684\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    y<rprime|'>=y
  </equation*>

  \<#50CF\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#628A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#81EA\>\<#8EAB\>\<#4E0E\>\<#5176\>\<#5FAE\>\<#5206\>(\<#6216\>\<#8005\>\<#5BFC\>\<#6570\>)\<#8054\>\<#7CFB\>\<#8D77\>\<#6765\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>>\<#3002\>

  \<#4E0A\>\<#9762\>\<#7684\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=<math-up|e><rsup|x>>\<#5C31\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

  <\equation*>
    <frac|\<mathd\>y|\<mathd\>x>=y
  </equation*>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

  <\align*>
    <tformat|<table|<row|<cell|y<rprime|''>+y<rprime|'>+y>|<cell|=0>>|<row|<cell|y<rprime|'><rsup|2>+x<rsup|2>>|<cell|=0>>|<row|<cell|y<rprime|''>+2*y<rprime|'>*y+y<rsup|2>>|<cell|=0>>>>
  </align*>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7ED9\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><em|\<#89E3\>>.\<#4F8B\>\<#5982\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|y=<math-up|e><rsup|x>>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>
  <math|y<rprime|'>=y>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#89E3\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#89E3\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#8FD9\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#3002\>

  <\example>
    \<#901A\>\<#8FC7\>\<#6C42\>\<#5BFC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      y=C<rsub|1>*cos x+C<rsub|2>*sin x
    </equation*>

    \<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

    <\equation*>
      y<rprime|''>+y=0
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|C<rsub|1>>\<#548C\>
    <math|C<rsub|2>>\<#662F\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      y=C<rsub|1>*cosh x+C<rsub|2>*sinh x
    </equation*>

    \<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

    <\equation*>
      y<rprime|''>-y=0
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      y=C<rsub|1><math-up|e><rsup|\<lambda\><rsub|1>*x>+C<rsub|2><math-up|e><rsup|\<lambda\><rsub|2>*x>
    </equation*>

    \<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

    <\equation*>
      y<rprime|''>-<around|(|\<lambda\><rsub|1>+\<lambda\><rsub|2>|)>*y<rprime|'>+\<lambda\><rsub|1>*\<lambda\><rsub|2>*y=0
    </equation*>

    \<#50CF\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7531\> <math|y>\<#3001\>
    <math|y<rprime|'>>\<#3001\> <math|y<rprime|''>>\<#7B49\>\<#5404\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>(\<#7CFB\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#662F\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#6216\>\<#8005\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>
    <math|x>\<#7684\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>)\<#800C\>\<#6210\>\<#7684\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5404\>\<#9879\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#53C8\>\<#662F\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#5E38\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#89E3\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

    <\equation*>
      y<rprime|'>-\<lambda\>*y=0
    </equation*>

    \<#4F5C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|u=y<math-up|e><rsup|-\<lambda\>*x>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>

    <\equation*>
      u<rprime|'>=<math-up|e><rsup|-\<lambda\>*x><around|(|y<rprime|'>-\<lambda\>*y|)>=0
    </equation*>

    \<#6839\>\<#636E\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|u>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      y<math-up|e><rsup|-\<lambda\>*x>=C
    </equation*>

    \<#4ECE\>\<#800C\>

    <\equation*>
      y=C<math-up|e><rsup|\<lambda\>*x>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#6837\>\<#5C31\>\<#89E3\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#65B9\>\<#7A0B\>.
  </example>

  <section|\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:differential-mean-value-theorems>

  <subsection|\<#8D39\>\<#9A6C\>\<#6781\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:fermat-limit-value-theorem>

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53D6\>\<#5F97\>\<#6781\>\<#503C\>(\<#6781\>\<#5927\>\<#6216\>\<#8005\>\<#6781\>\<#5C0F\>\<#5747\>\<#53EF\>)\<#4E14\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=0>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5047\>\<#5982\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53D6\>\<#7684\>\<#662F\>\<#6781\>\<#5927\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#7528\>\<#53CD\>\<#8BC1\>\<#6CD5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#5982\>\<#679C\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#8BBE\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#6052\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>\<gtr\>0
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#7684\>\<#53F3\>\<#4FA7\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|x|)>\<gtr\>f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FBE\>\<#5230\>\<#6781\>\<#5927\>\<#503C\>\<#76F8\>\<#77DB\>\<#76FE\>.
    \<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>\<less\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#4EA6\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|x|)>\<gtr\>f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#5BFC\>\<#81F4\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>\<#5B58\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#7F57\>\<#5C14\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:rolle-theorem>

  <\theorem>
    <dueto|\<#7F57\>\<#5C14\>(Rolle)\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#5185\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|a,b|)>>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|a|)>=f<around|(|b|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|a,b|)>>\<#4E0A\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#70B9\>
    <math|x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=0>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7740\>\<#6700\>\<#5927\>\<#503C\>\<#548C\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6700\>\<#503C\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#6052\>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6700\>\<#5927\>\<#503C\>\<#548C\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6700\>\<#503C\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#5728\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5185\>\<#53D6\>\<#5F97\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6309\>\<#8D39\>\<#9A6C\>\<#6781\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#3002\>
  </proof>

  <subsection|\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:lagrange-middle-value-theorem>

  <\theorem>
    <dueto|\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>(Lagrange)\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|a,b|)>>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>\<in\><around|(|a,b|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=<frac|f<around|(|b|)>-f<around|(|a|)>|b-a>
    </equation*>
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5207\>\<#7EBF\>\<#5E73\>\<#884C\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EBF\>\<#3002\>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#76F8\>\<#8FDE\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>

    <\equation*>
      g<around|(|x|)>=f<around|(|a|)>+<frac|f<around|(|b|)>-f<around|(|a|)>|b-a>*<around|(|x-a|)>
    </equation*>

    \<#6784\>\<#9020\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      L<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>-g<around|(|x|)>
    </equation*>

    \<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|L<around|(|x|)>>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#7F57\>\<#5C14\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#7F57\>\<#5C14\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#5728\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7684\>\<#73B0\>\<#8C61\>\<#FF0C\>\<#7F57\>\<#5C14\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#662F\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#7531\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#7F57\>\<#5C14\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#901A\>\<#5E38\>\<#7684\>\<#8BA4\>\<#8BC6\>\<#76F8\>\<#8FDD\>\<#80CC\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#8FD9\>\<#63ED\>\<#793A\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#4E0E\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5728\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#4E0A\>\<#5F88\>\<#591A\>\<#5730\>\<#65B9\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#5230\>\<#8FD9\>\<#79CD\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#65F6\>\<#5019\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5F80\>\<#5F80\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#7531\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#67D0\>\<#79CD\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>

  <subsection|\<#67EF\>\<#897F\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:cauchy-middle-value-theorem>

  <\theorem>
    <dueto|\<#67EF\>\<#897F\>(Cauchy)\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\> <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|a,b|)>>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#4EE5\>\<#53CA\>
    <math|g<around|(|a|)>\<neq\>g<around|(|b|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>\<in\><around|(|a,b|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>|g<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>=<frac|f<around|(|b|)>-f<around|(|a|)>|g<around|(|b|)>-g<around|(|a|)>>
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#540C\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#76F8\>\<#4EFF\>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      h<around|(|x|)>=f<around|(|a|)>+<frac|f<around|(|b|)>-f<around|(|a|)>|g<around|(|b|)>-g<around|(|a|)>>*<around|(|g<around|(|x|)>-g<around|(|a|)>|)>
    </equation*>

    \<#518D\>\<#4F5C\>

    <\equation*>
      C<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>-h<around|(|x|)>
    </equation*>

    \<#5219\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>
    <math|C<around|(|x|)>>\<#7B26\>\<#5408\>\<#7F57\>\<#5C14\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#7F57\>\<#5C14\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#67EF\>\<#897F\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#770B\>\<#4F5C\>\<#662F\>\<#53C2\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#7684\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#4E00\>\<#6761\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#7531\>\<#53C2\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

  <\equation*>
    <choice|<tformat|<table|<row|<cell|x=g<around|(|t|)>>>|<row|<cell|y=f<around|(|t|)>>>>>>
  </equation*>

  \<#786E\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#53C2\>\<#6570\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#662F\>
  <math|a\<leqslant\>t\<leqslant\>b>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#5728\>
  <math|t=t<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#5207\>\<#7EBF\>\<#659C\>\<#7387\>\<#4FBF\>\<#662F\>
  <math|<frac|f<rprime|'><around|(|t<rsub|0>|)>|g<rprime|'><around|(|t<rsub|0>|)>>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#8868\>\<#660E\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#4E0A\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#8BE5\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5207\>\<#7EBF\>\<#5E73\>\<#884C\>\<#4E8E\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EBF\>\<#3002\>

  <subsection|\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FDB\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#6027\>\<#8D28\>><label|sec:some-perproties-of-derivative-function>

  <\theorem>
    <dueto|\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4ECB\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|theorem:value-range-of-derived-function>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|f<rprime|'><rsub|+><around|(|a|)>\<neq\>f<rprime|'><rsub|-><around|(|b|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4ECB\>\<#4E8E\>
    <math|f<rprime|'><rsub|+><around|(|a|)>>\<#4E0E\>
    <math|f<rprime|'><rsub|-><around|(|b|)>>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|k>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>\<in\><around|(|a,b|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=k>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#4F5C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|g<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>-k*x>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|g<rprime|'><around|(|x|)>=f<rprime|'><around|(|x|)>-k>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>
    <math|g<rprime|'><around|(|a|)>*g<rprime|'><around|(|b|)>\<less\>0>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#59A8\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#662F\>
    <math|g<rprime|'><around|(|a|)>\<gtr\>0>\<#800C\>
    <math|g<rprime|'><around|(|b|)>\<less\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|a>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#53F3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5728\>
    <math|b>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5DE6\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5728\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|a,b|)>>\<#5185\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#8FBE\>\<#5230\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#6B64\>\<#70B9\>\<#4E3A\>
    <math|x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#8D39\>\<#9A6C\>\<#6781\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#77E5\>
    <math|g<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=0>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=k>.
  </proof>

  <\theorem>
    <label|theorem:derived-function-limit-as-derived-value>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#5176\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#6781\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5DE6\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#548C\>\<#53F3\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#6709\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|f<rsub|-><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>|<cell|=>|<cell|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|->>
      f<rprime|'><around|(|x|)>>>|<row|<cell|f<rsub|+><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>|<cell|=>|<cell|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>>
      f<rprime|'><around|(|x|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53EA\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#53F3\>\<#4FA7\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#5DE6\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#5B8C\>\<#5168\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#3002\>\<#8BBE\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#53F3\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53F3\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E5F\>\<#662F\>
    <math|A>\<#5373\>\<#53EF\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|x\<gtr\>x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|<around|[|x<rsub|0>,x|]>>\<#4E0A\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|1>\<in\><around|(|x<rsub|0>,x|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>=f<rprime|'><around|(|x<rsub|1>|)>
    </equation*>

    \<#5F53\> <math|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#4EA6\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|x<rsub|1>\<to\>x<rsub|0><rsup|+>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#6709\>\<#53F3\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>
    <math|A>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>> <frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>=lim<rsub|x<rsub|1>\<to\>x<rsub|0><rsup|+>>
      f<rprime|'><around|(|x<rsub|1>|)>=A
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53F3\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E3A\>
    <math|A>.
  </proof>

  \<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#6709\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#7A0B\>\<#5EA6\>\<#4E0A\>\<#5177\>\<#6709\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E9B\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#6B63\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#3002\>

  <subsection|\<#518D\>\<#8BC1\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:second-proof-for-lagrange-middle-value-theorem>

  \<#53D7\> <reference|theorem:value-range-of-derived-function> \<#548C\>
  <reference|theorem:derived-function-limit-as-derived-value>
  \<#542F\>\<#53D1\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>:

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#5185\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|a,b|)>>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|f<around|(|a|)>=f<around|(|b|)>>\<#FF0C\>\<#82E5\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>> \<#5728\>\<#8BE5\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#5E38\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>
    <math|\<xi\>,\<eta\>\<in\><around|(|a,b|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|f<rprime|'><around|(|\<xi\>|)>\<gtr\>0>\<#53CA\>
    <math|f<rprime|'><around|(|\<eta\>|)>\<less\>0>.
  </theorem>

  \<#8BE5\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#662F\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#7406\>\<#89E3\>\<#7684\>.

  <\proof>
    \<#56E0\>\<#4E3A\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#5E38\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5FC5\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#5904\>
    <math|c> \<#53D6\>\<#5F02\>\<#4E8E\> <math|f<around|(|a|)>=f<around|(|b|)>>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#603B\>\<#662F\>\<#975E\>\<#8D1F\>\<#6216\>\<#8005\>\<#603B\>\<#662F\>\<#975E\>\<#6B63\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>.
  </proof>

  \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>:
  \<#82E5\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>
  \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around|[|a,b|]>>\<#5185\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
  <math|<around|(|a,b|)>>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>
  <math|\<xi\>\<in\><around|(|a,b|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    f<rprime|'><around|(|\<xi\>|)>=<frac|f<around|(|b|)>-f<around|(|a|)>|b-a>
  </equation*>

  <\proof>
    \<#8BB0\>

    <\equation*>
      \<mu\>=<frac|f<around|(|b|)>-f<around|(|a|)>|b-a>
    </equation*>

    \<#4F5C\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      g<around|(|x|)>=f<around|(|a|)>+<frac|f<around|(|b|)>-f<around|(|a|)>|b-a>*<around|(|x-a|)>=f<around|(|a|)>+\<mu\>*<around|(|x-a|)>
    </equation*>

    \<#5B83\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5C06\>
    <math|f<around|(|x|)>> \<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#56FE\>\<#50CF\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#7528\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#6BB5\>\<#8FDE\>\<#63A5\>\<#8D77\>\<#6765\>.\<#518D\>\<#8BB0\>

    <\equation*>
      h<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>-g<around|(|x|)>
    </equation*>

    \<#5219\> <math|g<rprime|'><around|(|x|)>=\<mu\>> \<#800C\>
    <math|h<rprime|'><around|(|x|)>=f<rprime|'><around|(|x|)>-\<mu\>>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|h<around|(|a|)>=h<around|(|b|)>=0>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|h<around|(|x|)>=0>\<#5373\> <math|f<around|(|x|)>=g<around|(|x|)>>\<#603B\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#4E0D\>\<#603B\>\<#662F\>\<#7B49\>\<#4E8E\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5373\> <math|h<around|(|x|)>>\<#4E0D\>\<#603B\>\<#53D6\>\<#96F6\>\<#503C\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#521A\>\<#6240\>\<#8BC1\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|s,t\<in\><around|(|a,b|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|h<rprime|'><around|(|s|)>\<gtr\>0>\<#548C\>
    <math|h<rprime|'><around|(|t|)>\<less\>0>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|f<rprime|'><around|(|s|)>\<gtr\>\<mu\>>\<#548C\>
    <math|f<rprime|'><around|(|t|)>\<less\>\<mu\>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#7531\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4ECB\>\<#503C\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|\<xi\>\<in\><around|(|a,b|)>> \<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|f<rprime|'><around|(|\<xi\>|)>=\<mu\>>\<#FF0C\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5F97\>\<#8BC1\>.
  </proof>

  <subsection|\<#6D1B\>\<#5FC5\>\<#8FBE\>\<#6CD5\>\<#5219\>><label|sec:L'Hopital-rule>

  \<#6D1B\>\<#5FC5\>\<#8FBE\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#7CFB\>\<#5217\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#7EDF\>\<#79F0\>\<#3002\>

  \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#662F\>\<#5173\>\<#4E8E\>
  <math|<frac|0|0>>\<#578B\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#3002\>

  <\theorem>
    \<#8BBE\> <math|f<around|(|x|)>>\<#4E0E\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>

    <\enumerate>
      <item> <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
      f<around|(|x|)>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> g<around|(|x|)>=0>.

      <item>\<#5728\>\<#70B9\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
      <math|g<rprime|'><around|(|x|)>\<neq\>0>.

      <item> <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
      <frac|f<rprime|'><around|(|x|)>|g<rprime|'><around|(|x|)>>=A>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
      <math|A>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#6216\>\<#8005\>\<#5E26\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>.
    </enumerate>

    \<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|f<around|(|x|)>|g<around|(|x|)>>=A
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#4E0E\>
    <math|g<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#4E0D\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#5F00\>\<#62D3\>\<#FF0C\>\<#547D\>
    <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>=g<around|(|x<rsub|0>|)>=0>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5229\>\<#7528\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|x\<neq\>x<rsub|0>>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4ECB\>\<#4E8E\>
    <math|x<rsub|0>>\<#4E0E\> <math|x>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>
    <math|x<rsub|1>>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|f<around|(|x|)>|g<around|(|x|)>>=<frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|g<around|(|x|)>-g<around|(|x<rsub|0>|)>>=<frac|f<rprime|'><around|(|x<rsub|1>|)>|g<rprime|'><around|(|x<rsub|1>|)>>
    </equation*>

    \<#518D\>\<#4EE4\> <math|x\<to\>x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#4EA6\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|x<rsub|1>\<to\>x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#3002\>
  </proof>

  <\example>
    \<#4ECA\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|1-cos x|x<rsup|2>>=<frac|1|2>
    </equation*>

    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#5206\>\<#5B50\>\<#5206\>\<#6BCD\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x=0>\<#5904\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|sin x|2*x>=<frac|1|2>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#601D\>\<#8DEF\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#6765\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x=0>\<#5904\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#77E5\>\<#9053\>
    <math|1-cos x>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      cos x=1+o<around|(|1|)>
    </equation*>

    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E0E\>
    <math|x>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8003\>\<#8651\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|1-cos x|x>
    </equation*>

    \<#6839\>\<#636E\>\<#524D\>\<#9762\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>
    <math|1-cos x>\<#662F\> <math|x>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      cos x=1-o<around|(|x|)>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#518D\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#4E0E\>
    <math|x<rsup|2>>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#524D\>\<#8FF0\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#8868\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#4FE9\>\<#662F\>\<#540C\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#6216\>\<#8005\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>
    <math|1-cos x>\<#4E0E\> <math|<frac|1|2>*x<rsup|2>>\<#662F\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      cos x=1-<frac|1|2>*x<rsup|2>+o<around|(|x<rsup|2>|)>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7EE7\>\<#7EED\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#4E0E\>\<#6700\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>
    <math|x,x<rsup|2>,\<ldots\>,x<rsup|n>,\<ldots\>>\<#4F9D\>\<#6B21\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#76F4\>\<#5230\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#540C\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#4E3A\>\<#6B62\>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#540E\>\<#518D\>\<#53CD\>\<#590D\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#6B64\>\<#6B65\>\<#9AA4\>\<#FF0C\>\<#4F9D\>\<#6B21\>\<#5265\>\<#79BB\>\<#51FA\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#4E3B\>\<#8981\>\<#6210\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#662F\>\<#8D8A\>\<#6765\>\<#8D8A\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5C06\>
    <math|1-cos x>\<#4E0E\> <math|<frac|1|2>*x<rsup|2>>\<#4F5C\>\<#5DEE\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#4E0E\>
    <math|x<rsup|3>>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#7531\>\<#6D1B\>\<#5FC5\>\<#8FBE\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|<around|(|1-cos
      x|)>-<frac|1|2>*x<rsup|2>|x>=0
    </equation*>

    \<#8BF4\>\<#660E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5DEE\>\<#662F\>
    <math|x>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#4E0E\>
    <math|x<rsup|2>>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|<around|(|1-cos
      x|)>-<frac|1|2>*x<rsup|2>|x<rsup|2>>=lim<rsub|x\<to\>0> <frac|sin
      x-x|2*x>=lim<rsub|x\<to\>0> <frac|sin x|2*x>-<frac|1|2>=0
    </equation*>

    \<#8BF4\>\<#660E\> <math|x<rsup|2>>\<#7684\>\<#9636\>\<#6570\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#4F4E\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#529E\>\<#6CD5\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#77E5\>\<#9053\>
    <math|x<rsup|3>>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#4F4E\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5DEE\>\<#4E0E\>
    <math|x<rsup|4>>\<#662F\>\<#540C\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#6BD4\>\<#503C\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#662F\>
    <math|-<frac|1|24>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>

    <\equation*>
      1-cos x-<frac|1|2>*x<rsup|2>\<sim\>-<frac|1|24>*x<rsup|4>
    </equation*>

    \<#6216\>\<#8005\>\<#5199\>\<#6210\>

    <\equation*>
      cos x=1-<frac|1|2>*x<rsup|2>+<frac|1|24>*x<rsup|4>+o<around|(|x<rsup|4>|)>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#4E3A\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#51E0\>\<#6B65\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#770B\>\<#8D77\>\<#6765\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>

    <\equation*>
      cos x=1-<frac|1|2>*x<rsup|2>+<frac|1|24>*x<rsup|4>-<frac|1|720>*x<rsup|6>+<frac|1|40320>*x<rsup|8>+o<around|(|x<rsup|8>|)>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#610F\>\<#5473\>\<#7740\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#9010\>\<#6B65\>\<#903C\>\<#8FD1\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#529E\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>

    <\equation*>
      sin x=x-<frac|1|6>*x<rsup|3>+<frac|1|120>*x<rsup|5>-<frac|1|5040>*x<rsup|7>+o<around|(|x<rsup|7>|)>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#63D0\>\<#4F9B\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#5E38\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#7684\>\<#601D\>\<#8DEF\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6765\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#903C\>\<#8FD1\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#540E\>\<#9762\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5373\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#601D\>\<#60F3\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    \<#4F9D\>\<#7167\>\<#4E0A\>\<#4F8B\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#77E5\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|<math-up|e><rsup|x>-1|x>=1
    </equation*>

    \<#51FA\>\<#53D1\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>

    <\equation*>
      <math-up|e><rsup|x>=1+x+<frac|1|2>*x<rsup|2>+<frac|1|6>*x<rsup|3>+<frac|1|24>*x<rsup|4>+<frac|1|120>*x<rsup|5>+o<around|(|x<rsup|5>|)>
    </equation*>

    \<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#7531\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|ln <around|(|1+x|)>|x>=1
    </equation*>

    \<#51FA\>\<#53D1\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>

    <\equation*>
      ln <around|(|1+x|)>=x-<frac|1|2>*x<rsup|2>+<frac|1|3>*x<rsup|3>+<frac|1|4>*x<rsup|4>-<frac|1|5>*x<rsup|5>+o<around|(|x<rsup|5>|)>
    </equation*>
  </example>

  \<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#662F\>\<#5173\>\<#4E8E\>
  <math|<frac|\<infty\>|\<infty\>>>\<#578B\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#5F0F\>.

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#4E0E\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#53F3\>\<#4FA7\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>

    <\enumerate>
      <item> <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>>
      f<around|(|x|)>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>>
      g<around|(|x|)>=\<infty\>>.

      <item>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#5728\>
      <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#8BE5\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
      <math|g<rprime|'><around|(|x|)>\<neq\>0>.

      <item> <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>>
      <frac|f<rprime|'><around|(|x|)>|g<rprime|'><around|(|x|)>>=A>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
      <math|A>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#662F\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#6216\>\<#8005\>\<#5E26\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>.
    </enumerate>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#53F3\>\<#4FA7\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#53D6\>\<#5B9A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>
    <math|x<rsub|1>>\<#FF0C\>\<#8BBE\> <math|a<rsub|n>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#88AB\>\<#5305\>\<#542B\>\<#5728\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>,x<rsub|1>|)>>\<#4E0A\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#5E76\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
    <math|x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#4E0A\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7740\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#503C\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\>:
    <math|f<around|(|a<rsub|n>|)>>\<#548C\>
    <math|g<around|(|a<rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#6839\>\<#636E\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|n>\<in\><around|(|a<rsub|n+1>,a<rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|f<around|(|a<rsub|n+1>|)>-f<around|(|a<rsub|n>|)>|g<around|(|a<rsub|n+1>|)>-g<around|(|a<rsub|n>|)>>=<frac|f<rprime|'><around|(|x<rsub|n>|)>|g<rprime|'><around|(|x<rsub|n>|)>>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#5F53\> <math|n\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>
    <math|x<rsub|n>\<to\>x<rsub|0>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|f<around|(|a<rsub|n+1>|)>-f<around|(|a<rsub|n>|)>|g<around|(|a<rsub|n+1>|)>-g<around|(|a<rsub|n>|)>>=A
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#7531\>Stolz\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#77E5\>

    <\equation*>
      lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> <frac|f<around|(|a<rsub|n>|)>|g<around|(|a<rsub|n>|)>>=A
    </equation*>

    \<#7136\>\<#540E\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#6570\>\<#5217\>
    <math|a<rsub|n>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0><rsup|+>> <frac|f<around|(|x|)>|g<around|(|x|)>>=A
    </equation*>
  </proof>

  \<#4ECE\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E0E\>Stolz\<#5B9A\>\<#7406\>\<#975E\>\<#5E38\>\<#76F8\>\<#4F3C\>\<#FF0C\>Stolz\<#5B9A\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#4F5C\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#79BB\>\<#6563\>\<#7248\>\<#672C\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#4F5C\>\<#662F\>Stolz\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7248\>\<#672C\>\<#3002\>

  <subsection|\<#63D2\>\<#503C\>\<#516C\>\<#5F0F\>><label|sec:interpolation-formula>

  <section|\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#4E0E\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>><label|sec:sec-taylor-formular>

  <subsection|\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#4E0E\>\<#9EA6\>\<#514B\>\<#52B3\>\<#6797\>\<#516C\>\<#5F0F\>><label|sec:taylor-formular>

  \<#5728\>\<#6D1B\>\<#5FC5\>\<#8FBE\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#7684\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#590D\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#6D1B\>\<#5FC5\>\<#8FBE\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#903C\>\<#8FD1\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#8282\>\<#5C31\>\<#6765\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#3002\>

  \<#5047\>\<#5B9A\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#5177\>\<#6709\>\<#5404\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF08\>\<#5373\>\<#76F4\>\<#5230\>\<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#5230\>\<#7684\>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF09\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#FF0C\>
  <math|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>(
  <math|x\<to\>x<rsub|0>>)\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#5BFB\>\<#6C42\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#9636\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#5176\>\<#4E0E\>
  <math|x-x<rsub|0>>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#6C42\>\<#6781\>\<#9650\>

  <\equation*>
    lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>
  </equation*>

  \<#7531\>\<#6D1B\>\<#5FC5\>\<#8FBE\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#8FDE\>\<#7EED\>(\<#5C24\>\<#5176\>\<#662F\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#53EF\>\<#5BFC\>)\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5C31\>\<#662F\>
  <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>

  <\equation*>
    <frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>=f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>+o<around|(|1|)>
  </equation*>

  \<#6216\>\<#8005\>\<#6539\>\<#5199\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+o<around|(|x-x<rsub|0>|)>
  </equation*>

  \<#8BB0\>

  <\equation*>
    T<rsub|1><around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>
  </equation*>

  \<#663E\>\<#7136\> <math|T<rsub|1><around|(|x|)>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#4E0E\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#4E00\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    f<around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|1><around|(|x<rsub|0>|)>,f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|1><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>
  </equation*>

  \<#518D\>\<#8003\>\<#8651\> <math|f<around|(|x|)>-T<rsub|1><around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#662F\>
  <math|x-x<rsub|0>>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#4E0E\>
  <math|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#6C42\>\<#6781\>\<#9650\>

  <\equation*>
    lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|f<around|(|x|)>-T<rsub|1><around|(|x|)>|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>>
  </equation*>

  \<#5047\>\<#5B9A\> <math|f<around|(|x|)>>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#4E24\>\<#6B21\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#6D1B\>\<#5FC5\>\<#8FBE\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|f<around|(|x|)>-T<rsub|1><around|(|x|)>|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    <frac|f<rprime|'><around|(|x|)>-T<rsub|1><rprime|'><around|(|x|)>|2*<around|(|x-x<rsub|0>|)>>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    <frac|f<rprime|''><around|(|x|)>|2>=<frac|1|2>*f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>

  <\equation*>
    <frac|f<around|(|x|)>-T<rsub|1><around|(|x|)>|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>>=<frac|1|2>*f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>+o<around|(|1|)>
  </equation*>

  \<#6216\>\<#8005\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+<frac|1|2>*f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>+o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>|)>
  </equation*>

  \<#5E76\>\<#8BB0\>

  <\equation*>
    T<rsub|2><around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+<frac|1|2>*f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>
  </equation*>

  \<#5219\> <math|T<rsub|2><around|(|x|)>>\<#4E0E\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#4E00\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#548C\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#3002\>

  \<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8FD8\>\<#6709\>

  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+<frac|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>|2!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>+<frac|f<rprime|'''><around|(|x<rsub|0>|)>|3!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|3>+o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|3>|)>
  </equation*>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#8FD8\>\<#5177\>\<#6709\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#56DB\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8FD8\>\<#6709\>

  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+<frac|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>|2!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>+<frac|f<rprime|'''><around|(|x<rsub|0>|)>|3!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|3>+<frac|f<rsup|<around|(|4|)>><around|(|x<rsub|0>|)>|4!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|4>+o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|4>|)>
  </equation*>

  \<#7167\>\<#6B64\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#76F4\>\<#5230\>
  <math|n>\<#9636\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>

  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+<frac|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>|2!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>+\<cdots\>+<frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>|n!>*x<rsup|n>+o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>|)>
  </equation*>

  \<#8BB0\>

  <\equation*>
    T<rsub|n><around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+<frac|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>|2!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>+\<cdots\>+<frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>|n!>*x<rsup|n>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E3B\>\<#8981\>\<#7279\>\<#5F81\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4E0E\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#4E00\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#3001\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#76F4\>\<#5230\>
  <math|n>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>(\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#88AB\>\<#89C6\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>)\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    f<around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|n><around|(|x<rsub|0>|)>,f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|n><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>,f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|n><rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>,\<ldots\>,f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|n><rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>
  </equation*>

  \<#800C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#5219\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=T<rsub|n><around|(|x|)>+o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>|)>
  </equation*>

  \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#7684\><em|\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#516C\>\<#5F0F\>>.

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#8457\>\<#540D\>\<#5B9A\>\<#7406\>

  <\theorem>
    <dueto|\<#6CF0\>\<#52D2\>(Taylor)\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#76F4\>\<#5230\>
    <math|n>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      T<rsub|n><around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+<frac|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>|2!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>+\<cdots\>+<frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>|n!>*x<rsup|n>
    </equation*>

    \<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      f<around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|n><around|(|x<rsub|0>|)>,f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|n><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>,f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|n><rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>,\<ldots\>,f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|n><rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>
    </equation*>

    \<#5E76\>\<#4E14\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#5F0F\>\<#6210\>\<#7ACB\>

    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=T<rsub|n><around|(|x|)>+o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>|)>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>( <math|n>\<#9636\>)<em|\<#6CF0\>\<#52D2\>(Taylor)\<#516C\>\<#5F0F\>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#4F59\>\<#9879\>
    <math|o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>|)>>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#4F69\>\<#4E9A\>\<#8BFA\>\<#4F59\>\<#9879\>>.
  </theorem>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#7528\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>.

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8BB0\>

    <\equation*>
      R<rsub|n><around|(|x|)>=f<around|(|x|)>-T<rsub|n><around|(|x|)>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

    <\equation*>
      R<rsub|n><around|(|x<rsub|0>|)>=R<rsub|n><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=\<cdots\>=R<rsub|n><rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>=0
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#4E0B\>\<#6709\>

    <\equation*>
      R<rsub|n><around|(|x|)>=o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>|)>
    </equation*>

    \<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#3002\>

    \<#5F53\> <math|n=1>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <frac|R<rsub|1><around|(|x|)>-R<rsub|1><around|(|x<rsub|0>|)>|x-x<rsub|0>>=R<rsub|1><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>+o<around|(|1|)>
    </equation*>

    \<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\> <math|R<rsub|1><around|(|x<rsub|0>|)>=R<rsub|1><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=0>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      R<rsub|1><around|(|x|)>=o<around|(|x-x<rsub|0>|)>
    </equation*>

    \<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|n>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#770B\>
    <math|n+1>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#8BBE\>

    <\equation*>
      S<around|(|x|)>=R<rsub|n+1><rprime|'><around|(|x|)>
    </equation*>

    \<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      S<around|(|x<rsub|0>|)>=S<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=\<cdots\>=S<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>=0
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#7531\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      S<around|(|x|)>=o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>|)>
    </equation*>

    \<#518D\>\<#7531\>\<#6D1B\>\<#5FC5\>\<#8FBE\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|R<around|(|x|)>|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n+1>>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
      <frac|S<around|(|x|)>|<around|(|n+1|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>>=0
    </equation*>

    \<#5373\>

    <\equation*>
      R<rsub|n+1><around|(|x|)>=o<around|(|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n+1>|)>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F4\>\<#5230\>
  <math|n>\<#9636\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>
  <math|n>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#5426\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#5E76\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#7528\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#4E3A\>\<#4EC0\>\<#4E48\>\<#5462\>\<#FF0C\>\<#7528\>\<#524D\>\<#9762\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#5230\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#90A3\>\<#91CC\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#65F6\>\<#6709\>

  <\equation*>
    lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> <frac|f<around|(|x|)>-T<rsub|1><around|(|x|)>|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    <frac|f<rprime|'><around|(|x|)>-T<rsub|1><rprime|'><around|(|x|)>|2*<around|(|x-x<rsub|0>|)>>=lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>>
    <frac|f<rprime|''><around|(|x|)>|2>=<frac|1|2>*f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>
  </equation*>

  \<#6700\>\<#540E\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#6781\>\<#9650\>
  <math|lim<rsub|x\<to\>x<rsub|0>> f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#91CC\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#662F\>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E3A\>
  <math|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#7531\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#4E3A\>
  <math|K>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
  <math|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>=K>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4E0D\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#4EC5\>\<#8981\>\<#6C42\>
  <math|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5C31\>\<#884C\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5C31\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#5C31\>\<#51CF\>\<#5F31\>\<#4E3A\>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#76F4\>\<#5230\>
  <math|n>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>

  \<#5728\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#53D6\>
  <math|x<rsub|0>=0>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\><em|\<#9EA6\>\<#514B\>\<#52B3\>\<#514B\>(Maclaurin)\<#516C\>\<#5F0F\>>:

  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=f<around|(|0|)>+f<rprime|'><around|(|0|)>*x+<frac|f<rprime|''><around|(|0|)>|2!>*x<rsup|2>+\<cdots\>+<frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|0|)>|n!>*x<rsup|n>+o<around|(|x<rsup|n>|)>
  </equation*>

  <\example>
    \<#65E2\>\<#7136\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#81EA\>\<#5DF1\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#4F1A\>\<#662F\>\<#4EC0\>\<#4E48\>\<#6837\>\<#5462\>\<#FF1F\>
    \<#8BBE\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=a<rsub|n>*x<rsup|n>+a<rsub|n-1>*x<rsup|n-1>+\<cdots\>+a<rsub|1>*x+a<rsub|0>
    </equation*>

    \<#5148\>\<#5199\>\<#51FA\>\<#5B83\>\<#7684\>
    <math|n>\<#9636\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      T<rsub|n><around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+<frac|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>|2!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>+\<cdots\>+<frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>|n!>*x<rsup|n>
    </equation*>

    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#53D1\>\<#73B0\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|n>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#6309\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6307\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|n>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4E0E\>\<#5B83\>\<#7684\>
    <math|n>\<#9636\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#5DEE\>\<#503C\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>

    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=T<rsub|n><around|(|x|)>
    </equation*>

    \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#4E86\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E86\>\<#3002\>

    <\statement>
      \ \<#5982\>\<#679C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
      <math|n>\<#6B21\>\<#7684\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>
      <math|f<around|(|x|)>>\<#4E0E\> <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\>
      <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#76F4\>\<#5230\>
      <math|n>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>\<#90FD\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#5373\>

      <\equation*>
        f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=g<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>,f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>=g<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>,\<ldots\>,f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>=g<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>
      </equation*>

      \<#5219\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#4EC5\>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5373\>
      <math|f<around|(|x|)>-g<around|(|x|)>=C>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
      <math|C>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#5E38\>\<#6570\>.
    </statement>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#548C\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5747\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|\<leqslant\>n>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#5047\>\<#5B9A\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\> <math|g<around|(|x|)>>\<#90FD\>\<#662F\>
    <math|n+1>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#76F4\>\<#5230\>
    <math|n+1>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|g<rprime|'><around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#5C31\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#76F4\>\<#5230\>
    <math|n>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5E38\>\<#6570\>
    <math|C<rsub|1>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>-g<rprime|'><around|(|x|)>=C<rsub|1>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=g<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|C<rsub|1>=0>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|f<rprime|'><around|(|x|)>=g<rprime|'><around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>
    <math|h<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>-g<around|(|x|)>>\<#6709\>
    <math|h<rprime|'><around|(|x|)>=0>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>
    <math|h<around|(|x|)>>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|h<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>-g<around|(|x|)>=C>.
  </example>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#628A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#89C6\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#547D\>\<#9898\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6539\>\<#53D9\>\<#4E3A\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#66F4\>\<#4E3A\>\<#7F8E\>\<#89C2\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>

  <\statement>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|n>\<#6B21\>\<#7684\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#4E0E\> <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#4ECE\>\<#96F6\>\<#9636\>\<#76F4\>\<#5230\>
    <math|n>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#503C\>\<#90FD\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      f<around|(|x<rsub|0>|)>=g<around|(|x<rsub|0>|)>,f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=g<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>,f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>=g<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>,\<ldots\>,f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>=g<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>
    </equation*>

    \<#5219\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#76F8\>\<#7B49\>.
  </statement>

  \<#6709\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>
  <math|n>\<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#4E0E\>\<#5B83\>\<#7684\>
  <math|n>\<#9636\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#76F4\>\<#5230\>
  <math|n>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#4FE9\>\<#4EC5\>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#53C8\>\<#7531\>\<#4E8E\>
  <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>=T<rsub|n><around|(|x<rsub|0>|)>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6709\>
  <math|f<around|(|x|)>=T<rsub|n><around|(|x|)>>.

  <subsection|\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4F59\>\<#9879\>><label|sec:taylor-additional-of-lagrange>

  \<#5728\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#7840\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#8FD8\>\<#5B58\>\<#5728\>
  <math|n+1>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>.

  \<#51FD\>\<#6570\> <math|R<rsub|n><around|(|x|)>> \<#4E0E\>
  <math|S<rsub|n><around|(|x|)>=<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n+1>>
  \<#6EE1\>\<#8DB3\> <math|R<rsub|n><around|(|x<rsub|0>|)>=0,S<rsub|n><around|(|x|)>=0>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#7531\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5728\>
  <math|x>\<#4E0E\> <math|x<rsub|0>>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#5B58\>\<#5728\>
  <math|c<rsub|1>>\<#6EE1\>\<#8DB3\>

  <\equation*>
    <frac|R<rsub|n><around|(|x|)>|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n+1>>=<frac|R<rsub|n><around|(|x|)>|S<rsub|n><around|(|x|)>>=<frac|R<rsub|n><around|(|x|)>-R<rsub|n><around|(|x<rsub|0>|)>|S<rsub|n><around|(|x|)>-S<rsub|n><around|(|x<rsub|0>|)>>=<frac|R<rsub|n><rprime|'><around|(|c<rsub|1>|)>|S<rsub|n><rprime|'><around|(|c<rsub|1>|)>>=<frac|R<rsub|n><rprime|'><around|(|c<rsub|1>|)>|<around|(|n+1|)>*<around|(|c<rsub|1>-x<rsub|0>|)><rsup|n>>
  </equation*>

  \<#540C\>\<#6837\>\<#6709\> <math|R<rsub|n><rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=0>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5206\>\<#6BCD\>
  <math|S<rsub|n><rprime|'><around|(|x|)>=<around|(|n+1|)>*<around|(|c<rsub|1>-x<rsub|0>|)><rsup|n>>
  \<#4E5F\>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53D6\>\<#96F6\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#6B21\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <frac|R<rsub|n><rprime|'><around|(|c<rsub|1>|)>|<around|(|n+1|)>*<around|(|c<rsub|1>-x<rsub|0>|)><rsup|n>>=<frac|R<rsub|n><rprime|'><around|(|c<rsub|1>|)>|S<rsub|n><rprime|'><around|(|c<rsub|1>|)>>=<frac|R<rsub|n><rprime|'><around|(|c<rsub|1>|)>-R<rprime|'><rsub|n><around|(|x<rsub|0>|)>|S<rsub|n><rprime|'><around|(|c<rsub|1>|)>-S<rprime|'><rsub|n><around|(|x<rsub|0>|)>>=<frac|R<rprime|''><rsub|n><around|(|c<rsub|2>|)>|S<rprime|''><rsub|n><around|(|c<rsub|2>|)>>=<frac|R<rprime|''><rsub|n><around|(|c<rsub|2>|)>|<around|(|n+1|)>*n*<around|(|c<rsub|2>-x<rsub|0>|)><rsup|n-1>>
  </equation*>

  \<#5176\>\<#4E2D\> <math|c<rsub|2>>\<#4F4D\>\<#4E8E\>
  <math|c<rsub|1>>\<#4E0E\> <math|x<rsub|0>>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7EE7\>\<#7EED\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#7ECF\>\<#8FC7\>
  <math|n>\<#6B21\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
  <math|c<rsub|n>>\<#4F4D\>\<#4E8E\> <math|c<rsub|n-1>>\<#4E0E\>
  <math|x<rsub|0>>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    <frac|R<rsub|n><around|(|x|)>|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n+1>>=<frac|R<rsup|<around|(|n|)>><rsub|n><around|(|c<rsub|n>|)>|<around|(|n+1|)>!<around|(|c<rsub|n>-x<rsub|0>|)>>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#65F6\>\<#7531\>\<#4E8E\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
  <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#5B58\>\<#5728\>
  <math|n+1>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>
  <math|R<rsub|n><around|(|x|)>>\<#4E5F\>\<#540C\>\<#6837\>\<#5B58\>\<#5728\>
  <math|n+1>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#518D\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
  <math|c<rsub|n+1>>\<#4F4D\>\<#4E8E\> <math|c<rsub|n>>\<#4E0E\>
  <math|x<rsub|0>>\<#4E4B\>\<#95F4\>(\<#4ECE\>\<#800C\>\<#4E5F\>\<#4F4D\>\<#4E8E\>
  <math|x>\<#4E0E\> <math|x<rsub|0>>\<#4E4B\>\<#95F4\>)\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    <frac|R<rsub|n><around|(|x|)>|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n+1>>=<frac|R<rsup|<around|(|n+1|)>><rsub|n><around|(|c<rsub|n+1>|)>|<around|(|n+1|)>!>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5F97\>\<#5230\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|n+1>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#4F59\>\<#9879\>
    <math|R<rsub|n><around|(|x|)>>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      R<rsub|n><around|(|x|)>=<frac|f<rsup|<around|(|n+1|)>><around|(|\<xi\>|)>|<around|(|n+1|)>!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n+1>
    </equation*>

    \<#5176\>\<#4E2D\> <math|\<xi\>>\<#4F4D\>\<#4E8E\> <math|x>\<#4E0E\>
    <math|x<rsub|0>>\<#4E4B\>\<#95F4\>.
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#7684\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#4E8E\>\<#FF0C\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#4EC5\>\<#4EC5\>\<#662F\>\<#5C06\>\<#4F59\>\<#9879\>\<#5B9A\>\<#6027\>\<#4E3A\>
  <math|<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n+1>>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4F59\>\<#9879\>\<#5219\>\<#5B9A\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#5177\>\<#4F53\>\<#7684\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>(\<#542B\>\<#6709\>\<#4E2D\>\<#503C\>).

  <subsection|\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>><label|sec:taylor-series>

  \<#6CF0\>\<#52D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#6709\>\<#76F4\>\<#5230\>
  <math|n>\<#9636\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5C55\>\<#5230\>
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  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>*<around|(|x-x<rsub|0>|)>+<frac|f<rprime|''><around|(|x<rsub|0>|)>|2!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|2>+\<cdots\>+<frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>|n!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>+\<cdots\>
  </equation*>

  \<#6216\>\<#8005\>\<#6309\>\<#7167\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5199\>\<#6CD5\>

  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=f<around|(|x<rsub|0>|)>+<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>|n!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>
  </equation*>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#628A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>
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  <\equation*>
    f<around|(|x|)>=<big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>><frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>|n!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#5426\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#662F\>\<#5426\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#76EE\>\<#524D\>\<#8FD8\>\<#662F\>\<#672A\>\<#77E5\>\<#7684\>.

  \<#8BB0\>\<#53F3\>\<#4FA7\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#548C\>\<#4E3A\>
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  <math|f<around|(|x|)>-T<rsub|n><around|(|x|)>>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#7684\>
  <math|x>\<#5F53\> <math|n\<to\>\<infty\>>\<#65F6\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#7406\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>><frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x<rsub|0>|)>|n!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>
    </equation*>

    \<#6536\>\<#655B\>\<#5230\> <math|f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#4F59\>\<#9879\>
    <math|R<rsub|n><around|(|x|)>>\<#6EE1\>\<#8DB3\>

    <\equation*>
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    </equation*>
  </theorem>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>\<#4F59\>\<#9879\>
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  <\equation*>
    R<rsub|n><around|(|x|)>=<frac|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|\<xi\>|)>|<around|(|n+1|)>!>*<around|(|x-x<rsub|0>|)><rsup|n>
  </equation*>

  \<#6839\>\<#636E\>\<#5DF2\>\<#77E5\>\<#6781\>\<#9650\>
  <reference|example:limit-of-a-power-n-devide-by-n-fraction>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
  <math|f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x|)>>\<#5728\> <math|x> \<#4E0E\>
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  <math|lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> R<rsub|n><around|(|x|)>=0>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#5F97\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
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    <math|x> \<#4E0E\> <math|x<rsub|0>> \<#4E4B\>\<#95F4\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5171\>\<#540C\>\<#7684\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|L\<gtr\>0> \<#4F7F\>\<#5F97\> <math|<around|\||f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|t|)>|\|>\<leqslant\>L>\<#5BF9\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#548C\> <math|x>\<#4E0E\> <math|x<rsub|0>>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
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    <math|f<around|(|x|)>>.
  </theorem>

  \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#6765\>\<#5C06\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#77E5\>\<#7684\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#548C\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#72B6\>.

  <subsection|\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F00\>><label|sec:taylor-expand-for-power-function>

  1. \<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>=x<rsup|p><around|(|x\<gtr\>0,p\<in\>R|)>>.

  \<#7531\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#662F\>\<#5728\>
  <math|x=0>\<#5904\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5B83\>\<#5728\>
  <math|x=1>\<#5904\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#4F5C\>\<#4EE3\>\<#6362\>
  <math|t=x-1>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|t|)>=<around|(|1+t|)><rsup|p>*<around|(|t\<gtr\>-1|)>>\<#5728\>
  <math|t=0>\<#5904\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8FD8\>\<#662F\>\<#7528\>
  <math|x>\<#6765\>\<#66FF\>\<#6362\> <math|t>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>
  <math|n>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#662F\>

  <\equation*>
    f<rsup|<around|(|n|)>><around|(|x|)>=p*<around|(|p-1|)>*\<cdots\>*<around|(|p-n+1|)>*<around|(|1+x|)><rsup|p-n>
  </equation*>

  \<#6545\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>=<around|(|1+x|)><rsup|p>*<around|(|x\<gtr\>-1|)>>
  \<#5728\> <math|x=0> \<#5904\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#662F\>

  <\equation*>
    <around|(|1+x|)><rsup|p>=1+p*x+<frac|p*<around|(|p-1|)>|2!>*x<rsup|2>+\<cdots\>+<frac|p*<around|(|p-1|)>*\<cdots\>*<around|(|p-n+1|)>|n!>*x<rsup|n>+o<around|(|x<rsup|n>|)>
  </equation*>

  \<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4F59\>\<#9879\>\<#662F\>

  <\equation*>
    R<rsub|n><around|(|x|)>=<frac|p*<around|(|p-1|)>*\<cdots\>*<around|(|p-n|)>*<around|(|1+\<xi\>|)><rsup|p-n>|<around|(|n+1|)>!>*x<rsup|n+1>
  </equation*>

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  <math|p>\<#FF0C\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>\<#5219\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#7701\>\<#7565\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8003\>\<#8651\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#5176\>
  <math|n>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#5728\> <math|0>\<#4E0E\>
  <math|x>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#6709\>\<#754C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
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  <math|x>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#5373\>\<#77E5\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#5728\>
  <math|<around|(|-1,+\<infty\>|)>>\<#4E0A\>\<#90FD\>\<#6536\>\<#655B\>\<#5230\>
  <math|f<around|(|x|)>>:

  <\equation*>
    <around|(|1+x|)><rsup|p>=1+p*x+<frac|p*<around|(|p-1|)>|2!>*x<rsup|2>+\<cdots\>+<frac|p*<around|(|p-1|)>*\<cdots\>*<around|(|p-n+1|)>|n!>*x<rsup|n>+\<cdots\>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#5F0F\>\<#5B50\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#4F5C\>\<#662F\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#88AB\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#725B\>\<#987F\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>>.

  \<#5728\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#4EE4\> <math|p=-1>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#5C06\>
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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
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  </equation*>

  \<#53D6\> <math|p=-<frac|1|2>>\<#FF0C\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    <frac|1|<sqrt|1+x>>=1-<frac|1|2>*x+<frac|3|8>*x<rsup|2>-<frac|15|48>*x<rsup|3>+\<cdots\>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#6765\>\<#5BF9\>\<#5F00\>\<#65B9\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#FF0C\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#5219\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7531\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4F59\>\<#9879\>\<#7ED9\>\<#51FA\>.

  <subsection|\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F00\>><label|sec:taylor-expand-for-exp-function>

  \<#73B0\>\<#5728\>\<#8003\>\<#8651\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>=<math-up|e><rsup|x>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#662F\>\<#81EA\>\<#8EAB\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#662F\>\<#81EA\>\<#8EAB\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#5728\>
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    <math-up|e><rsup|x>=1+x+<frac|1|2!>*x<rsup|2>+\<cdots\>+<frac|1|n!>*x<rsup|n>+o<around|(|x<rsup|n>|)>
  </equation*>

  \<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4F59\>\<#9879\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
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  </equation*>

  \<#5373\>

  <\equation*>
    lim<rsub|n\<to\>\<infty\>> R<rsub|n><around|(|x|)>=0
  </equation*>

  \<#56E0\>\<#6B64\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#7EA7\>\<#6570\>\<#5728\>
  <math|x>\<#5904\>\<#6536\>\<#655B\>\<#FF0C\>\<#7531\>
  <math|x>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#5373\>\<#77E5\>\<#5728\>\<#6574\>\<#4E2A\>
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  <\equation*>
    <math-up|e><rsup|x>=<big|sum><rsub|n=0><rsup|\<infty\>><frac|1|n!>*x<rsup|n>=1+x+<frac|1|2!>*x<rsup|2>+\<cdots\>+<frac|1|n!>*x<rsup|n>+\<cdots\>
  </equation*>

  \<#53D6\> <math|x=1>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#5230\>

  <\equation*>
    <math-up|e>=<big|sum><rsub|n=1><rsup|\<infty\>><frac|1|n!>=1+<frac|1|2!>+\<cdots\>+<frac|1|n!>+\<cdots\>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\>
  <reference|sec:a-import-sequence-limit>
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  <subsection|\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F00\>><label|sec:taylor-expand-for-ln-function>

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  <math|x=1>\<#5904\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#6C42\>
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  <math|x=0>\<#5904\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\>
  <reference|sec:high-level-derivative> \<#4E2D\>\<#6240\>\<#6C42\>\<#5F97\>\<#7684\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9AD8\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#6570\>

  <\equation*>
    <frac|\<mathd\><rsup|n><around|(|ln <around|(|1+x|)>|)>|\<mathd\>x<rsup|n>>=<frac|<around|(|-1|)><rsup|n-1>*<around|(|n-1|)>!|<around|(|1+x|)><rsup|n>>
  </equation*>

  \<#53EF\>\<#5F97\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F0F\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    ln <around|(|1+x|)>=x-<frac|1|2>*x<rsup|2>+<frac|1|3>*x<rsup|3>-\<cdots\>+<frac|<around|(|-1|)><rsup|n-1>|n>*x<rsup|n>+o<around|(|x<rsup|n>|)>
  </equation*>

  \<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4F59\>\<#9879\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    R<rsub|n><around|(|x|)>=<frac|<around|(|-1|)><rsup|n>|<around|(|n+1|)>*n*<around|(|1+\<xi\>|)><rsup|n>>*x<rsup|n+1>
  </equation*>

  \<#56FA\>\<#5B9A\> <math|x(\<gtr\>-1)>\<#FF0C\>\<#4F59\>\<#9879\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E2D\>\<#503C\>
  <math|\<xi\>>\<#4F4D\>\<#4E8E\> <math|0>\<#4E0E\>
  <math|x>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>\<#754C\>(\<#4F4D\>\<#4E8E\>
  <math|0>\<#4E0E\> <math|ln <around|(|1+x|)>>\<#4E4B\>\<#95F4\>)

  <subsection|\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F00\>><label|sec:taylor-expand-for-triangle-function>

  \<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>

  \<#5BF9\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\equation*>
    sin x=x-<frac|1|3!>*x<rsup|3>+<frac|1|5!>*x<rsup|5>-\<cdots\>+<frac|<around|(|-1|)><rsup|n>|<around|(|2*n+1|)>!>*x<rsup|2*n+1>+o<around|(|x<rsup|2*n+1>|)>
  </equation*>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#662F\>

  <\equation*>
    cos x=1-<frac|1|2!>*x<rsup|2>+<frac|1|4!>*x<rsup|4>-\<cdots\>+<frac|<around|(|-1|)><rsup|n>|<around|(|2*n|)>!>*x<rsup|2*n>+o<around|(|x<rsup|2*n>|)>
  </equation*>

  <subsection|\<#5E42\>\<#7EA7\>\<#6570\>><label|sec:power-series>

  <section|\<#5229\>\<#7528\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#7814\>\<#7A76\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>><label|sec:research-function-use-derivative>

  <subsection|\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>><label|sec:condition-for-constant-function>

  \<#5173\>\<#4E8E\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#5B9A\>\<#7406\>

  <\theorem>
    \<#67D0\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#6052\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#4E3A\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#51FD\>\<#6570\>.
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4ECB\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#4FE9\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<xi\>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <frac|f<around|(|x<rsub|1>|)>-f<around|(|x<rsub|2>|)>|x<rsub|1>-x<rsub|2>>=f<rprime|'><around|(|\<xi\>|)>=0
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\> <math|f<around|(|x<rsub|1>|)>=f<around|(|x<rsub|2>|)>>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#77E5\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#53E6\>\<#5916\>\<#FF0C\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5F97\>\<#8BC1\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#8FDB\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\corollary>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#67D0\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6052\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4EC5\>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#3002\>
  </corollary> \<#8FD9\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#8003\>\<#5BDF\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5DEE\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5C31\>\<#6E05\>\<#695A\>\<#4E86\>\<#3002\>

  <subsection|\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#4E0E\>\<#6781\>\<#503C\>><label|sec:research-monotonicity-and-minmax-value>

  \<#5BFC\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#6765\>\<#7814\>\<#7A76\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#548C\>\<#6781\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5148\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#7406\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#4E00\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#6052\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>\<geqslant\>0>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#4E0D\>\<#51CF\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>\<leqslant\>0>\<#6052\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#4E0D\>\<#589E\>\<#3002\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#603B\>\<#4E0D\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#6216\>\<#8005\>\<#81F3\>\<#591A\>\<#4EC5\>\<#5728\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#662F\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#7684\>\<#3002\>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#6052\>\<#6210\>\<#7ACB\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>\<geqslant\>0>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#6570\>
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    <math|x<rsub|1>\<less\>x<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#6309\>\<#7167\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|\<xi\>\<in\><around|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      f<rprime|'><around|(|\<xi\>|)>=<frac|f<around|(|x<rsub|1>|)>-f<around|(|x<rsub|2>|)>|x<rsub|1>-x<rsub|2>>
    </equation*>

    \<#7531\> <math|f<rprime|'><around|(|\<xi\>|)>\<geqslant\>0>\<#5373\>\<#5F97\>
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    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>\<geqslant\>0>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#6C38\>\<#8FDC\>\<#4E0D\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#6C38\>\<#8FDC\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#53D6\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#662F\>
    <math|f<around|(|x<rsub|1>|)>\<less\>f<around|(|x<rsub|2>|)>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#662F\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#9012\>\<#589E\>\<#7684\>\<#3002\>

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    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>\<in\><around|[|a,b|]>>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|x<rsub|1>\<less\>x<rsub|2>>\<#4E14\>
    <math|f<around|(|x<rsub|1>|)>=f<around|(|x<rsub|2>|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|1>|)>>\<#4E0E\>
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    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|1>|)>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5B58\>\<#5728\>
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    <math|f<around|(|x|)>\<gtr\>f<around|(|x<rsub|1>|)>=f<around|(|x<rsub|2>|)>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#628A\>
    <math|\<delta\>>\<#9650\>\<#5236\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
    <math|x<rsub|1>+\<delta\>\<less\>x<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|<around|(|x<rsub|1>,x<rsub|1>+\<delta\>|)>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#5C31\>\<#90FD\>\<#5927\>\<#4E8E\>
    <math|f<around|(|x<rsub|2>|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#4E0D\>\<#51CF\>\<#662F\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5F97\>\<#8BC1\>\<#3002\>
  </proof>

  <\example>
    \<#5173\>\<#4E8E\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6052\>\<#975E\>\<#8D1F\>\<#FF0C\>\<#4EC5\>\<#5728\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#53D6\>\<#96F6\>\<#503C\>\<#4E5F\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=x<rsup|3>>\<#63D0\>\<#4F9B\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y<rprime|'>=3*x<rsup|2>\<geqslant\>0>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#4EC5\>\<#5728\>
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  </example>

  <\example>
    \<#9700\>\<#8981\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#7684\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#4E0D\>\<#51CF\>\<#4E0E\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#4E0D\>\<#589E\>\<#6765\>\<#8BB2\>\<#FF0C\>\<#6761\>\<#4EF6\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>\<geqslant\>0>\<#6216\>\<#8005\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>\<leqslant\>0>\<#662F\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF08\>\<#5728\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#7684\>\<#524D\>\<#63D0\>\<#4E0B\>\<#FF09\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E14\>\<#81F3\>\<#591A\>\<#4EC5\>\<#5728\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#53D6\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#800C\>\<#975E\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4F1A\>\<#4E3E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#53CD\>\<#4F8B\>\<#52A0\>\<#4EE5\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#3002\>

    \<#5728\>\<#6B63\>\<#65B9\>\<#5F62\>\<#533A\>\<#57DF\>
    <math|<around|[|-1,1|]>\<times\><around|[|-1,1|]>>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#7528\>
    <math|x=y=\<pm\><frac|1|n>*<around|(|n=1,2,\<ldots\>|)>>\<#5212\>\<#5206\>\<#7F51\>\<#683C\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#6B63\>\<#65B9\>\<#5F62\>\<#533A\>\<#57DF\>
    <math|<around|[|<frac|1|n+1>,<frac|1|n>|]>\<times\><around|[|<frac|1|n+1>,<frac|1|n>|]>>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#5DE6\>\<#4E0B\>\<#89D2\>\<#7684\>\<#89D2\>\<#70B9\>
    <math|<around*|(|<frac|1|n+1>,<frac|1|n+1>|)>>\<#4E0E\>\<#53F3\>\<#4E0A\>\<#89D2\>\<#7684\>\<#89D2\>\<#70B9\>
    <math|<around*|(|<frac|1|n>,<frac|1|n>|)>>\<#7528\>\<#4E00\>\<#6BB5\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#8FDE\>\<#63A5\>\<#8D77\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6BB5\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#662F\>\<#5C06\>
    <math|y=sin x>\<#5728\> <math|<around*|[|-<frac|\<pi\>|2>,<frac|\<pi\>|2>|]>>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#5E73\>\<#79FB\>\<#548C\>\<#6CBF\>\<#5750\>\<#6807\>\<#8F74\>\<#65B9\>\<#5411\>\<#7684\>\<#62C9\>\<#4F38\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#5F97\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#6B63\>\<#597D\>\<#88AB\>\<#5C0F\>\<#6B63\>\<#65B9\>\<#5F62\>\<#533A\>\<#57DF\>\<#6846\>\<#4F4F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#4E00\>\<#6BB5\>\<#4E00\>\<#6BB5\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#76F8\>\<#63A5\>\<#FF0C\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5168\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|<frac|1|n+1>,<frac|1|n>|]>>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>\<#662F\>:

    <\equation*>
      f<around|(|x|)>=<frac|1|2>*<around*|(|<frac|1|n+1>+<frac|1|n>|)>+<frac|1|2*n*<around|(|n+1|)>>*sin
      \<pi\>*n*<around|(|n+1|)>*<around*|[|x-<frac|1|2>*<around*|(|<frac|1|n+1>+<frac|1|n>|)>|]>
    </equation*>

    \<#5728\> <math|x=0>\<#5904\>\<#4EE4\>
    <math|f<around|(|0|)>=0>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#540E\>\<#5C06\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#4E2D\>\<#5FC3\>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#5230\>\<#7B2C\>\<#4E09\>\<#8C61\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#534A\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#5B8C\>\<#6574\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|x=\<pm\><frac|1|n>>\<#5904\>\<#90FD\>\<#53D6\>\<#96F6\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#518D\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|f<rprime|'><around|(|0|)>=1>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E86\>\<#3002\>

    \<#8BBE\>

    <\equation*>
      x=<frac|1|2>*<around*|(|<frac|1|n+1>+<frac|1|n>|)>+t,<around|\||t|\|>\<leqslant\><frac|1|2>*<around*|(|<frac|1|n>-<frac|1|n+1>|)>=<frac|1|2*n*<around|(|n+1|)>>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>

    <\align*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|f<around|(|x|)>-f<around|(|0|)>|x-0>>|<cell|=<frac|f<around|(|x|)>|x>>>|<row|<cell|>|<cell|=<frac|<frac|1|2>*<around*|(|<frac|1|n+1>+<frac|1|n>|)>+<frac|1|2*n*<around|(|n+1|)>>*sin
      \<pi\>*n*<around|(|n+1|)>*t|<frac|1|2>*<around*|(|<frac|1|n+1>+<frac|1|n>|)>+t>>>|<row|<cell|>|<cell|=<frac|2*n+1+sin
      \<pi\>*n*<around|(|n+1|)>*t|2*n+1+2*n*<around|(|n+1|)>*t>>>>>
    </align*>

    \<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\> <math|<around|\||2*n*<around|(|n+1|)>*t|\|>\<leqslant\>1>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#51FA\>

    <\equation*>
      lim<rsub|x\<to\>0> <frac|f<around|(|x|)>|x>=1
    </equation*>

    \<#5373\> <math|f<rprime|'><around|(|0|)>=1> .

    \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4FBF\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6709\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#591A\>\<#4E2A\>\<#96F6\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6709\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#5230\>\<#5E95\>\<#653E\>\<#5BBD\>\<#5230\>\<#4F55\>\<#79CD\>\<#7A0B\>\<#5EA6\>\<#FF0C\>\<#65B9\>\<#80FD\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#5462\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#5728\>\<#5B9E\>\<#53D8\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6D4B\>\<#5EA6\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#4E2D\>\<#65B9\>\<#80FD\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#7B54\>\<#6848\>\<#3002\>
  </example>

  \<#5173\>\<#4E8E\>\<#6781\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#8D39\>\<#9A6C\>\<#6781\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#6781\>\<#503C\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#5982\>\<#679C\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#5982\>\<#4F55\>\<#5224\>\<#65AD\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#96F6\>\<#70B9\>\<#662F\>\<#5426\>\<#662F\>\<#539F\>\<#6765\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6781\>\<#503C\>\<#70B9\>\<#5462\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#5B9A\>\<#7406\>

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#4E24\>\<#6761\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#503C\>.

    <\enumerate>
      <item> <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=0>.

      <item>\<#5B58\>\<#5728\> <math|x<rsub|0>>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#8DB3\>\<#591F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#4FA7\>\<#7A7A\>\<#5FC3\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#5404\>\<#81EA\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#6052\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#4E24\>\<#4FA7\>\<#7684\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#6B63\>\<#597D\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#FF0C\>\<#5177\>\<#4F53\>\<#7684\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5DE6\>\<#6B63\>\<#53F3\>\<#8D1F\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
      <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#5927\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#4E4B\>\<#FF0C\>\<#82E5\>\<#5DE6\>\<#8D1F\>\<#53F3\>\<#6B63\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
      <math|x<rsub|0>>\<#5904\>\<#53D6\>\<#6781\>\<#5C0F\>\<#503C\>\<#3002\>
    </enumerate>
  </theorem>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#53EA\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6781\>\<#5927\>\<#503C\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#6EE1\>\<#8DB3\>
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    <math|<around|(|x<rsub|0>-\<delta\>,x<rsub|0>|)>>\<#4E0A\>\<#6709\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5728\>\<#53F3\>\<#4FA7\>
    <math|<around|(|x<rsub|0>,x<rsub|0>+\<delta\>|)>>\<#4E0A\>\<#6709\>
    <math|f<rprime|'><around|(|x|)>\<less\>0>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>
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    <math|f<around|(|x<rsub|0>|)>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6781\>\<#5927\>\<#503C\>\<#3002\>\<#6781\>\<#5C0F\>\<#503C\>\<#4E5F\>\<#540C\>\<#7406\>\<#53EF\>\<#8BC1\>\<#3002\>
  </proof>

  <\example>
    \<#6CE8\>\<#610F\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>(\<#5047\>\<#5B9A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#603B\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#7684\>)\<#3002\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#6781\>\<#503C\>\<#7684\>\<#90BB\>\<#57DF\>\<#5185\>\<#90FD\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#6709\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EFF\>\<#7167\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#6784\>\<#9020\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#53CD\>\<#4F8B\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#5904\>\<#4ECE\>\<#7565\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <math|f<rprime|'><around|(|x<rsub|0>|)>=0>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

    <\equation*>
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    </equation*>

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    <math|\<beta\>>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5373\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <frac|sin \<alpha\>|v<rsub|1>>=<frac|sin \<beta\>|v<rsub|2>>
    </equation*>

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    <math|n<rsub|1>>\<#548C\> <math|n<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <frac|sin \<alpha\>|n<rsub|1>>=<frac|sin \<beta\>|n<rsub|2>>
    </equation*>

    \<#6216\>\<#8005\>\<#5199\>\<#6210\>

    <\equation*>
      <frac|sin \<alpha\>|sin \<beta\>>=<frac|n<rsub|1>|n<rsub|2>>
    </equation*>

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  </example>

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    <\equation*>
      f*<around|(|\<alpha\>*x<rsub|1>+\<beta\>*x<rsub|2>|)>\<geqslant\>\<alpha\>*f<around|(|x<rsub|1>|)>+\<beta\>*f<around|(|x<rsub|2>|)>
    </equation*>

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  <\example>
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    <\equation*>
      <around|(|\<alpha\>*x<rsub|1>+\<beta\>*x<rsub|2>|)><rsup|2>-<around|(|\<alpha\>*x<rsub|1><rsup|2>+\<beta\>*x<rsub|2><rsup|2>|)>=-\<alpha\>*\<beta\>*<around|(|x<rsub|1>-x<rsub|2>|)><rsup|2>\<leqslant\>0
    </equation*>

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  </example>

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  <\theorem>
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    </equation*>
  </theorem>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\equation*>
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  </equation*>

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    <math|f<around|(|x|)>>\<#5BF9\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>

    <\equation*>
      f<around*|(|<frac|x<rsub|1>+x<rsub|2>|2>|)>\<geqslant\><frac|f<around|(|x<rsub|1>|)>+f<around|(|x<rsub|2>|)>|2>
    </equation*>

    \<#5219\>\<#79F0\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\><em|\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#51FD\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#3001\>\<#4E0B\>\<#51F8\>\<#3001\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#4E0B\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#3002\>
  </definition>

  \<#5373\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#524D\>\<#9762\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>
  <math|\<alpha\>=\<beta\>=<frac|1|2>>\<#5C31\>\<#591F\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#70B9\>\<#5728\>\<#6211\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#7684\>\<#7B14\>\<#8BB0\>\<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#4ECE\>\<#7565\>\<#3002\>

  \<#7531\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7ACB\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#8457\>\<#540D\>\<#7684\>
  <em|\<#7434\>\<#751F\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>>.

  <\theorem>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#67D0\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#53D6\>\<#5B9A\>
    <math|n>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|x<rsub|i><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      f*<around*|(|<frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>|)>\<geqslant\><frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|x<rsub|i>|)>
    </equation*>
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#540C\>\<#6837\>\<#89C1\>\<#4E8E\>\<#6211\>\<#7684\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#7B14\>\<#8BB0\>\<#FF0C\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#4ECE\>\<#7565\>\<#3002\>

  <\example>
    \<#7434\>\<#751F\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#7CFB\>\<#5217\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#6765\>\<#6E90\>\<#FF0C\>\<#4F8B\>\<#5982\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#540E\>\<#9762\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=ln x>\<#5728\> <math|<around|(|0,+\<infty\>|)>>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5957\>\<#7528\>\<#7434\>\<#751F\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|n>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x<rsub|i><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      ln <around*|(|<frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>|)>\<geqslant\><frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>ln
      x<rsub|i>
    </equation*>

    \<#5373\>

    <\equation*>
      <frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>\<geqslant\><sqrt|<big|prod><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>|n>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8457\>\<#540D\>\<#7684\><em|\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>>.
  </example>

  \<#5229\>\<#7528\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#5230\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#67D0\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|n>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|x<rsub|i><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<alpha\><rsub|i>=1*<around|(|\<alpha\><rsub|i>\<geqslant\>0,i=1,2,\<ldots\>,n|)>
    </equation*>

    \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#6743\>\<#503C\>
    <math|\<alpha\><rsub|i>*<around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>

    <\equation*>
      f<around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<alpha\><rsub|i>*x<rsub|i>|)>\<geqslant\><big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<alpha\><rsub|i>*f<around|(|x<rsub|i>|)>
    </equation*>
  </theorem>

  \<#73B0\>\<#5728\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#5DE5\>\<#5177\>\<#6765\>\<#7814\>\<#7A76\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#51F8\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4EC5\>\<#9650\>\<#4E8E\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#51F8\>\<#6027\>\<#3002\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#4E0D\>\<#589E\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#3002\>
  </theorem>

  \<#7531\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7ED3\>\<#5408\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\><reference|convert-function-tangent-of-secant-line>\<#5C31\>\<#6E05\>\<#695A\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#5F53\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#3002\>

  \<#81EA\>\<#7136\>\<#7684\>\<#4E5F\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\corollary>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|f<rprime|''><around|(|x|)>\<leqslant\>0>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#662F\>\<#4E0B\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#3002\>
  </corollary>

  <\example>
    \<#7531\>\<#6B64\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#FF0C\>\<#6307\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|\<bbb-R\>>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0B\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|<around|(|0,+\<infty\>|)>>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#3002\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|<around|(|0,\<pi\>|)>>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5728\>
    <math|<around|(|-\<pi\>,0|)>>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0B\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|<around|(|-<frac|\<pi\>|2>,<frac|\<pi\>|2>|)>>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5728\>
    <math|<around|(|<frac|\<pi\>|2>*\<#FF0C\><frac|3*\<pi\>|2>|)>>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0B\>\<#51F8\>\<#7684\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <dueto|\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#51F8\>\<#6027\>\<#4E0E\>\<#5E42\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=x<rsup|p>>\<#FF0C\>\<#4E8C\>\<#9636\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y<rprime|''>=p*<around|(|p-1|)>*x<rsup|p-2>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|p\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#5728\>
    <math|<around|(|0,+\<infty\>|)>>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#4E0B\>\<#51F8\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5426\>\<#5219\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#51F8\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#7684\>\<#5E42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#7434\>\<#751F\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|n>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x<rsub|i><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|p\<gtr\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation>
      <label|eq:power-mean-value-inequality-1><around*|(|<frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>|)><rsup|p>\<leqslant\><frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i><rsup|p>
    </equation>

    \<#5982\>\<#679C\> <math|p\<less\>1>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#3002\>

    \<#73B0\>\<#5728\>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|p\<gtr\>q\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|(|<frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>t<rsub|i>|)><rsup|<frac|p|q>>\<leqslant\><frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>t<rsub|i><rsup|<frac|p|q>>
    </equation*>

    \<#518D\>\<#4EE4\> <math|t<rsub|i>=x<rsub|i><rsup|q>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5F97\>

    <\equation>
      <label|eq:power-mean-value-inequality-2><around*|(|<frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i><rsup|q>|)><rsup|<frac|1|q>>\<leqslant\><around*|(|<frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i><rsup|p>|)><rsup|<frac|1|p>>
    </equation>

    \<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      f<around|(|\<alpha\>|)>=<around*|(|<frac|1|n>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i><rsup|\<alpha\>>|)><rsup|<frac|1|\<alpha\>>>
    </equation*>

    \<#5173\>\<#4E8E\>\<#6307\>\<#6570\> <math|\<alpha\>>\<#4E25\>\<#683C\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#3002\>

    \<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\><reference|eq:power-mean-value-inequality-1>\<#4EE5\>\<#53CA\><reference|eq:power-mean-value-inequality-2>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#5E42\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>>.
  </example>

  <subsection|\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#89E3\>><label|sec:approx-solve-of-equation>

  <section|\<#504F\>\<#5BFC\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#504F\>\<#5FAE\>\<#5206\>><label|sec:partial-derivative-and-partial-differential>

  <subsection|\<#504F\>\<#5BFC\>\<#6570\>><label|sec:partial-derivative>

  <subsection|\<#504F\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#5168\>\<#5FAE\>\<#5206\>><label|sec:partial-differential>

  <subsection|\<#591A\>\<#5143\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>><label|sec:taylor-formular-of-multivar-fun><chapter|\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>>

  <section|\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#539F\>\<#7406\>\<#53CA\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>><label|sec:principle-and-relation-between-definite-and-indefinite-integral>

  \<#5728\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#7ECF\>\<#5E38\>\<#89C1\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#91CF\>\<#5BF9\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#7D2F\>\<#79EF\>(\<#4E58\>\<#79EF\>)\<#FF0C\>\<#4F8B\>\<#5982\>\<#7269\>\<#4F53\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#662F\>\<#7EB5\>\<#6A2A\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#5411\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#7D2F\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#8DEF\>\<#7A0B\>\<#662F\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#5BF9\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#7D2F\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#529F\>\<#662F\>\<#529B\>\<#5BF9\>\<#4F4D\>\<#79FB\>\<#7684\>\<#7D2F\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#7B49\>\<#7B49\>\<#3002\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#4EE5\>\<#524D\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#901A\>\<#5E38\>\<#53EA\>\<#4F1A\>\<#5904\>\<#7406\>\<#6700\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EA\>\<#4F1A\>\<#6C42\>\<#89C4\>\<#5219\>\<#56FE\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#4E0D\>\<#89C4\>\<#5219\>\<#56FE\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#4F1A\>\<#5904\>\<#7406\>\<#5300\>\<#901F\>\<#8FD0\>\<#52A8\>\<#7684\>\<#8DEF\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#53D8\>\<#901F\>\<#8FD0\>\<#52A8\>\<#7684\>\<#8DEF\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#4F1A\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#6052\>\<#5B9A\>\<#529B\>\<#505A\>\<#529F\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#53D8\>\<#529B\>\<#505A\>\<#529F\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#5904\>\<#7406\>\<#8FD9\>\<#7C7B\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#800C\>\<#88AB\>\<#53D1\>\<#73B0\>\<#7684\>\<#3002\>

  \<#540E\>\<#6765\>\<#725B\>\<#987F\>\<#4E0E\>\<#83B1\>\<#5E03\>\<#5C3C\>\<#8328\>\<#53C8\>\<#53D1\>\<#73B0\>\<#4E86\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7740\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#53C8\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#7684\>\<#8054\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>\<#4E0E\>\<#5FAE\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#6DF1\>\<#523B\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#4E5F\>\<#88AB\>\<#63ED\>\<#793A\>\<#5728\>\<#4E16\>\<#4EBA\>\<#9762\>\<#524D\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#4E4B\>\<#5927\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#88AB\>\<#51A0\>\<#4E4B\>\<#4EE5\>\<#5FAE\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#5FAE\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#77F3\>\<#3002\>

  <subsection|\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#548C\>\<#4E0E\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>><label|sec:riemann-sum-and-concept-of-definite-integral>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#5148\>\<#6765\>\<#770B\>\<#51E0\>\<#4E2A\>\<#4F8B\>\<#5B50\>\<#3002\>

  <\example>
    <dueto|\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>>

    <big-figure|<with|par-mode|center|<image|integral/pic/area-of-curvilinear-trapezoid.pdf||||><label|fig:area-of-curvilinear-trapezoid>>|\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>>

    \<#5982\> <reference|fig:area-of-curvilinear-trapezoid>
    \<#6240\>\<#793A\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#503C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#4E0E\>\<#76F4\>\<#7EBF\>
    <math|x=a>\<#3001\> <math|x=b>\<#4EE5\>\<#53CA\> <math|x>
    \<#8F74\>\<#56F4\>\<#6210\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#4E0B\>\<#65B9\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#3002\>

    \<#901A\>\<#8FC7\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#5185\>\<#63D2\>\<#5165\>\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#70B9\>\<#628A\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#5212\>\<#5206\>\<#6210\> <math|n>
    \<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>(\<#4E0D\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#7B49\>\<#5206\>):

    <\equation*>
      a=x<rsub|0>\<less\>x<rsub|1>\<less\>\<cdots\>\<less\>x<rsub|i-1>\<less\>x<rsub|i>\<less\>\<cdots\>\<less\>x<rsub|n>=b
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#6837\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#5C31\>\<#88AB\>\<#5212\>\<#5206\>\<#6210\>\<#4E86\>
    <math|n>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#662F\>
    <math|S>\<#FF0C\>\<#7B2C\> <math|i> \<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#662F\>
    <math|S<rsub|i>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>

    <\equation*>
      S=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>S<rsub|i>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#7528\>\<#77E9\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#6765\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#5176\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5404\>\<#53D6\>\<#5B9A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#70B9\>:
    <math|\<xi\><rsub|i>\<in\><around|[|x<rsub|i-1>,x<rsub|i>|]><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#7528\>
    <math|y<rsub|i>=f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>>\<#6765\>\<#4F5C\>\<#77E9\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#8FB9\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#77E9\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#662F\>
    <math|f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>*\<Delta\>*x<rsub|i>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|\<Delta\>*x<rsub|i>=x<rsub|i>-x<rsub|i-1>> \<#662F\>\<#7B2C\>
    <math|i> \<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>

    <\equation*>
      S<rsub|i>\<approx\>f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>*\<Delta\>*x<rsub|i>
    </equation*>

    \<#90A3\>\<#4E48\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#603B\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#8FD9\>
    <math|n>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#77E9\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#6765\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#4EE3\>\<#66FF\>:

    <\equation*>
      S=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>S<rsub|i>\<approx\><big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>*\<Delta\>*x<rsub|i>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#8D8A\>\<#591A\>\<#FF0C\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#8D8A\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#5C31\>\<#8D8A\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#7C92\>\<#5EA6\>(\<#5404\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#957F\>\<#5EA6\>)\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#7AEF\>\<#5C06\>\<#4EE5\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#3002\>
  </example>

  <\example>
    <dueto|\<#53D8\>\<#901F\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#8FD0\>\<#52A8\>\<#7684\>\<#4F4D\>\<#79FB\>>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#67D0\>\<#8D28\>\<#70B9\>\<#505A\>\<#53D8\>\<#901F\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#8FD0\>\<#52A8\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#662F\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|v=v<around|(|t|)>>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8981\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#5B83\>\<#4ECE\>
    <math|t=a>\<#5230\> <math|t=b>\<#8FD9\>\<#6BB5\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#6BB5\>\<#5185\>\<#53D1\>\<#751F\>\<#7684\>\<#4F4D\>\<#79FB\>.
    \<#5982\>\<#679C\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#6052\>\<#5B9A\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5C06\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#4E0E\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#6BB5\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#76F8\>\<#4E58\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#662F\>\<#4E2A\>\<#65F6\>\<#65F6\>\<#523B\>\<#523B\>\<#90FD\>\<#5728\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#7684\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#529E\>\<#6CD5\>\<#884C\>\<#4E0D\>\<#901A\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5C06\>\<#8BE5\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#6BB5\>\<#5212\>\<#5206\>\<#6210\>\<#5F88\>\<#591A\>\<#5F88\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5F88\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#7684\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#5F88\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#770B\>\<#6210\>\<#662F\>\<#5300\>\<#901F\>\<#8FD0\>\<#52A8\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#8D28\>\<#70B9\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#5F88\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#5185\>\<#6240\>\<#53D1\>\<#751F\>\<#7684\>\<#4F4D\>\<#79FB\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#6C42\>\<#51FA\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#603B\>\<#7684\>\<#4F4D\>\<#79FB\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#6C42\>\<#51FA\>\<#3002\>

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    <math|n>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#533A\>\<#95F4\>(\<#4E0D\>\<#5FC5\>\<#7B49\>\<#5206\>):

    <\equation*>
      a=t<rsub|0>\<less\>\<cdots\>\<less\>t<rsub|i-1>\<less\>t<rsub|i>\<less\>\<cdots\>\<less\>t<rsub|n>=b
    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>

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  <\example>
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    <\equation*>
      a=l<rsub|0>\<less\>\<cdots\>*l<rsub|i-1>\<less\>l<rsub|i>\<less\>\<cdots\>\<less\>b=l<rsub|n>
    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>
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  <\equation*>
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  </equation*>

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    <\equation*>
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  <\definition>
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    <\equation*>
      a=x<rsub|0>\<less\>\<cdots\>\<less\>x<rsub|i-1>\<less\>x<rsub|i>\<less\>\<cdots\>\<less\>x<rsub|n>=b
    </equation*>

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    <\equation*>
      s=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>m<rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>
    </equation*>

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    <\equation*>
      S=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>M<rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>
    </equation*>

    \<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#90FD\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#8FBE\>\<#5E03\>\<#548C\>>.
  </definition>

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  <math|\<xi\><rsub|i>>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\equation*>
    m<rsub|i>\<leqslant\>f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>\<leqslant\>M<rsub|i>
  </equation*>

  \<#56E0\>\<#6B64\>\<#6709\>

  <\equation*>
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  </equation*>

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  <\proposition>
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  </proposition>

  <\proof>
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    <\equation*>
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    </equation*>

    \<#4EE5\>\<#53CA\>

    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <\equation*>
      M<rsub|i>*<around|(|x<rsub|i>-x<rsub|i-1>|)>
    </equation*>

    \<#5C06\>\<#88AB\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#4E24\>\<#9879\>\<#4EE3\>\<#66FF\>:

    <\equation*>
      M<rsub|i*1>*<around|(|x<rprime|'>-x<rsub|i-1>|)>+M<rsub|i*2>*<around|(|x<rsub|i>-x<rprime|'>|)>
    </equation*>

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  <\proposition>
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  </proposition>

  <\proof>
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    <math|A>\<#7684\>\<#5206\>\<#70B9\>)\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|C>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|B>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>

    <\equation*>
      S<rsub|C>\<leqslant\>S<rsub|A>,s<rsub|C>\<geqslant\>s<rsub|B>
    </equation*>

    \<#800C\>\<#53C8\>\<#7531\>\<#4E8E\>

    <\equation*>
      s<rsub|C>\<leqslant\>S<rsub|C>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>

    <\equation*>
      s<rsub|B>\<leqslant\>S<rsub|A>
    </equation*>

    \<#5373\>\<#5F97\>\<#8BC1\>.
  </proof>

  \<#8FBE\>\<#5E03\>\<#548C\>\<#4E0E\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#548C\>\<#76F8\>\<#6BD4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4E0D\>\<#9700\>\<#8981\>\<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53D6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#5C06\>\<#4E0E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#9009\>\<#62E9\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#3002\>\<#56DE\>\<#5FC6\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#672C\>\<#5E94\>\<#8BE5\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8BED\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#8BF4\>\<#5F53\>\<#5404\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#548C\>\<#7684\>\<#6781\>\<#9650\>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#5948\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#600E\>\<#4E48\>\<#9009\>\<#62E9\>\<#7684\>\<#5E72\>\<#6270\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#4E0D\>\<#5F97\>\<#4E0D\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#4E86\>
  <math|\<varepsilon\>-\<delta\>>\<#8BED\>\<#8A00\>\<#6765\>\<#63CF\>\<#8FF0\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#600E\>\<#4E48\>\<#9009\>\<#62E9\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#4E0D\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#8BEF\>\<#5DEE\>\<#9650\>\<#7684\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#8FBE\>\<#5E03\>\<#548C\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#6781\>\<#9650\>\<#8BED\>\<#8A00\>\<#4E86\>\<#3002\>

  \<#5229\>\<#7528\>\<#8FBE\>\<#5E03\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#6761\>\<#4EF6\>:

  <\theorem>
    <label|integrable-predication-theorem-1>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>:

    <\equation*>
      lim<rsub|\<lambda\>\<to\>0><around|(|S-s|)>=0
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|\<lambda\>> \<#8868\>\<#793A\>\<#5212\>\<#5206\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5404\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#957F\>\<#5EA6\>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5148\>\<#8BC1\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#6709\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#503C\>\<#4E3A\>
    <math|P>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#6700\>\<#5927\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#600E\>\<#4E48\>\<#9009\>\<#5B9A\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>
    <math|\<xi\><rsub|i>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|\||<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>*\<Delta\>*x<rsub|i>|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#90A3\>\<#4E48\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#548C\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>\<#7684\>\<#8FBE\>\<#5E03\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#4E5F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|\||s-P|\|>\<leqslant\>\<varepsilon\>,<around|\||S-P|\|>\<leqslant\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <around|\||S-s|\|>=<around|\||<around|(|S-p|)>-<around|(|s-p|)>|\|>\<leqslant\><around|\||S-p|\|>+<around|\||s-p|\|>\<leqslant\>2*\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>
    <math|<around|\||S-s|\|>>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    \<#518D\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#4E4B\>\<#5DEE\>\<#5728\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#6700\>\<#5927\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#4E0D\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5404\>\<#6709\>\<#786E\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#7684\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\>(\<#5426\>\<#5219\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#4E4B\>\<#5DEE\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#8D8B\>\<#4E8E\>\<#96F6\>)\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#6B64\>\<#5171\>\<#540C\>\<#7684\>\<#786E\>\<#754C\>\<#662F\>
    <math|I>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>
    <math|I>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#3002\>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>
    <math|<around|\||S-s|\|>\<less\>\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#53C8\>\<#7531\>\<#4E8E\>

    <\equation*>
      s\<leqslant\>I\<leqslant\>S
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\> <math|s>\<#548C\>
    <math|S>\<#6709\>

    <\equation*>
      I-\<varepsilon\>\<leqslant\>s\<leqslant\>I
    </equation*>

    \<#4EE5\>\<#53CA\>

    <\equation*>
      I\<leqslant\>S\<leqslant\>I+\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#800C\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#548C\>
    <math|\<sigma\>>\<#6EE1\>\<#8DB3\>(\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#600E\>\<#4E48\>\<#9009\>\<#62E9\>
    <math|\<xi\><rsub|i>>)

    <\equation*>
      s\<leqslant\>\<sigma\>\<leqslant\>S
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      I-\<varepsilon\>\<leqslant\>\<sigma\>\<leqslant\>I+\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4FBF\>\<#8868\>\<#793A\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#503C\>\<#4E3A\>
    <math|I>.
  </proof>

  \<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5212\>\<#5206\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>
  <math|<around|[|x<rsub|i-1>,x<rsub|i>|]>>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>
  <math|M<rsub|i>-m<rsub|i>>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#89C6\>\<#4F5C\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
  <math|\<omega\><rsub|i>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    lim<rsub|\<lambda\>\<to\>0> <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>=0
  </equation*>

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  <\theorem>
    <label|integrable-predication-theorem-2>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>:

    <\equation*>
      lim<rsub|\<lambda\>\<to\>0> \<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>=0
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|\<lambda\>> \<#8868\>\<#793A\>\<#5212\>\<#5206\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5404\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#957F\>\<#5EA6\>.
  </theorem>

  \<#4ECE\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#7684\>\<#89D2\>\<#5EA6\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#610F\>\<#5473\>\<#7740\>
  <reference|fig:integrable-condition> \<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#9634\>\<#5F71\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#5728\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#7EC6\>\<#5206\>\<#65F6\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>.
  \<#6362\>\<#53E5\>\<#8BDD\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#6C42\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5F53\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#5F53\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#8FB9\>\<#754C\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#4E3A\>\<#96F6\>.

  <big-figure|<with|par-mode|center|<image|integral/pic/integrable-condition.pdf||||><label|fig:integrable-condition>>|\<#51FD\>\<#6570\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>:
  \<#8FB9\>\<#754C\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5C0F\>>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#72C4\>\<#5229\>\<#514B\>\<#96F7\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      D<around|(|x|)>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|x\<in\>Q>>|<row|<cell|0>|<cell|x\<nin\>Q>>>>>
    </equation*>

    \<#5B83\>\<#5728\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#5747\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#5C06\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5212\>\<#5206\>\<#5F97\>\<#591A\>\<#4E48\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#5DEE\>\<#90FD\>\<#662F\>1.
  </example>

  <\example>
    \<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|0,1|]>>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|R<around|(|x|)>>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>

    <\equation*>
      R<around|(|x|)>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|0>|<cell|x=0>>|<row|<cell|<frac|1|q>>|<cell|x=<frac|p|q>\<in\><around|[|0,1|]>,p,q\<in\>\<bbb-Z\>,q\<gtr\>0,<around|(|p,q|)>=1>>|<row|<cell|0>|<cell|x\<in\><around|[|0,1|]>-\<bbb-Q\>>>>>>
    </equation*>

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    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

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    <math|<frac|3|4>>\<#3001\> <math|\<ldots\>>, <math|<frac|1|N>>\<#3001\>
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    <\equation*>
      1+2+\<cdots\>+<around|(|N-1|)>=<frac|1|2>*<around|(|N-1|)>*<around|(|N-2|)>\<less\>N<rsup|2>
    </equation*>

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    <\equation*>
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    </equation*>

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    <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|0,1|]>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#90FD\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<delta\>>\<#7684\>\<#5212\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5206\>\<#4E3A\>\<#4E24\>\<#7C7B\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#5305\>\<#542B\>
    <math|X> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#4E0D\>\<#5305\>\<#542B\>
    <math|X> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\> <math|X>
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    <math|\<delta\>> \<#53D6\>\<#5F97\>\<#8DB3\>\<#591F\>\<#5C0F\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#81F3\>\<#591A\>\<#53EA\>\<#5305\>\<#542B\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
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    \<#4E2D\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#6709\>
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    <math|N<rsup|2>>, \<#4ECE\>\<#800C\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|1>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\><big|sum><rsub|1>\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\>N<rsup|2>*\<delta\>
    </equation*>

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    <math|X> \<#4E2D\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#6709\>
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    <\equation*>
      <big|sum><rsub|2>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\><frac|1|N>*<big|sum><rsub|2>\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\><frac|1|N>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#800C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>=<big|sum><rsub|1>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>+<big|sum><rsub|2>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\>N<rsup|2>*\<delta\>+<frac|1|N>
    </equation*>

    \<#73B0\>\<#5728\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#53D6\>

    <\equation*>
      N\<gtr\><frac|2|\<varepsilon\>>
    </equation*>

    \<#53CA\>

    <\equation*>
      \<delta\>\<less\><frac|\<varepsilon\>|2*N<rsup|2>>
    </equation*>

    \<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\>N<rsup|2>*\<delta\>+<frac|1|N>\<less\><frac|1|2>*\<varepsilon\>+<frac|1|2>*\<varepsilon\>=\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#800C\>\<#53EF\>\<#79EF\>.
  </example>

  <\corollary>
    <label|no-bound-function-not-integrable>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#754C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#79EF\>.
  </corollary> \<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#754C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#65E0\>\<#8BBA\>\<#628A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5212\>\<#5206\>\<#5F97\>\<#6709\>\<#591A\>\<#7EC6\>\<#FF0C\>\<#603B\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#5927\>\<#7684\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#6309\>\<#524D\>\<#8FF0\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#3002\>

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  <\definition>
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    <math|I<rsub|\<ast\>>>.
  </definition>

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  <\theorem>
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    <\equation*>
      I<rsup|\<ast\>>=lim<rsub|\<lambda\>\<to\>0>
      S,I<rsub|\<ast\>>=lim<rsub|\<lambda\>\<to\>0> s
    </equation*>

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  </theorem>

  <\proof>
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    <\equation*>
      S\<less\>I<rsup|\<ast\>>+\<varepsilon\>
    </equation*>

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    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5212\>\<#5206\>(\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|A>)\<#FF0C\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5176\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>:

    <\equation*>
      S<rsub|A>\<less\>I<rsup|\<ast\>>+<frac|1|2>*\<varepsilon\>
    </equation*>

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    <math|\<delta\>>\<#662F\>\<#591A\>\<#5C11\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8003\>\<#8651\>\<#6700\>\<#5927\>\<#5B50\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<delta\>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5212\>\<#5206\>
    <math|X>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5C06\>\<#5212\>\<#5206\>
    <math|A>\<#7684\>\<#5206\>\<#70B9\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#52A0\>\<#8FDB\>
    <math|X>\<#7684\>\<#5206\>\<#70B9\>\<#4E2D\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65B0\>\<#5212\>\<#5206\>
    <math|Y>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#6709\>
    <math|S<rsub|Y>\<less\>S<rsub|X>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6709\>

    <\equation*>
      S<rsub|Y>\<less\>I<rsup|\<ast\>>+<frac|1|2>*\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#63A5\>\<#7740\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8003\>\<#8651\>:\<#5728\>
    <math|X>\<#5212\>\<#5206\>\<#4E2D\>\<#52A0\>\<#5165\>\<#82E5\>\<#5E72\>\<#5206\>\<#70B9\>\<#5230\>\<#5E95\>\<#80FD\>\<#5F15\>\<#8D77\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#4EA7\>\<#751F\>\<#591A\>\<#5927\>\<#7684\>\<#53D8\>\<#5316\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4F30\>\<#8BA1\>
    <math|S<rsub|X>>\<#4E0E\> <math|S<rsub|Y>>\<#4E4B\>\<#5DEE\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5212\>\<#5206\>
    <math|A>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#662F\>\<#9488\>\<#5BF9\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#53D6\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#5B83\>\<#6709\>
    <math|l>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5728\>\<#5212\>\<#5206\>
    <math|X>\<#4E2D\>\<#63D2\>\<#5165\> <math|l>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#6700\>\<#591A\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#5F71\>\<#54CD\>
    <math|X>\<#4E2D\>\<#539F\>\<#6765\> <math|l>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#91CF\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|<around|(|M-m|)>*\<delta\>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|\||S<rsub|Y>-S<rsub|X>|\|>\<less\>l*<around|(|M-m|)>*\<delta\>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|M>\<#548C\> <math|m>\<#5206\>\<#522B\>\<#662F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#8981\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\>\<#548C\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>.\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5982\>\<#679C\>\<#53D6\>
    <math|\<delta\>>\<#4F7F\>\<#5176\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>

    <\equation*>
      \<delta\>\<less\><frac|\<varepsilon\>|2*l*<around|(|M-m|)>>
    </equation*>

    \<#90A3\>\<#4E48\>\<#4FBF\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around|\||S<rsub|X>-S<rsub|Y>|\|>\<less\><frac|1|2>*\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#4ECE\>\<#800C\>

    <\equation*>
      S<rsub|X>\<less\>I<rsup|\<ast\>>+\<varepsilon\>
    </equation*>
  </proof>

  \<#6709\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5229\>\<#7528\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#5199\>\<#6210\>\<#4E0B\>\<#9762\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>.

  <\theorem>
    \<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>:
    \<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      I<rsup|\<ast\>>=I<rsub|\<ast\>>
    </equation*>

    \<#5E76\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5171\>\<#540C\>\<#503C\>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#503C\>.
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7684\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#662F\>\<#5982\>\<#6B64\>\<#4E4B\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#524D\>\<#9762\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#9996\>\<#5148\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#754C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6709\>\<#754C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#662F\>\<#5426\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7684\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#5F52\>\<#7ED3\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#662F\>\<#5426\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#7684\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#4E86\>\<#3002\>

  <subsection|\<#53EF\>\<#79EF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7C7B\>><label|sec:integrable-and-not-function>

  \<#867D\>\<#7136\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#90A3\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#66F4\>\<#591A\>\<#7684\>\<#662F\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7ED9\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#5FEB\>\<#901F\>\<#7684\>\<#5224\>\<#65AD\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#6027\>\<#662F\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#56F0\>\<#96BE\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#8282\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#603B\>\<#7ED3\>\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#5E38\>\<#7528\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#548C\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3002\>

  <\theorem>
    \<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#603B\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#7531\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4EFB\>\<#7ED9\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>
    <math|<around|\||x<rsub|1>-x<rsub|2>|\|>\<less\>\<delta\>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
    <math|<around|\||f<around|(|x<rsub|1>|)>-f<around|(|x<rsub|2>|)>|\|>\<less\>\<varepsilon\>>.\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#5B50\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<delta\>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5B50\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#90FD\>\<#4F1A\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#4E4B\>\<#5DEE\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\>\<varepsilon\>*<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\>\<varepsilon\>*<around|(|b-a|)>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|a>\<#548C\> <math|b>\<#5206\>\<#522B\>\<#662F\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7AEF\>\<#70B9\>.\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#4FBF\>\<#8868\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#6027\>\<#3002\>
  </proof>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EA\>\<#6709\>\<#6709\>\<#9650\>\<#591A\>\<#4E2A\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>.
  </theorem>

  \<#4E3A\>\<#4E86\>\<#65B9\>\<#4FBF\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>
  <reference|integrable-predication-theorem-2>
  \<#6539\>\<#8FF0\>\<#4E3A\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>:

  <\theorem>
    <label|integrable-predication-theorem-3>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>:
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#548C\>
    <math|\<sigma\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5F88\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6700\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<delta\>>\<#7684\>\<#5212\>\<#5206\>\<#90FD\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#FF1A\>
    \<#90A3\>\<#4E9B\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#5927\>\<#4E8E\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#7684\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#603B\>\<#548C\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|\<sigma\>>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#6240\>\<#8FF0\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#548C\>\<#88AB\>\<#5206\>\<#4E3A\>\<#4E24\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#FF1A\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#7684\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|\<varepsilon\>>\<#7684\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#524D\>\<#8005\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#548C\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|\<varepsilon\>*<around|(|b-a|)>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#540E\>\<#8005\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#548C\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|\<sigma\>*<around|(|M-m|)>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#548C\>\<#5C06\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#8D85\>\<#8FC7\>

    <\equation*>
      \<varepsilon\>*<around|(|b-a|)>+\<sigma\>*<around|(|M-m|)>
    </equation*>

    \<#7531\> <math|\<varepsilon\>>\<#548C\>
    <math|\<sigma\>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#77E5\>\<#8BE5\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#548C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#3002\>

    \<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>\<#662F\>\<#663E\>\<#7136\>\<#7684\>\<#3002\>
  </proof>

  \<#6709\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#63CF\>\<#8FF0\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#6709\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>:

  <\proof>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5212\>\<#5206\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5206\>\<#6210\>\<#4E24\>\<#7C7B\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#662F\>\<#5305\>\<#542B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#7C7B\>\<#662F\>\<#4E0D\>\<#5305\>\<#542B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5212\>\<#5206\>\<#8DB3\>\<#591F\>\<#7EC6\>\<#FF0C\>\<#5305\>\<#542B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#603B\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E0D\>\<#5305\>\<#542B\>\<#95F4\>\<#65AD\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#3002\>
  </proof>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6709\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>.
  </theorem>

  <subsection|\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>><label|sec:properties-of-definite-integral>

  <\proposition>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>> \<#5728\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|b,a|]>> \<#4E0A\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|b><rsup|a>f<around|(|x|)>*d*x=-<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>
  </proposition>

  <\proof>
    <dueto|\<#8BC1\>\<#660E\>>\<#8FD9\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5728\>\<#5212\>\<#5206\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#65F6\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#5212\>\<#5206\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5206\>\<#5212\>
    <math|a=x<rsub|0>\<less\>x<rsub|1>\<less\>\<cdots\>\<less\>x<rsub|n>=b>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4E5F\>\<#80FD\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|b,a|]>> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#5212\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5728\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>
    <math|\<Delta\>*x<rsub|i>> \<#5206\>\<#522B\>\<#4E3A\>
    <math|x<rsub|i>-x<rsub|i-1>>\<#548C\>
    <math|x<rsub|i-1>-x<rsub|i>>\<#FF0C\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#6B63\>\<#597D\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#5206\>\<#5212\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#4E5F\>\<#4E92\>\<#4E3A\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#4FBF\>\<#6709\>\<#6B64\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.
  </proof>

  <\proposition>
    \ \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>> \<#5728\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>
    <math|r>\<#3001\> <math|s>\<#3001\> <math|t>
    \<#662F\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>(\<#5927\>\<#5C0F\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#4EFB\>\<#610F\>)\<#FF0C\>\<#6052\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|r><rsup|s>f<around|(|x|)>*d*x=<big|int><rsub|r><rsup|t>f<around|(|x|)>*d*x+<big|int><rsub|t><rsup|s>f<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>
  </proposition>

  <\proposition>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|k*f<around|(|x|)>> \<#4E5F\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E14\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x=k*<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>
  </proposition>

  <\proposition>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#3001\>
    <math|g<around|(|x|)>> \<#5747\>\<#5728\> <math|<around|[|a,b|]>>
    \<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|f<around|(|x|)>\<pm\>g<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E14\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b><around|[|f<around|(|x|)>\<pm\>g<around|(|x|)>|]>*d*x=<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x\<pm\><big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>
  </proposition>

  <\proposition>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>> \<#5728\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|x|)>\<geqslant\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x\<geqslant\>0
    </equation*>

    \<#66F4\>\<#8FDB\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|x|)>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x\<gtr\>0
    </equation*>
  </proposition>

  <\proposition>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#3001\>
    <math|g<around|(|x|)>> \<#5747\>\<#5728\> <math|<around|[|a,b|]>>
    \<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|f<around|(|x|)>\<geqslant\>g<around|(|x|)>>
    \<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x\<geqslant\><big|int><rsub|a><rsup|b>g<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>

    \<#5982\>\<#679C\>\<#524D\>\<#9762\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#6052\>\<#53D6\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#4E5F\>\<#6052\>\<#53D6\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#53F7\>.
  </proposition>

  <\proposition>
    \ \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>
    \<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around|[|a,b|]>>
    \<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6709\>\<#4E0A\>\<#754C\>
    <math|M>\<#548C\>\<#4E0B\>\<#754C\> <math|m>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      m*<around|(|b-a|)>\<leqslant\><big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x\<leqslant\>M
    </equation*>
  </proposition>

  <\proposition>
    \ \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\>\<#4F7F\>\<#5B83\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#FF0C\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#53D8\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#53EA\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#9010\>\<#4E00\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    \<#5047\>\<#5B9A\> <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#53EA\>\<#5728\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#4E00\>\<#70B9\>
    <math|x<rprime|'>>\<#5904\>\<#53D6\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5212\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#7684\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#548C\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>
    </equation*>

    \<#548C\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rprime|'><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>
    </equation*>

    \<#4EC5\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5176\>\<#5DEE\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#662F\>\<#6709\>\<#754C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#4E5F\>\<#6709\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>
    <math|M>\<#548C\> <math|m>\<#662F\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#5171\>\<#540C\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#524D\>\<#8FF0\>\<#8003\>\<#8651\>\<#4E4B\>\<#5DEE\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|<around|(|M-m|)>*\<delta\>>.

    \<#5728\> <math|f<around|(|x|)>>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#90FD\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<delta\>>\<#7684\>\<#5212\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\><frac|\<varepsilon\>|2>
    </equation*>

    \<#90A3\>\<#4E48\> <math|g<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#632F\>\<#5E45\>\<#548C\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#7ACB\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rprime|'><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\><frac|\<varepsilon\>|2>+<around|(|M-m|)>*\<delta\>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#518D\>\<#65BD\>\<#52A0\>\<#9650\>\<#5B9A\>

    <\equation*>
      \<delta\>\<less\><frac|\<varepsilon\>|2*<around|(|M-m|)>>
    </equation*>

    \<#5C31\>\<#6210\>\<#7ACB\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<omega\><rprime|'><rsub|i>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<less\><frac|\<varepsilon\>|2>+<frac|\<varepsilon\>|2>=\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#5373\> <math|g<around|(|x|)>>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#79EF\>.

    \<#5982\>\<#679C\> <math|f<around|(|x|)>>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#4E5F\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#82E5\>\<#4E0D\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7531\>\<#521A\>\<#8BC1\>\<#5F97\>\<#4E4B\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#51FA\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#77DB\>\<#76FE\>.

    \<#6700\>\<#540E\>\<#518D\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#503C\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>.

    \<#4F5C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|h<around|(|x|)>=f<around|(|x|)>-g<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|h<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EC5\>\<#5728\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#53D6\>\<#975E\>\<#96F6\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5212\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#5C06\>\<#53EA\>\<#5305\>\<#542B\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#7684\>\<#9879\>(\<#53D6\>\<#975E\>\<#96F6\>\<#503C\>\<#6240\>\<#5728\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E00\>\<#9879\>)\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#9009\>\<#5B9A\>
    <math|\<xi\><rsub|i>>\<#5747\>\<#4E0D\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#603B\>\<#662F\>\<#9009\>\<#5230\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#7684\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#5C06\>\<#603B\>\<#662F\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>

    <\equation*>
      0=<big|int><rsub|a><rsup|b>h<around|(|x|)>*d*x=<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x-<big|int><rsub|a><rsup|b>g<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>

    \<#5373\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x=<big|int><rsub|a><rsup|b>g<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>
  </proof>

  \<#9700\>\<#8981\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#7684\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6709\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#4E43\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4E4B\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#800C\>\<#975E\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4F7F\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#4E2A\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6709\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#6BD4\>\<#5982\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
  <math|<around|[|0,1|]>>\<#FF0C\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#6240\>\<#6709\>

  <\equation*>
    x<rsub|i>=<frac|1|i>*<around|(|i=2,3,\<cdots\>|)>
  </equation*>

  \<#5904\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4F46\>\<#4E0D\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6709\>\<#754C\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#6027\>\<#4E0D\>\<#53D7\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#53D8\>.\<#4F46\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8981\>\<#7528\>\<#5230\>\<#5B9E\>\<#53D8\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6D4B\>\<#5EA6\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#548C\>\<#52D2\>\<#8D1D\>\<#683C\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5185\>\<#5BB9\>.

  <subsection|\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:integral-midvalue-theoream>

  \<#5047\>\<#5B9A\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>
  \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around|[|a,b|]>>
  \<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4F9D\>
  <reference|no-bound-function-not-integrable>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#662F\>\<#6709\>\<#754C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>\<#5206\>\<#522B\>\<#4E3A\>
  <math|M> \<#548C\> <math|m>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#5212\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<geqslant\><big|sum><rsub|i=1><rsup|n>m*\<Delta\>*x<rsub|i>=m*<around|(|b-a|)>
  </equation*>

  \<#53CA\>

  <\equation*>
    <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<leqslant\><big|sum><rsub|i=1><rsup|n>M*\<Delta\>*x<rsub|i>=M*<around|(|b-a|)>
  </equation*>

  \<#6700\>\<#7EC8\>

  <\equation*>
    m*<around|(|b-a|)>\<leqslant\><big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>*\<Delta\>*x<rsub|i>\<leqslant\>M*<around|(|b-a|)>
  </equation*>

  \<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#6781\>\<#9650\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#4E5F\>\<#6709\>

  <\equation*>
    m*<around|(|b-a|)>\<leqslant\><big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x\<leqslant\>M*<around|(|b-a|)>
  </equation*>

  \<#56E0\>\<#6B64\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#5230\>

  <\theorem>
    <label|theorem:integra-midvalue>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>> \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>\<#5206\>\<#522B\>\<#4E3A\>
    <math|M> \<#548C\> <math|m>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<mu\>> \<#7B26\>\<#5408\> <math|m\<leqslant\>\<mu\>\<leqslant\>M>\<#FF0C\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x=\<mu\>*<around|(|b-a|)>
    </equation*>
  </theorem>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>
  \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around|[|a,b|]>>
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  <\theorem>
    <label|theorem:integral-midvalue-theoream-of-continuous-function>\<#82E5\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>> \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>\<#5206\>\<#522B\>\<#4E3A\>
    <math|M> \<#548C\> <math|m>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|\<xi\>\<in\><around|[|a,b|]>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x=f<around|(|\<xi\>|)>*<around|(|b-a|)>
    </equation*>
  </theorem>

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  <\theorem>
    <dueto|\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\> <math|g<around|(|x|)>>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#FF0C\>
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    <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#4E14\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#6052\>\<#4E3A\>\<#6B63\>\<#6216\>\<#8005\>\<#6052\>\<#4E3A\>\<#8D1F\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|\<xi\>\<in\><around|[|a,b|]>]> \<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>*d*x=f<around|(|\<xi\>|)>*<big|int><rsub|a><rsup|b>g<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>
  </theorem>

  \<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#7565\>\<#53BB\>.

  <subsection|\<#53D8\>\<#52A8\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#51FD\>\<#6570\>><label|sec:variable-upper-limit-integral-function>

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  \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around|[|a,b|]>>
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  <\equation*>
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  </equation*>

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  <math|<around|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#4E0E\>\<#81EA\>\<#53D8\>\<#91CF\>
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  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#7814\>\<#7A76\>\<#4E0B\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#6027\>\<#548C\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#7531\>

  <\equation*>
    \<Phi\>*<around|(|x+\<Delta\>*x|)>-\<Phi\><around|(|x|)>=<big|int><rsub|a><rsup|x+\<Delta\>*x>f<around|(|t|)>*d*t-<big|int><rsub|a><rsup|x>f<around|(|t|)>*d*t=<big|int><rsub|x><rsup|x+\<Delta\>*x>f<around|(|t|)>*d*t=\<mu\>*\<Delta\>*x
  </equation*>

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  <math|\<Phi\><around|(|x|)>> \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
  <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>.\<#7531\>\<#6B64\>\<#5F97\>\<#5230\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#51FD\>\<#6570\>

    <\equation*>
      \<Phi\><around|(|x|)>=<big|int><rsub|a><rsup|x>f<around|(|t|)>*d*t
    </equation*>

    \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#5904\>\<#5904\>\<#8FDE\>\<#7EED\>.
  </theorem>

  \<#518D\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#518D\>\<#5047\>\<#5B9A\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
  <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#8FD8\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <\eqsplit>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|\<Phi\>*<around|(|x+\<Delta\>*x|)>-\<Phi\><around|(|x|)>|\<Delta\>*x>>|<cell|=<frac|1|\<Delta\>*x>*<big|int><rsub|x><rsup|x+\<Delta\>*x>f<around|(|t|)>*d*t>>|<row|<cell|>|<cell|=f<around|(|\<xi\>|)>>>>>
    </eqsplit>
  </equation*>

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  <math|f<around|(|\<xi\>|)>\<rightarrow\>f<around|(|x|)>>,\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <\eqsplit>
      <tformat|<table|<row|<cell|\<Phi\><rprime|'><around|(|x|)>>|<cell|=lim<rsub|\<Delta\>*x\<rightarrow\>0>
      <frac|\<Phi\>*<around|(|x+\<Delta\>*x|)>-\<Phi\><around|(|x|)>|\<Delta\>*x>>>|<row|<cell|>|<cell|=lim<rsub|\<Delta\>*x\<rightarrow\>0>
      f<around|(|\<xi\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=f<around|(|x|)>>>>>
    </eqsplit>
  </equation*>

  \<#5373\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|\<Phi\><around|(|x|)>>
  \<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>

  <\equation*>
    \<Phi\><rprime|'><around|(|x|)>=f<around|(|x|)>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|\<Phi\><around|(|x|)>=<big|int><rsub|a><rsup|x>f<around|(|t|)>*d*t>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#5904\>\<#5904\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      \<Phi\><rprime|'><around|(|x|)>=f<around|(|x|)>
    </equation*>
  </theorem>

  \<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF1A\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#754C\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#81EA\>\<#8EAB\>\<#4E3A\>\<#5176\>\<#53D8\>\<#5316\>\<#7387\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#8FC7\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E5F\>\<#6B63\>\<#597D\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>.

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>:
  <\corollary>
    \<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4FBF\>\<#662F\>\<#5176\>\<#4E00\>.
  </corollary>

  \<#7531\>\<#4E8E\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#5176\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#5728\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5C31\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#8FC7\>\<#FF0C\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#8FD8\>\<#662F\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#540E\>\<#9762\>\<#5C06\>\<#4F1A\>\<#89C1\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#975E\>\<#5E38\>\<#9AD8\>\<#6DF1\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>.

  <subsection|\<#725B\>\<#987F\>-\<#83B1\>\<#5E03\>\<#5C3C\>\<#8328\>\<#516C\>\<#5F0F\>><label|sec:newton-leibniz-formular>

  \<#7EE7\>\<#7EED\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#5C0F\>\<#8282\>\<#7684\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4F1A\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#65CF\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#90FD\>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5B9A\>
  <math|F<around|(|x|)>> \<#662F\> <math|f<around|(|x|)>>
  \<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5FC5\>\<#6709\>

  <\equation*>
    F<around|(|x|)>=\<Phi\><around|(|x|)>+C
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|C> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\>
  <math|\<Phi\><around|(|a|)>=0>\<#FF0C\>\<#4EE3\>\<#5165\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5373\>\<#5F97\>
  <math|C=F<around|(|a|)>>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    \<Phi\><around|(|x|)>=F<around|(|x|)>-F<around|(|a|)>
  </equation*>

  \<#90A3\>\<#4E48\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#66F2\>\<#8FB9\>\<#68AF\>\<#5F62\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#5C31\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|t|)>*d*t=\<Phi\><around|(|b|)>=F<around|(|b|)>-F<around|(|a|)>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E24\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E4B\>\<#5DEE\>!
  \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#65E2\>\<#4E3A\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6307\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#503C\>\<#7684\>\<#9014\>\<#5F84\>.
  \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#5C31\>\<#53EB\>\<#505A\>
  <em|\<#725B\>\<#987F\>-\<#83B1\>\<#5E03\>\<#5C3C\>\<#8328\>\<#516C\>\<#5F0F\>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#9274\>\<#4E8E\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#6587\>\<#5373\>\<#5C06\>\<#4ECB\>\<#7ECD\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#6C9F\>\<#901A\>\<#4E86\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#8054\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5176\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#4EF7\>\<#503C\>\<#5960\>\<#5B9A\>\<#4E86\>\<#5B83\>\<#5728\>\<#5FAE\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#77F3\>\<#5730\>\<#4F4D\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#88AB\>\<#79F0\>\<#4E3A\><em|\<#5FAE\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#FF0C\>\<#9274\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4E13\>\<#95E8\>\<#5217\>\<#51FA\>

  <\theorem>
    <dueto|\<#5FAE\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#5B9A\>\<#7406\>/\<#725B\>\<#987F\>-\<#83B1\>\<#5E03\>\<#5C3C\>\<#8328\>\<#516C\>\<#5F0F\>>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#FF0C\>
    <math|F<around|(|x|)>>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x=F<around|(|b|)>-F<around|(|a|)>
    </equation*>
  </theorem>

  \<#5728\>\<#6B64\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#53E6\>\<#5916\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#8BC1\>\<#660E\>:

  <\proof>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5206\>\<#5212\>
    <math|a=x<rsub|0>\<less\>x<rsub|1>\<less\>\<cdots\>\<less\>x<rsub|n>=b>,\<#5229\>\<#7528\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|F<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#53EF\>\<#5BFC\>\<#6027\>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <\eqsplit>
        <tformat|<table|<row|<cell|F<around|(|b|)>-F<around|(|a|)>>|<cell|=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><around|(|F<around|(|x<rsub|i>|)>-F<around|(|x<rsub|i-1>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>*<around|(|x<rsub|i>-x<rsub|i-1>|)>>>>>
      </eqsplit>
    </equation*>

    \<#5176\>\<#4E2D\> <math|\<xi\><rsub|i>\<in\><around|(|x<rsub|i-1>,x<rsub|i>|)>>\<#4E3A\>\<#62C9\>\<#683C\>\<#6717\>\<#65E5\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7684\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#975E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#53D6\>\<#5B9A\>.

    \<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5206\>\<#5212\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#76F8\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>
    <math|\<xi\><rsub|i><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<varepsilon\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5747\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5F88\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<delta\>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#90FD\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>
    <math|\<delta\>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5212\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#9009\>\<#5B9A\>\<#4E00\>\<#7EC4\>
    <math|\<eta\><rsub|i><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|\||<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|\<eta\><rsub|i>|)>*\<Delta\>*x<rsub|i>-<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#65E2\>\<#7136\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#9009\>\<#5B9A\>
    <math|\<eta\><rsub|i><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#8FD9\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#540C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5212\>\<#5206\>\<#53CA\>\<#5176\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#7EC4\>
    <math|\<xi\><rsub|i><around|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#4E5F\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|\||<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>f<around|(|\<xi\><rsub|i>|)>*\<Delta\>*x<rsub|i>-<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>

    <\equation*>
      <around*|\||<around|[|F<around|(|b|)>-F<around|(|a|)>|]>-<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x|\|>\<less\>\<varepsilon\>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#800C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      F<around|(|b|)>-F<around|(|a|)>=<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>
  </proof>

  <subsection|\<#79EF\>\<#5206\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>><label|sec:second-midvalue-theorem-for-integral>

  \<#79EF\>\<#5206\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#662F\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>:

  <\theorem>
    <dueto|\<#79EF\>\<#5206\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2D\>\<#503C\>\<#5B9A\>\<#7406\>>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\> <math|g<around|(|x|)>>\<#5747\>\<#5728\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#51CF\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#975E\>\<#8D1F\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#65F6\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|\<xi\>\<in\><around|[|a,b|]>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>*d*x=f<around|(|a|)>*<big|int><rsub|a><rsup|\<xi\>>g<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>

    \<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#662F\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#9012\>\<#589E\>\<#800C\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#4E0D\>\<#53D8\>(\<#4ECD\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#975E\>\<#8D1F\>)\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|\<xi\>\<in\><around|[|a,b|]>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>*d*x=f<around|(|b|)>*<big|int><rsub|\<xi\>><rsup|b>g<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>
  </theorem>

  <\corollary>
    \ \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around|(|x|)>>\<#548C\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5747\>\<#5728\>
    <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E0A\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|f<around|(|x|)>>\<#5355\>\<#8C03\>(\<#4E0D\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#975E\>\<#8D1F\>)\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|g<around|(|x|)>>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>
    <math|\<xi\>\<in\><around|[|a,b|]>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around|(|x|)>*g<around|(|x|)>*d*x=f<around|(|a|)>*<big|int><rsub|a><rsup|\<xi\>>g<around|(|x|)>*d*x+f<around|(|b|)>*<big|int><rsub|\<xi\>><rsup|b>g<around|(|x|)>*d*x
    </equation*>
  </corollary>

  <subsection|\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#4E0E\>\<#6027\>\<#8D28\>,\<#57FA\>\<#672C\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#8868\>><label|sec:indefinite-integral>

  \<#5982\>\<#524D\>\<#6240\>\<#8FF0\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>> \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
  <math|<around|[|a,b|]>>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#51FD\>\<#6570\>

  <\equation*>
    \<Phi\><around|(|x|)>=<big|int><rsub|a><rsup|x>f<around|(|t|)>*d*t
  </equation*>

  \<#662F\> <math|f<around|(|x|)>> \<#5728\>\<#8FD9\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5373\>
  <math|\<Phi\><rprime|'><around|(|x|)>=f<around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5E38\>\<#6570\>
  <math|C>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|F<around|(|x|)>=\<Phi\><around|(|x|)>+C>
  \<#4E5F\>\<#90FD\>\<#662F\> <math|f<around|(|x|)>>
  \<#7684\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
  <math|G<around|(|x|)>>\<#662F\> <math|f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7531\>\<#4E8E\>
  <math|h<around|(|x|)>=G<around|(|x|)>-\<Phi\><around|(|x|)>>
  \<#7684\>\<#5BFC\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5E38\>\<#6570\>
  <math|C>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\> <math|G<around|(|x|)>=\<Phi\><around|(|x|)>+C>
  \<#6052\>\<#6210\>\<#7ACB\>. \<#6362\>\<#53E5\>\<#8BDD\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#5E38\>\<#6570\>
  <math|C>\<#FF0C\> <math|\<Phi\><around|(|x|)>+C>
  \<#5C31\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#4E86\> <math|f<around|(|x|)>>\<#5168\>\<#90E8\>\<#7684\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>.

  \<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|\<Phi\><around|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5C06\>\<#5176\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0B\>\<#9650\>\<#6539\>\<#4E3A\>\<#533A\>\<#95F4\>
  <math|<around|[|a,b|]>>\<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#70B9\>
  <math|u>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    \<Phi\><around|(|u,x|)>=<big|int><rsub|u><rsup|x>f<around|(|t|)>*d*t
  </equation*>

  \<#800C\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#6709\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0B\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#4F1A\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
  <math|\<Phi\><around|(|u,x|)>>\<#7684\>\<#503C\>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0E\>
  <math|x>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5E38\>\<#6570\>

  <\equation*>
    \<Phi\><around|(|u<rsub|1>,x|)>-\<Phi\><around|(|u<rsub|2>,x|)>=<big|int><rsub|u<rsub|1>><rsup|x>f<around|(|t|)>*d*t-<big|int><rsub|u<rsub|2>><rsup|x>f<around|(|t|)>*d*t=<big|int><rsub|u<rsub|1>><rsup|u<rsub|2>>f<around|(|t|)>*d*t
  </equation*>

  \<#56E0\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
  <math|f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#7684\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5F62\>\<#6210\>\<#7684\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#65CF\>
  <math|\<Phi\><around|(|x|)>+C>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5E38\>\<#6570\>
  <math|C>\<#FF0C\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#6539\>\<#52A8\>(\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#7684\>)\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0B\>\<#9650\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4F7F\>\<#5B83\>\<#53D8\>\<#6210\>\<#591A\>\<#4F59\>\<#7684\>(\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5E38\>\<#6570\>
  <math|C>\<#90FD\>\<#6709\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0B\>\<#9650\>
  <math|u>)\<#FF0C\>\<#800C\>\<#8981\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#7684\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5E72\>\<#8106\>\<#5C31\>\<#53BB\>\<#6389\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#76F4\>\<#63A5\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    <big|int>f<around|(|x|)>*d*x
  </equation*>

  \<#7528\>\<#5B83\>\<#8868\>\<#793A\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5F62\>\<#5982\>
  <math|\<Phi\><around|(|x|)>+C> \<#7684\>(\<#5173\>\<#4E8E\>
  <math|x>\<#7684\>)\<#51FD\>\<#6570\>\<#5F62\>\<#6210\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#65CF\>\<#FF0C\>\<#5373\>.

  <\equation*>
    <big|int>f<around|(|x|)>*d*x=<around*|{|\<Phi\><around|(|u,x|)><around*|\|||\<nobracket\>>*u\<in\>R|}>=<around*|{|<big|int><rsub|a><rsup|x>f<around|(|t|)>*d*t+C*<around*|\||C\<in\>R|\<nobracket\>>|}>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#79CD\>\<#53BB\>\<#6389\>\<#4E86\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#9650\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\>
  <em|\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>>.
  \<#800C\>\<#4E5F\>\<#6B63\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#4E86\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#5C31\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0B\>\<#9650\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6B64\>\<#57FA\>\<#7840\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0B\>\<#9650\>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#65CF\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#672C\>\<#8D28\>\<#4E0A\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0A\>\<#9650\>(\<#4E3B\>\<#5143\>)\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0B\>\<#9650\>(\<#53C2\>\<#6570\>)\<#65F6\>\<#5F62\>\<#6210\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#65CF\>(\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#9650\>\<#53CD\>\<#8FC7\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#4E5F\>\<#6CA1\>\<#95EE\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#9650\>\<#4E4B\>\<#4E00\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#53D8\>\<#52A8\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#9650\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#5F62\>\<#6210\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#65CF\>)\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#662F\>
  <math|f<around|(|x|)>> \<#7684\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>
  <math|f<around|(|x|)>> \<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#90FD\>\<#5728\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#89D2\>\<#5EA6\>\<#8BF4\>\<#FF0C\><em|
  <math|f<around|(|x|)>>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#539F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>>.

  <subsection|\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#65B9\>\<#6CD5\>>

  \<#672C\>\<#5C0F\>\<#8282\>\<#662F\>\<#53D7\>\<#5B9E\>\<#53D8\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#52D2\>\<#8D1D\>\<#683C\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#6240\>\<#542F\>\<#53D1\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#7528\>\<#5230\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0A\>.

  \<#4ECD\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
  <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#9996\>\<#5148\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5982\>\<#4E0B\>

  <\definition>
    \<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around*|[|a,b|]>>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>=c> \<#7684\><underline|\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E3A\>
    <math|<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>d x=c<around*|(|b-a|)>>.
  </definition>

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#8FD9\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#53EF\>\<#6B63\>\<#53EF\>\<#8D1F\>.

  \<#7136\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#89C4\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7AEF\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#6539\>\<#826F\>\<#540E\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around*|[|a,b|]>>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around*|(|x|)>>
    \<#5728\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around*|(|a,b|)>>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>
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    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\><underline|\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>>\<#4E3A\>
    <math|<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>d x=c<around*|(|b-a|)>>.
  </definition>

  \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5206\>\<#6BB5\>\<#51FD\>\<#6570\>

  <\definition>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around*|(|x|)>>
    \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around*|[|a,b|]>>
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    <math|a=x<rsub|0>\<less\>x<rsub|1>\<less\>\<cdots\>\<less\>x<rsub|n>=b>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#5728\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|(|x<rsub|i>,x<rsub|i+1>|)>>
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    <math|c<rsub|i>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\><underline|\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#8FD9\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\><underline|\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>d
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    </equation*>
  </definition>

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  \<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>.

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6709\>

  <\proposition>
    \<#8BBE\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around*|[|a,b|]>>\<#FF0C\><math|f<around*|(|x|)>>
    \<#662F\>\<#8FD9\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|c> \<#662F\>\<#6EE1\>\<#8DB3\> <math|a\<less\>c\<less\>b>
    \<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>d
      x=<big|int><rsub|a><rsup|c>f<around*|(|x|)>d
      x+<big|int><rsub|c><rsup|b>f<around*|(|x|)>d x
    </equation*>
  </proposition>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#5177\>\<#6709\>\<#53EF\>\<#52A0\>\<#6027\>.

  <\proof>
    \<#8BBE\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around*|(|x|)>>
    \<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#5206\>\<#5212\>\<#662F\>
    <math|a=x<rsub|0>\<less\>x<rsub|1>\<less\>\<cdots\>\<less\>x<rsub|n>=b>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|c> \<#6B63\>\<#597D\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#5206\>\<#70B9\>\<#4E4B\>\<#4E00\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#82E5\>
    <math|c> \<#5E76\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#5206\>\<#5212\>\<#7684\>\<#5206\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5FC5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|(|x<rsub|m>,x<rsub|m+1>|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|x<rsub|m>\<less\>c\<less\>x<rsub|m+1>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#5728\> <math|<around*|[|a,c|]>> \<#548C\>
    <math|<around*|[|c,b|]>> \<#4E0A\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#503C\>\<#4E3A\>
    <math|v<rsub|m>>\<#FF0C\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#7684\>\<#9879\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

    <\equation*>
      v<rsub|m><around*|(|x<rsub|m+1>-x<rsub|m>|)>=v<rsub|m><around*|(|x<rsub|m+1>-c|)>+v<rsub|m><around*|(|c-x<rsub|m>|)>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C06\> <math|f<around*|(|x|)>>
    \<#7684\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#9879\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#5206\>\<#62C6\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|i\<less\>m> \<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#9879\>\<#548C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|<big|int><rsub|a><rsup|c>f<around*|(|x|)>d
    x>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#7531\> <math|i\<gtr\>m>
    \<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#9879\>\<#548C\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|<big|int><rsub|a><rsup|c>f<around*|(|x|)>d
    x>.\<#56E0\>\<#6B64\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#7684\>\<#7B49\>\<#5F0F\>.
  </proof>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#8FD8\>\<#6709\>

  <\proposition>
    \<#8BBE\> <math|f<rsub|1><around*|(|x|)>> \<#548C\>
    <math|f<rsub|2><around*|(|x|)>> \<#90FD\>\<#662F\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>
    <math|f<rsub|1><around*|(|x|)>+f<rsub|2><around*|(|x|)>>,
    <math|\<lambda\>f<around*|(|x|)>> \<#4E5F\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E14\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<big|int><rsub|a><rsup|b><around*|(|f<rsub|1><around*|(|x|)>+f<rsub|2><around*|(|x|)>|)>d
      x>|<cell|=>|<cell|<big|int><rsub|a><rsup|b>f<rsub|1><around*|(|x|)>d
      x+<big|int><rsub|a><rsup|b>f<rsub|2><around*|(|x|)>d
      x>>|<row|<cell|<big|int><rsub|a><rsup|b>\<lambda\>f<around*|(|x|)>d
      x>|<cell|=>|<cell|\<lambda\><big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>d
      x>>>>
    </eqnarray*>
  </proposition>

  <\proof>
    \ <math|f<rsub|1><around*|(|x|)>> \<#548C\>
    <math|f<rsub|2><around*|(|x|)>> \<#5404\>\<#81EA\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#7740\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#7684\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#5212\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5176\>\<#5728\>\<#5404\>\<#81EA\>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5C06\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5206\>\<#70B9\>\<#4F5C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E76\>\<#96C6\>\<#FF0C\>\<#5F62\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5212\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>
    <math|f<rsub|1><around*|(|x|)>+f<rsub|2><around*|(|x|)>>
    \<#5728\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5212\>\<#5206\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#5F00\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#5E38\>\<#6570\>\<#51FD\>\<#6570\>.
    \<#800C\> <math|\<lambda\>f<around*|(|x|)>>
    \<#662F\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#663E\>\<#7136\>\<#7684\>.

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#663E\>\<#7136\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5206\>\<#70B9\>\<#4F5C\>\<#5E76\>\<#96C6\>\<#6784\>\<#6210\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5212\>\<#5206\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#539F\>\<#6765\>\<#5212\>\<#5206\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#5C0F\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7740\>

    <\equation*>
      <tabular|<tformat|<table|<row|<cell|<big|int><rsub|x<rsub|i>><rsup|x<rsub|i+1>><around*|(|f<rsub|1><around*|(|x|)>+f<rsub|2><around*|(|x|)>|)>d
      x>|<cell|=>|<cell|<big|int><rsub|x<rsub|i>><rsup|x<rsub|i+1>>f<rsub|1><around*|(|x|)>d
      x+<big|int><rsub|x<rsub|i>><rsup|x<rsub|i+1>>f<rsub|2><around*|(|x|)>d
      x>>>>>
    </equation*>

    \<#6240\>\<#4EE5\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<big|int><rsub|a><rsup|b><around*|(|f<rsub|1><around*|(|x|)>+f<rsub|2><around*|(|x|)>|)>d
      x>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n-1><big|int><rsub|x<rsub|i>><rsup|x<rsub|i+1>><around*|(|f<rsub|1><around*|(|x|)>+f<rsub|2><around*|(|x|)>|)>d
      x>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n-1><big|int><rsub|x<rsub|i>><rsup|x<rsub|i+1>>f<rsub|1><around*|(|x|)>d
      x+<big|sum><rsub|i=1><rsup|n-1><big|int><rsub|x<rsub|i>><rsup|x<rsub|i+1>>f<rsub|2><around*|(|x|)>d
      x>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|int><rsub|a><rsup|b>f<rsub|1><around*|(|x|)>d
      x+<big|int><rsub|a><rsup|b>f<rsub|2><around*|(|x|)>d x>>>>
    </eqnarray*>

    \<#5373\>\<#5F97\>\<#6240\>\<#8BC1\>\<#7B49\>\<#5F0F\>.
  </proof>

  \<#8FD9\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#8868\>\<#660E\>

  <\proposition>
    \<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#662F\>\<#8BE5\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#5230\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>.
  </proposition>

  \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5229\>\<#7528\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#903C\>\<#8FD1\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6709\>\<#754C\>\<#FF0C\>\<#5426\>\<#5219\>\<#4E0B\>\<#8FF0\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#786E\>\<#754C\>\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#5B58\>\<#5728\>.

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|f<around*|(|x|)>> \<#662F\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#6709\>\<#754C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#79F0\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#6052\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#7B49\>\<#4E8E\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#7684\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#4E0B\>\<#786E\>\<#754C\>\<#4E3A\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#5728\>\<#8FD9\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\><underline|\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>

    <\equation*>
      I<rsup|\<ast\>>=inf<rsub|M<around*|(|x|)>>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>M<around*|(|x|)>d x
    </equation*>

    \<#FF0C\>\<#800C\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#6052\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>\<#7B49\>\<#4E8E\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#7684\>\<#9636\>\<#68AF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#786E\>\<#754C\>\<#4E3A\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#5728\>\<#8FD9\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\><underline|\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>>.
    \<#8BB0\>\<#4F5C\>

    <\equation*>
      I<rsub|\<ast\>>=inf<rsub|M<around*|(|x|)>>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>M<around*|(|x|)>d x
    </equation*>

    \<#5982\>\<#679C\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around*|(|x|)>>
    \<#5728\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#76F8\>\<#7B49\>,
    <math|I<rsup|\<ast\>>=I<rsub|\<ast\>>=I>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\><underline|\<#53EF\>\<#79EF\>>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#8FD9\>\<#4E0A\>\<#4E0B\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5171\>\<#540C\>\<#503C\>\<#4E3A\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\><underline|\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>

    <\equation*>
      <big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>d x=I
    </equation*>
  </definition>

  \;

  \;

  \;

  \;

  <section|\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#4E0E\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#8BA1\>\<#7B97\>><label|sec:computation-of-definite-and-indefinite-integral>

  <subsection|\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#6362\>\<#5143\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#6CD5\>><label|sec:indefinite-integration-by-substitution>

  <subsection|\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#5206\>\<#90E8\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#6CD5\>><label|sec:indefinite-integration-by-partial>

  <subsection|\<#6709\>\<#7406\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>><label|sec:indefinite-integration-of-rational-function>

  <subsection|\<#6839\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>><label|sec:indefinite-integration-of-irrational-function>

  <subsection|\<#542B\>\<#6307\>\<#5BF9\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>><label|sec:indefinite-integration-of-exp-log-function>

  <subsection|\<#692D\>\<#5706\>\<#79EF\>\<#5206\>><label|sec:elliptic-integral>

  <subsection|\<#76F4\>\<#63A5\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#548C\>\<#8BA1\>\<#7B97\>\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>><label|sec:computation-of-definite-integral-by-riemann-sum>

  <subsection|\<#5B9A\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#6362\>\<#5143\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#5206\>\<#90E8\>\<#79EF\>\<#5206\>\<#6CD5\>><label|sec:definite-integral-by-substitution-or-partial>

  <subsection|\<#79EF\>\<#5206\>\<#7684\>\<#8FD1\>\<#4F3C\>\<#8BA1\>\<#7B97\>>

  \;

  <section|\<#79EF\>\<#5206\>\<#5B66\>\<#5728\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#4E0E\>\<#7269\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5E94\>\<#7528\>>

  \;

  <section|\<#53CD\>\<#5E38\>\<#79EF\>\<#5206\>>

  <section|\<#542B\>\<#53C2\>\<#79EF\>\<#5206\>>

  <section|\<#91CD\>\<#79EF\>\<#5206\>>

  <section|\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#79EF\>\<#5206\>>

  <section|\<#66F2\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#5206\>>

  <section|\<#52D2\>\<#8D1D\>\<#683C\>\<#79EF\>\<#5206\>>

  \;

  \;

  \;

  \;

  \;

  \;

  \;

  \;

  \;

  \;

  \;
</body>

<\initial>
  <\collection>
    <associate|page-medium|paper>
  </collection>
</initial>

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  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|bib>
      elementary-math-notes

      olympic-math

      math-analysis

      math-analysis
    </associate>
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      3.4<space|2spc>\<#53CD\>\<#5E38\>\<#79EF\>\<#5206\>
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      3.5<space|2spc>\<#542B\>\<#53C2\>\<#79EF\>\<#5206\>
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      3.6<space|2spc>\<#91CD\>\<#79EF\>\<#5206\>
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      3.7<space|2spc>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#79EF\>\<#5206\>
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      3.8<space|2spc>\<#66F2\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#5206\>
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